年浙江省台州地区高二数学下学期排列组合第一课时 人教

计数原理和

分类分步2021/8/8星期日1变题2：若完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同方法，在第2类中有m2种不同方法，……，在第n类办法中有mn种不同方法。每一类方法中的每一种方法均可完成这件事，那么完成这件事情共有多少种不同方法？分类计数原理（加法原理）：若完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同方法，在第2类中有m2种不同方法，……，在第n类办法中有mn种不同方法。每一类方法中的每一种方法均可完成这件事，那么完成这件事情共有N=m1+m2+……+mn种不同方法。变题1：若从甲地到乙地还有4班飞机可乘，此时又有多少种不同走法？引例1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，火车有3班,汽车有2班。那么一天中乘坐这些交通工具，从甲地到乙地共有多少种不同的走法?2021/8/8星期日2分类计数原理（加法原理）：若完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同方法，在第2类中有m2种不同方法，……，在第n类办法中有mn种不同方法。每一类方法中的每一种方法均可完成这件事，那么完成这件事情共有N=m1+m2+……+mn种不同方法。注:1、分类计数原理中的“完成一件事，有n类办法”，是对完成这件事的所有方法的一个分类。各类之间相互独立，都能完成这件事，且各类方法数相加，所以分类计数原理又称加法原理。2、分类时，首先要根据问题的特点，确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类。3、完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法。2021/8/8星期日3引例2：从甲地到乙地，先从甲地乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地，共有多少种不同的走法?甲地丙地乙地汽车1火车3火车2火车1汽车2分步计数原理（乘法原理）：

若完成一件事，分成n个步骤，做第1步有m1种不同方法，做第2步有m2种不同方法，……，做第n步有mn种不同方法。每一类方法中的每一种方法均可完成这件事，那么完成这件事情共有N=m1×m2×…×mn种不同方法。2021/8/8星期日4分步计数原理（乘法原理）：

若完成一件事，分成n个步骤，做第1步有m1种不同方法，做第2步有m2种不同方法，……，做第n步有mn种不同方法。每一类方法中的每一种方法均可完成这件事，那么完成这件事情共有N=m1×m2×…×mn种不同方法。注：1、分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成，2、分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准。3、分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成n个步骤后这件事才算完成。2021/8/8星期日51、从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，火车有3班,汽车有2班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?2、从甲地到乙地，先从甲地乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地，共有多少种不同的走法?N=3+2=5N=3×2=6提示：如何正确使用这两个基本原理呢？

分类

一步到位各类方法相互独立种数相加

分步

分步完成各个步骤相互依存种数相乘回顾两个引例：2021/8/8星期日6分类计数原理（加法原理）：

做一件事情，完成它可以有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法

分步计数原理（乘法原理）：

做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。2021/8/8星期日7例1、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书。（1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取一本书，有多少种不同的取法？解：（1）事件：取一本书，有三类办法：第一类从第1层取一本计算机书，共4种不同方法第二类从第2层取一本文艺书，共3种不同方法第三类从第3层取一本体育书，共2种不同方法由分类计数原理得N=4+3+2=9种不同的方法。例题解析解：（2）事件：从三层书架上各取一本书，分三步完成：第1步从第1层取一本计算机书，共4种不同方法第2步从第2层取一本文艺书，共3种不同方法第3步从第3层取一本体育书，共2种不同方法由分步计数原理得N=4×3×2=24种不同的方法。2021/8/8星期日81、填空：（1）一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同的选法个数是

；(2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同走法的种数是

。（3）一个礼堂有4个门，若从一个门进，然后从一个门出，共有

种不同走法。（4）一个礼堂有4个门，若从一个门进，然后从另一个门出，共

有种不同走法。

2、选择：乘积(a1+a2+a3+a4)(b1+b2)(c1+c2+c3)展开后的项数是（）A、9B、11C、12D、24

课堂练习15+4=93×2=64×4=16D

4×3=122021/8/8星期日9例2、一个三位密码锁,各位上数字由0到9这十个数字组成,问可以设置多少种三位数字的密码(各位上的数字允许重复)？

解:按密码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三位,分为三步完成：第一步,m1=10;第二步,m2=10;第三步,m3=10.根据乘法原理,共可以设置N=10×10×10=103种三位数字的密码。

由此可以看出,

首位数字不为0的密码数与首位数字是0的密码数之和等于密码总数。变题1：首位数字是0的密码数有多少种？变题2：首位数字不为0的密码数有多少种？首位数字是0的密码数有N=1×10×10=102种。首位数字不为0的密码数有N=9×10×10=9×102种,变题3：0到9这十个数字可组成多少个三位数？引申：“6+1”体育彩票要的号码共有7位数字，每一数位都可以从0到9共10个数字任选一个，求所有可能的号码的种数。2021/8/8星期日10

例1、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书。（1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取一本书，有多少种不同的取法？变题：从这书架上取2本不同种类的书，有多少种不同取法？提示：对于有些较“复杂”的问题，往往不是单纯的“分类”、“分步”就可解决的，而往往将两者结合使用，一般是先“分类”，再在每一类中进行“分步”。解：事件：取两本不同种类的书，有三类办法：第一类取1本计算机书，再取1本文艺书，第二类取1本计算机书，再取1本体育书，第三类取1本文艺书，再取1本体育书，共4×3种不同方法；共4×2种不同方法；共3×2种不同方法。答：从书架上取2本不同种类的书，共26种不同方法。由加法原理N=4×3+4×2+3×2=26种不同取法。2021/8/8星期日11注意：在运用两个基本原理处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准。在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致,才能保证不重、不遗漏。例3要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？20D2、从互不相同的数学书8本，物理书6本，化学书4本中任取不是同学科的书2本，不同的取法有（）种。

A、98B、102C、104D、108。3、从集合｛1，2，3｝和｛1，4，5，6｝中各取1个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是（）A、12B、11C、24D、23课堂练习21、从5位同学中产生1名组长、1名副组长，有

种不同的选法。C2021/8/8星期日12课堂小结1、本节课学习了那些主要内容？分类计数原理和分步计数原理。

2、加法原理和乘法原理的共同点是什么？不同点是什么？共同点是----它们都是研究完成一件事情的方法种数；

不同点是----它们研究完成一件事情的方式不同。

分类计数原理是“分类”完成,一步到位；

分步计数原理是“分步完成”,各个步骤

缺一不可,且每一步都完成了,才能完成这件事情。2021/8/8星期日13

（1）、加法原理中的“分类”要全面,不能遗漏;但也不能重复、交叉;“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的。（2）、乘法原理中的“分步”程序要正确。“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉。3、应用两个原理要注意的地方：2021/8/8星期日14两大原理妙无穷,解题应用各不同；多思慎密最重要，茫茫数理此中求.2021/8/8星期日15作业：书本87页的1、2、3、42021/8/8星期日16如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从它的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？课堂练习3