概率论与数理统计第一章随机事件与概率课件

随机事件与概率

第一章第一讲随机事件

一．自然界的现象分两类

１．必然现象（确定性现象）特点：结果事先可预知。２．随机现象（不确定性现象）特点：结果事先不可预知。随机现象是否有规律可循呢？

是

随机现象在相同的条件下，大量重复试验中呈现的规律性称为统计规律性。二．概率论就是研究随机现象统计规律的一门数学学科。三．随机试验（简称试验，用E表示）1.试验可以在相同的条件下重复进行；2.试验的所有可能结果不止一个，而且是事先已知的；3.每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，究竟出现哪一个，试验前不能确切预言。五．样本空间：基本事件或样本点的全体构成的集合，用S表示。.

S样本空间与基本事件的关系样本点e特点：每次试验只有一个样本点出现，任两个样本点不能同时出现。四．基本事件（样本点）：随机试验的每一个可能结果，用e表示。例1.写出下列随机试验结果的样本空间。将一枚均匀对称的硬币连续抛两次，记录两次抛掷的结果；解：

=（正，正），=（正，反），

=（反，正），

=（反，反）；

S={，，，}={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}。2.对目标进行射击，直到击中为止，记录结果；解：S={1，01，001，0001，00001，

……}。

0表示未中，1表示击中。3.在区间[0，1]上随意取一点，记录结果；S=[0，1]。4.从一批灯泡中随机地抽一只灯泡，测试它的使用寿命，设t表示寿命。S={t:t≥0}.六.随机事件（简称事件）:在试验中可能发生，也可能不发生的事件；解：

解：

用数学语言描述为随机试验E的样本空间S的某个子集，用A，B，C，…表示，不用X，Y，Z，…表示。

例2.掷一质地均匀的骰子两次，样本空间

S={(a，b)|1≤a，b≤6，a，b∈N},用集合表示事件A=“两次点数之和为8”，B=“两次点数均大于4”，C=“两次点数均为奇数”。A={（2，6），（6，2），（3，5），（5，3），（4，4）}；B={（5，5），（5，6），（6，5），（6，6）}C={（1，1），（1，3），（3，1），（1，5），（5，1），（3，3），（3，5），（5，3），（5，5）}。解：

样本空间S和空集作为S的子集也看作事件。由于S包含所有的基本事件，故在每次试验中都发生，因此称为：事

然

必

件

不包含任何基本事件，故在每次试验中都不发生，因此称为：可

能

事

件

不

必然事件S和不可能事件均不是随机事件，为研究方便，可看作随机事件的极端情况处理。总结：

理解随机试验、基本事件、样本空间、随机事件的概念。2．会求随机试验的样本点、样本空间。第二讲事件的关系与运算

试验E的样本空间为S，Ai，Bi

（i=1,2……）都是S的子集（事件）。一．事件的包含与相等

事件的包含：若事件A发生必导致事件B发生，则称B包含A或A含于B中，记为任意事件A均有

BAS事件的相等：则称事件A与B相等，A=B。且

ABS若二．事件的的积（交）事件A与B同事发生所构成的事件称为A与B的积或交，记为A∩B或AB。A∩BS（1）n个事件同时发生所构成的事件，称为的积或交，记为（2）可列无限多个事件A1，A2，……同事发生所构成的事件称为A1，A2，……

的积或交，记为推广：三．互不相容事件（互斥事件）若A与B不能同时发生，即则称A与B互不相容（或互斥）。S与互斥。BASn个事件互斥中任两个互斥，即，i≠j,

i,j=1,2,3,……n.推广：四．事件的和（并）事件A与B至少有一个发生所构成的事件，称为A与B的和（并）记为A∪B。当A与B互斥时，A∪B=A+B。BAS推广：（1）n个事件至少有一个发生所构成的事件，称为的和或并，记为当互斥时（2）可列无限多个事件至少有一个发生所构成的事件，称为的和（并），记为当互斥时A发生而B不发生所构成的事件，称为A与B的差，记为五.事件的差对任意事件A，A－BSB六.对立事件（逆事件）由A不发生所构成的事件，称为A的对立事件（逆事件）。记为A例1．掷一质地均匀的骰子，A=“出现奇数点”=

