导数与函数零点问题解题方法归纳

所以函数f(x)在(0,1)上有唯一的零点.又f又f(e2)=(2—e2)m>0(、

e2一

e2——1+k2丿所以函数f(x)在(1,+w)上有唯一的零点.(1)综上所述：实数m的取值范围为-三，°.9.【2020山东泰安一中期末】设函数f(x)=lnx+⑴当a=3O时，求函数f(x)的单调区间；⑵当a>2，x暑1，+8)时，求证：皿+占>1-【解析】⑴函数f(x)的定义域为(0,l)u(l,+8)，当a=3O时,5x———6人6)x——5丿x(x-1)2，令：f'(x)>0得：x>令：f'(x)>05k6丿<x<6，所以函数单调减区间为(|,1f'f'(x)<0，得:a⑵若证lnx+口>1,(1\a'亍x>1成立，只需证：1眦+k2丿2(x—1)>一即：2(x—1)lnx+1>2(x—1)当x>1时成立.设g(x)=2(x一1)lnx一2(x一1)+1(x>1).TOC\o"1-5"\h\zg'(x)=2[lnx—丄]，显然g'(x)在(1,+8)内是增函数,kx丿且g'(1)=—2<0，g'(2)=2(ln2—1卜0,k2丿g'(x)=0在(1,2)内有唯一零点x0，使得：lnx—丄=0,00x0且当xg(1,x0)，g'(x)<0；

当xG(x,+8),g'(x)>0.0g(x)在(1,x)递减，在(x+8)递增.f丄—「r1)x+—+1=——2Vx丿0xVx丿00g(x)二g(x)=2(x-1)(lnx-1)+1二2(x-1)TOC\o"1-5"\h\zmin0000■/xg(1,2)，二2<x+—<—.00x20/.g(x)>0,alnx+—^>1成立.minx—110.【2020・广东汕尾期末】已知函数f(x)=x2+1—asinx,xg[o,兀],aeR,f'(x)是函数f(x)的导函数.当a=1时，证明：函数/(x)在区间［0,兀］没有零点；若f'(x)+asinx+a<0在xe［O,兀］上恒成立，求a的取值范围.【解析】(1)证明：若a=1，则f(x)=x2+1—sinx,xe［O,兀］,又x2+1>1,0<sinx<1，故0>—sinx>—1，所以x2+1—sinx>0,又f(0又f(0)=1,/兀)r—<2丿12,兀V2丿=罟,f(兀)=兀2+1,时，一1<—sinx<0,所以x2+1—sinx>0恒成立,所以当a=1时，函数f(x)在区间［0,兀］没有零点.(2)解：f'(x)=2x—acosx,xe[0,兀],古攵2x—acosx+asinx+a<0在xe[°,兀]上恒成立,设g(x)=2x—acosx+asinx+a,xe[0,兀],所以g(0)=0<0,gG)=2冗+2a<0，即a<—兀，因为g'因为g'(x)=2+asinx+acosx=a、込sisinx+—I4丿+2,由a<—兀,得a<0,所以在区间°，=上g'(x)单调递减，所以2+a=g'(0)>g'(x)>g在区间丁，兀上g'(x)单调递增,42+2=g—<g14丿—g(x)<g'G)二2-a,又a<-兀，所以g'(0)=2+a<0,g'[4丿=、:2a+2<0,g'G)=2-a>0,故g'(x)在区间|丁，兀上存在唯一零点区间x0,由g'(x)的单调性可知,4丿在区间【0,x。