中考数学专题训练旋转模型几何变换三种模型手拉手半角对角互补

合用文档几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补知识关系图等腰三角形手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形）等边三角形（包含费马点）旋转变换对角互补模型特别角一般角角含半角模型特别角一般角等线段变换（与圆相关）真题演练【练1】（2013北京中考）在△ABC中，ABAC，BAC（060），将线段BC绕点B逆时针旋转60°获取线段BD．（1）如图1，直接写出ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，BCE150，ABE60，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若DEC45，求的值．标准文案合用文档【练2】（2012年北京中考）在△ABC中，BABC，BAC，M是AC的中点，P是线段上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2获取线段PQ．（1）若且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出CDB的度数；（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想CDB的大小（用含的代数式表示），并加以证明；（3）关于合适大小的，当点P在线段BM上运动到某一地址（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQQD，请直接写出的范围．标准文案合用文档例题精讲考点1：手拉手模型：全等和相似包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形陪同旋转出全等，处于各种地址的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来（1）等腰三角形旋转模型图（共极点旋转等腰出陪同全等）（2）等边三角形旋转模型图（共极点旋转等边出陪同全等）（3）等腰直角旋转模型图（共极点旋转等腰直角出陪同全等）（4）不等边旋转模型图（共极点旋转不等腰出陪同相似）标准文案合用文档【例1】（14年海淀期末）已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且ABCE．（1）如图1，连接BG、DG．求证：BGDE；（2）如图2，若是正方形ABCD的边长为2，将正方形CEFG绕着点C旋转到某一地址时恰好使得CG∥BD，BGBD．①求BDE的度数；②请直接写出正方形CEFG的边长的值．【题型总结】手拉手模型是中考中最常有的模型，打破口常有的有哪些信息？常有的考试方法有哪些？标准文案合用文档【例2】（2014年西城一模）四边形ABCD是正方形，BEF是等腰直角三角形，BEF90，BEEF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC。（1）如图24-1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的地址关系及ECGC的值；（2）将图24-1中的BEF绕点B顺时针旋转至图24-2所示地址，请问（1）中所得的结论可否依旧成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明原由；ADADGGFFEEBCBC图图标准文案合用文档【题型总结】此种类题目方法多样，你还能够找到其他的解题方法吗？别的涉及到的中点辅助线你还能够说出几种？标准文案合用文档【例3】（2015年海淀九上期末）如图1，在△ABC中，BC4，以线段AB为边作△ABD，使得AD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DCDE，BDCDEADB．（1）如图2，当ABC45且90时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；ADBCE图1（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，获取线段EF，连接BF，AF．若90，依题意补全图3，求线段AF的长；请直接写出线段AF的长（用含的式子表示）．AAADDBDCCBCBEEE图2图3备用图标准文案合用文档【例4】（13年房山一模）（1）如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、三点共线，联系AD、DBE订交于点P，求证：BEAD．（2）如图2，在△BCD中，BCD120，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外面作等边△ABC、等边△CDE和等边△BDF，联系AD、BE和CF交于点P，以下结论中正确的选项是_______（只填序号即可）①ADBECF；②BECADC；③DPEEPCCPA60；（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PBPCPDBE．ECAACAPPEDBPDBDBCD图1F图2F标准文案合用文档【题型总结】到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为°．旋转与最短行程问题主若是利用旋转的性质转变成两点之间线段最短的问题，同时与旋转相关行程最短的问题，比较重要的就是费马点问题费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．标准文案考点2：角含半角模型：全等秘籍：角含半角要旋转：构造两次全等AADFBECGBEADGB

合用文档ADDFBCECFE

CFADB

AGE

CF

B

DECAFBDEC12012年西城期末）已知：如图，正方形ABCD的边长为a【例】（，BM，DN分别均分正方形的两个外角，且满足MAN45，连接MC，NC，MN．猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论．标准文案合用文档标准文案合用文档【例2】（2014年平谷一模）（1）如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，EAF45，连接EF，则EF、BE、FD之间的数量关系是：EFBEFD．连接BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足MN2BM2DN2，请证明这个等量关系；（2）在△ABC中，ABAC，点D、E分别为BC边上的两点．①如图2，当BAC60，DAE30时，BD、DE、EC应满足的等量关系是__________________；1②如图3，当BAC，(090)，DAE时，BD、DE、EC2应满足的等量关系是____________________．【参照：sin2cos21】BAAAEMNCFDBDECBDEC图1图2图3标准文案合用文档【题型总结】角含半角的特点有哪些，哪些是不变的量？由角含半角产生的数量关系都是有哪些？怎样描述这类题目的辅助线？考点3：对角互补模型常和角均分线性质一起考，一般有两种解题方法（全等型—90°）AAMCCDDOEBONEB（全等型—120°）（全等型—任意角）ADCCAACDDOOEBOEBF