{1，3，5}，B=“出现偶数点”={2，4，6}，C=“出现4或6”={4，6}，

D=“出现3或5”={3，5}，E=“出现的点数大于2”={3，4，5，6}，求解：

A∪B=S，A，B为对立事件，

CB，B，D互斥，C∪D=E，记C+D=EAE={3，5}，={1，2}。符号概率论集合论样本空间，必然事件空间（全集）不可能事件空集基本事件（样本点）元素事件子集A的对立事件A的余集事件Ａ发生必然导致事件Ｂ发生A是B的子集事件Ａ与事件Ｂ相等A与B相等事件Ａ与事件Ｂ至少有一个发生A与B的并集事件Ａ与事件Ｂ同时发生A与B的交集事件Ａ发生而事件Ｂ不发生A与B的差集事件Ａ与事件Ｂ互不相容A与B没有公共元素事件表示的概率论与集合论对照表事件的运算性质：1.交换率：A∪B=B∪A，AB=BA2.结合率：（A∪B）∪C=A∪（B∪C），（AB）C=A（BC）；3.分配率：（A∪B）C=（AC）∪（BC），（AB）∪C=（A∪C）（B∪C）；4.对偶原则（德—摩根律）：例2.

A、B、C是随机试验E的三个事件，试用

A、B、C表示下列事件：1．A与B发生，C不发生；2．A、B、C中至少有两个发生；3．A、B、C中恰好发生两个；解：

1．2．3．4．（4）的对立事件是（2）

5．等价于至少有一个发生，4．A、B、C中有不多于一个事件发生；5．A、B、C中有不多于两个事件发生。例3．某射手向一目标进行三次射击，令Ai=“第i次射击命中目标”，i=1,2,3.

Bj

=“在三次射击中，命中j次”，

j=0,1,2,3.

则：仅第一枪击中目标=

至少有一枪击中目标=

恰有一枪击中目标=

至少有一枪未击中目标=

第一、三枪至少有一枪击中目标=倒着看：={恰好有两枪击中目标}

={至少有两枪击中目标}

总结：

１．理解事件的关系与运算２．熟练掌握用字母表示事件第三讲古典概率——

概率论初期研究的主要对象

事件A、B、C……的概率通常用P（A），P（B），P（C）……表示，显然0≤P（A）≤1。注意：概率是随机事件的函数。——表示某事件发生可能性大小的一种数量指标。概率一．古典概率的定义：假定某个试验有有限个可能的结果e1,e2,…，eN

,假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如ei，比任一其它结果，例如ej,更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即1/N的出现机会.23479108615例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为1－10.把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得.也就是说，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10.1324567891010个球中的任一个被取出的机会都是1/1023479108615我们用i表示取到i号球，i=1,2,…,10.称这样一类随机试验为古典概型.34791086152且每个样本点(或者说基本事件)出现的可能性相同.S={1,2,…,10},则该试验的样本空间如i=2若随机试验E的样本空间S满足：则称E为古典概型试验。

在古典概型的情况下，事件A的概率定义为：这样就把求概率问题转化为计数问题.排列组合是计算古典概率的重要工具.二．排列组合基本计数原理这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的1.加法原理设完成一件事有m种方式，第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法,…；第m种方式有nm种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有n1+n2+…+nm

种方法

.例如，某人要从甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火车,也可以乘轮船.火车有两班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3

