利用二次函数求方程的近似根 市赛获奖-完整版课件

上节课我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)之间的关系，那么如何利用二次函数图象直接求出一元二次方程的根呢?新课引入问题

求一元二次方程的近似根（精确到0.1）.

分析：一元二次方程x²－2x－1=0的根就是抛物线y=x²－2x－1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.利用图象法求一元二次方程的近似根新课讲解1例1解：画出函数y=x²－2x－1的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在－1与0之间,另一个在2与3之间.新课讲解

先求位于－1到0之间的根，由图象可估计这个根是－0.4或－0.5，利用计算器进行探索，见下表：x…－0.4－0.5…y…－0.040.25…观察上表可以发现，当x分别取－0.4和－0.5时，对应的y由负变正，可见在－0.5与－0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2－2x－1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=－0.4或x=－0.5都符合要求.但当x=－0.4时更为接近0.故x1≈－0.4.同理可得另一近似值为x2≈2.4.新课讲解(1)用描点法作二次函数y=ax2+bx+c的图象；(2)观察估计二次函数

的图象与x轴的交点的横坐标；(可将单位长度十等分,借助计算器确定其近似值);(3)确定方程ax2+bx+c=0的近似根;利用图象法求一元二次方程的近似根归纳总结1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(

)A．x1≈－2.1，x2≈0.1B．x1≈－2.5，x2≈0.5C．x1≈－2.9，x2≈0.9D．x1≈－3，x2≈1解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则

＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B.B新课讲解

解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．归纳总结

判断方程

ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（）

A.3<x<3.23B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26

x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c－0.06－0.020.030.09C1.根据下列表格的对应值:随堂即练2.小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x=－3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（）A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4D随堂即练

求一元二次方程的近似根（精确到0.1）.

分析：令y=x²－2x－1－3=x²－2x－4，则x²－2x－1=3的根就是抛物线y=x²－2x－4与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标.新课讲解例22xyO解：y=x²－2x－4的图象如图所示.解：由图象可知方程的一根在3到4之间，另一根在－1到－2之间.(1)先求3到4之间的根.利用计算器进行探索：x…3.23.3…y…－0.160.29…因此，x=3.2是方程的一个近似根.(2)可类似地求出另一个根为x=－1.2.新课讲解

你还能利用y=x²－2x－1的图象求一元二次方程的近似根吗（精确到0.1）？分析：在y=x²－2x－1的图象中作直线y=3，再用图象法求出直线与抛物线交点的横坐标，则横坐标的近似值即为所求方程的近似根.y=3新课讲解变式利用函数的图象求一元二次不等式的解集

函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么方程ax2+bx+c=0的根是_____

_____;不等式ax2+bx+c>0的解集是___________;不等式ax2+bx+c<0的解集是_________.

3-1Oxyx1=－1，x2=3x<－1或x>3－1<x<3新课讲解2问题1函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么方程ax2+bx+c=2的根是______________;不等式ax2+bx+c>2的解集是___________;不等式ax2+bx+c<2的解集是_________.

3-1Ox2(4,2)(-2,2)x1=－2，x2=4x<－2或x>4－2<x<4y新课讲解知识拓展试一试：利用函数图象解下列方程和不等式:(1)①－x2+x+2=0;②－x2+x+2>0;③－x2+x+2<0.(2)①x2－4x+4=0;②x2－4x+4>0;③x2－4x+4<0.(3)①－x2+x－2=0;②－x2+x－2>0;③－x2+x－2<0.xy020xy-12xy0y=－x2+x+2x1=－1,x2=2－1＜x＜2x1＜－1,x2＞2y=x2－4x+4

x=2

x≠2的一切实数

x无解y=－x2+