EB【例1】四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角三角形ABD和直角三角形CBD，其中A和C都是直角，另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积．ABDC标准文案合用文档标准文案合用文档【例2】已知：点P是MON的均分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使APBMON180．（1）利用图1，求证：PAPB；（2）如图1，若点C是AB与OP的交点，当SPOB3SPCB时，求PB与PC的比值；MMTATAPPCCOBNOBN图1图2标准文案合用文档【题型总结】对角互补模型经常在哪里题目里出现，题目中有哪些提示信息？经常和哪一种图形同时出现？3(初二期末)已知：如图，在△ABC中，ABAC，BAC，且60120．P【例】为△ABC内部一点，且PCAC，PCA120．（1）用含的代数式表示APC，得APC=_______________________；（2）求证：BAPPCB；（3）求PBC的度数．APBC标准文案合用文档【题型总结】一般涉及到线段的旋转都能够和圆联系起来，依照圆的相关性质解题是一种比较便利的方法。（标准文案合用文档全能打破【练1】（2015年昌平九上期末）如图，已知ABC和ADE都是等腰直角三角形，BACDAE90，ABAC，ADAE．,CE交AB连接BD交AE于M连接于N，BD与CE交点为F，连接AF．（1）如图1，求证：BDCE；2）如图1，求证：AF是CFD的均分线；3）如图2，当AC2，BCE15时，求CF的长.BBFEFENNMMCACAD图1D图2标准文案合用文档【练2】（2014西城九上期末）已知：△ABC，△DEF都是等边三角形，M是BC与EF的中点，连接AD，BE.（1）如图1，当EF与BC在同一条直线上时，直接写出AD与BE的数量关系和地址关系；（2）△ABC固定不动，将图1中的DEF绕点M顺时针旋转（0o≤≤90o）角，如图2所示，判断（1）中的结论可否依旧成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明原由；（3）△ABC固定不动，将图1中的DEF绕点M旋转（0o≤≤90o）角，作DHBC于点H．设BH＝x，线段AB，BE，ED，DA所围成的图形面积为S．当AB＝6，DE＝2时，求S关于x的函数关系式，并写出相应的x的取值范围．图1图2备用图标准文案合用文档【练3】（2014年旭日一模24题）在△ABC中，ACBC，在△AED中，ADED，点D、E分别在CA、AB上，（1）图①，若ACBADE90，则CD与BE的数量关系是______________；（2）若ACBADE120，将△AED绕点A旋转至如图②所示的地址，则CD与BE的数量关系是______________；（3）若ACBADE2(090)，将△AED绕点A旋转至如图③所示的地址，研究线段CD与BE的数量关系，并加以证明（用含的式子表示）标准文案合用文档【练4】（2015年燕山九上期末）小辉遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，BAC＝90，AB＝AC，点，E在边BC上，DAE＝45．若BD＝3，CE＝1，求DE的长．CCDFEECDFDDEA图1BA图2BA图3B小辉发现，将绕点A按逆时针方向旋转90o，获取ACF，连接EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及DAE＝45，可证FAE≌DAE，得FE＝DE．解FCE，可求得EF(即DE)的长．请回答：在图2中，FCE的度数是__________，DE的长为_______RtABC____．参照小辉思虑问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，B＋D＝180．E，F分别是边BC，CD上的点，且EAF＝1BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明原由．2标准文案合用文档【练5】（11年石景山一模）已知：如图，正方形ABCD中，AC,BD为对角线，将BAC绕极点A逆时针旋转(045)，旋转后角的两边分别交BD于点P、点Q，交BC,CD于点E、点F，联系EF、EQ．（1）在BAC的旋转过程中，AEQ的大小可否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不用证明）；2AEF的面积的数量关系，写出结论并加以证明．（）研究APQ与ADQFPBEC标准文案合用文档【练6】（2015年延庆九上期末）已知：△ABC是O的内接三角形，ABAC，在BAC所对弧AC上，任取一点D，连接AD，BD，CD，（1）如图1，BAC，直接写出ADB的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，若是BAC60，求证：BDCDAD；33BAC120，那么BDCD与AD之间的数量关系是（）如图，若是什么？写出猜想并加以证明；（4）若是BAC，直接写出BDCD与AD之间的数量关系.DDBCBOCOAADOBCA图2图3图1标准文案合用文档【练7】（1)如图，在四边形ABCD中，ABAD，BD90，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=1BEFD;BAD．求证：EF2(2)如图在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF1，(1)中的结论可否依旧成立？不用证明．BAD2(3)如图，在四边形ABCD中，ABAD，BADC180，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，且1BAD，(1)中的结论可否依旧成立？EAF2若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．FADAADDFBFBCEECBCE标准文案合用文档【练8】小华遇到这样一个问题，如图1,ABC中，ACB30o，BC6，AC5，在ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PAPBPC的最小值．小华是这样思虑的：要解决这个问题，第一应想方法将这三条端点重合于一点的线段分别，尔后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依照“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后试一试了翻折、旋转、平移的方法，发现经过旋转能够解决这个问题．他的做法是，如图2，将APC绕点C顺时针旋转60oEDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．，获取（1）请你写出图2中，PAPBPC的最小值为________；（2）参照小华的思虑问题的方法，解决以下问题：①如图3，菱形ABCD中，60oABCD内部有一点P，请在图3ABC，在菱形中画出并指明长度等于PAPBPC最小值的线段（保留画图印迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PAPBPC值最小时PB的长．EAADDAPCBBCP图1BC图3图2标准文案合用文档92014年西城二模）在ABC，BAC为锐角，ABAC，AD均分BAC交BC【练】（于点D．（1）如图1，若ABC是等腰直角三角形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；（2）BC的垂直均分线交AD延长线于点E，交BC于点F．①如图2，若ABE60，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系并加以证明；②如图3，若ACAB3AE，求BAC的度数．标准文案合用文档【练10】(2014年1月西城八年级期末试题—附加题)已知：如图，MAN为锐角，AD平分MAN，点B，点C分别在射线AM和AN上，ABAC.（1）若点E在线段CA上，线段EC的垂直均分线交直线AD于点F，直线BE交直线AD于点G，求证：EBFCAG；2）若（1）中的点E运动到线段CA的延长线上，（1）中的其他条件