+2

种方法回答是基本计数原理则完成这件事共有种不同的方法.2.乘法原理设完成一件事有m个步骤，第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法,…；第m个步骤有nm种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？可以有种打扮３．排列和组合的区别：顺序不同是不同的排列3把不同的钥匙的6种排列而组合不管顺序从3个元素取出2个的排列总数有6种从3个元素取出2个的组合总数有3种1、排列:从n个不同元素取k个（1kn)的不同排列总数为：k=n时称全排列排列、组合的几个简单公式从n个不同元素取k个（允许重复）（1kn)的不同排列总数为：例如：从装有4张卡片的盒中有放回地摸取3张3241n=4,k=3123第1张4123第2张4123第3张4共有4.4.4=43种可能取法2、组合:从n个不同元素取

k个（1kn)的不同组合总数为：常记作，称为组合数。组合系数又常称为二项式系数，因为它出现在下面的二项式展开的公式中：3、组合系数与二项式展开的关系令a=-1,b=1利用该公式，可得到许多有用的组合公式：令a=b=1,得由有比较两边

xk

的系数，可得

运用二项式展开4、n个不同元素分为k组，各组元素数目分别为r1,r2,…,rk的分法总数为r1个元素r2个元素rk个元素…n个元素因为三．古典概率的计算：

例１．在哈市电话号码薄中，任意取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率？设A=电话号码后面四个数字全不相同，则例2．一批产品中有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽出一个，抽出后不放回，求第二次抽到次品的概率？设A=第二次抽到次品，则解：

解：

注意上下一致，上面用排列下面也用排列。例3．将A，B，B，I，I，L，O，P，R，T，Y等

11个字母随机地排成一行，那末恰好排成单词PROBABILITY的概率是多少？设A=恰好排成单词PROBABILITY，则或解：例4．将r个人随机地分配到n个房间里，设

=某指定r个房间中各有一人。=恰有r个房间中各有一人，=某指定房间恰有k个人，k≤r。求，，。解：例5．袋中有a个黑球，b个白球，若随机地把球一个接一个地摸出来，求A=“第k次摸出的球是黑球”的概率，（k≤a+b）.解1:若把a+b个球编号（使球可辨），把a+b个球的一种全排列作为一个基本事件，基本事件总数为（a+b）!,第k次摸得黑球有a种可能，另外a+b－1次摸球的排列有（a+b－1）!种，则解2：若a个黑球是相同，b个白球也是相同的，把a+b个球的一种全排列作为一个基本事件，基本事件总数为A所包含的基本事件数为，则此结论说明抽签与次序无关把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法总数为而出现事件A的分法数为n!,故例６.n双相异的鞋共2n只，随机地分成n堆，每堆2只.问:“各堆都自成一双鞋”(事件A)的概率是多少？解：四．古典概率的性质：

1．对任意事件A，有0≤P（A）≤1；2．P（S）=1；３．若事件A、B互斥，则

P（A+B）=P（A）+P（B）；推广：若互斥，则：这是概率的加法公式或概率的有限可加性。

设A、B为任意两事件，则

P（A－B）=P（A）－P（AB）；推广：移项得(6),便得(7).再由由可加性6．若则且(7)(6)又因再由性质3便得(8).

(8)7．（一般概率加法公式）对任意事件A、B有推广：P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)

－P(AC)－P(BC)+P(ABC)；注意：概率的前三条性质是它的本质属性，后四条性质是导出性质。利用性质可简化运算一般：设为n个事件，则例1将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次“6”点的概率是多少？令事件A={至少出一次“6”点}A发生{出1次“6”点}{出2次“6”点}{出3次“6”点}{出4次“6”点}直接计算A的概率较麻烦,我们先来计算A的对立事件={4次抛掷中都未出“6”点}的概率.解：

于是=0.518

因此

==0.482由于将一颗骰子抛掷4次,共有

=1296种等可能结果,而导致事件={4次抛掷中都未出“6”点}的结果数有=625种

例2

有r个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率.

为求P(A),先求P()解：

={r个人的生日都不同}则A={至少有两人同生日}令用上面的公式可以计算此事出现的概率为

=1-0.524=0.476美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日.即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476.这个概率不算小，因此它的出现不值得奇怪.计算后发现，这个概率随着球迷人数的增加而迅速地增加，如下页表所示：

表3.1

人数至少有两人同 生日的概率

200.411210.444220.476230.507240.538300.706400.891500.970600.994

所有这些概率都是在假定一个人的生日在365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的.实际上,这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大.当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的.总结：

1．熟练掌握古典概率的性质；2．会计算古典概率（会判定和计算）。第四讲几何概率早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的.请看演示

把等可能推广到无限个样本点场合,人们引入了几何概型.

由此形成了确定概率的另一方法——几何方法.几何概率定义:

设有一个可度量区域S（这个区域可以是直线区域、平面区域或空间区域），向区域内任意掷一质点M，此点落于S内任一位置是等可能的，且落在S内任何子区域A上的可能性与A的度量（如长度，面积，…）成正比，而与A的位置和形状无关，则这个试验称为几何概型试验；并定义M落在A中的概率P（A）为：1．样本空间无限——无限性；2．每个样本点发生的可能性相同

——等可能性。特点：请看演示会面问题例1．（约会问题）甲、乙两人约定在6点到7点之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率。以x,y分别表示甲乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充要条件是：|x－y|≤15.在平面上建立直角坐标系，如图则（x,y）的所有可能结果是边长为60的正方形，图中阴影表示可会面的时间。

设A=两人能会面，则

解：

015156060yxy－x＝15x－y＝15例2．甲、乙两人约定在下午1点到2点之间到某车站乘公共汽车，这段时间内有4班公共汽车，发车时间分别为1：15，1：30，1：45，2：00。如果规定见车就上，求两个人乘同一辆公共汽车的概率。设甲、乙到达车站的时间分别为x,y则1≤x≤2,1≤y≤2,确定平面S，如图正方形，设A=两人乘同一辆公共汽车，则：

A发生的充要条件是：两人到达时间x,y在同一发车区间，即阴影部分。故P（A）=4/16=1/4。

01122yx1.51.5解：

二.性质:

3．若互斥，则：古典概率的其他性质对几何概率也同样成立。1．对任意事件A，有0≤P（A）≤1；2．P（S）=1；蒲丰投针试验法国科学家蒲丰于1777年发现了随机投针的概率与圆周率π之间的关系，提供了早期学者们用随机试验求π

值的范例.请看演示第五讲统计概率在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小.这个性质叫做频率的稳定性.

频率稳定性掷硬币试验掷骰子试验高尔顿钉板试验统计概率是以事件的频率具有稳定性为基础的，下面先介绍事件频率的概念。

频率定义：设A为联系于某一试验的事件，将试验在相同的条件下重复进行n次，用m表示A出现的次数，则比值

m/n称为事件A的相对频率，记为fn(A),即

一般情况下：，只有当n充分大时，频率才呈现出稳定性。

二.

统计概率:在一组固定条件下，重复做n次试验，如果当n增大时，事件A出现的频率fn(A)围绕着某一个常数p摆动；而且一般说来，随着n的增大，这种摆动的幅度越来越小，则称常数p为事件A的概率，即P（A）=p。此定义适合于一切类型的试验，

当n充分大时，频率作为概率的近似值，即，足以满足实际需要。

例1．用某种药物对患有胃溃疡的512个病人进行治疗，结果368人有明显疗效，现有胃溃疡病人预服此药，你能对其效果作何估计？有明显效果的频率为：，由统计概率定义该患者服此药有明显效果的可能性为0.72。解：

定理：事件频率具有如下性质：1.对任意事件A，有

2．3．若为互不相容事件，则：古典概率的其他性质对统计概率也同样成立。由概率是频率的数学抽象，可以推得统计概率具有如下性质：3.若互不相容，则

0≤P（A）≤1；2.P（S）=1；

第六讲概率的公理化定义在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础.数学上所说的“公理”，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容.即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.下面介绍用公理给出的概率定义.

1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义.柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦.概率的公理化定义公理2

P(S)=1——规范性

(2)

公理3

若事件A1,A2

,…

互不相容，则有

(3)这里事件个数可以是有限或无