专升本多元积分学2名师优质课赛课一等奖市公开课获奖课件

高等数学第五章多元函数微积分学

序言第一节多元函数、极限与连续第二节偏导数与全微分第三节二元函数极值第四节二重积分概念与性质第五节直角坐标系下二重积分计算第六节极坐标下二重积分计算第七节*二重积分应用第1页高等数学直角坐标系下二重积分计算复习二重积分计算步骤:①画出积分区域图形,判断积分类型②求边界曲线交点坐标，确定积分限③化二重积分为二次积分④计算两次定积分，即可得出结果第2页高等数学极坐标系下二重积分计算怎样计算二重积分，其中D为圆环域：假如在直角坐标系下计算，显然非常麻烦，因为此时D既不是x型，也非y型，需要分割成几个区域进行计算。第3页高等数学极坐标系下二重积分计算极坐标第4页高等数学极坐标系下二重积分计算以江南大道为X轴以中河路为Y轴...请问：去火车站怎么走？第5页高等数学极坐标系下二重积分计算以江南大道为X轴以中河路为Y轴...精神病！第6页高等数学极坐标系下二重积分计算以江南大道为X轴以中河路为Y轴...精神病！第7页高等数学极坐标系下二重积分计算从这向北5000米。请问：去火车怎么走？第8页高等数学极坐标系下二重积分计算请分析下面这句话，告诉了人家什么？从这向南走5000米！出发点方向距离在生活中我们经惯用距离和方向来表示一点位置。用距离和方向表示平面上一点位置，就是极坐标。第9页高等数学极坐标系下二重积分计算一、极坐标系建立在平面内取一个定点O，叫做极点。引一条射线OX，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度正方向（通常取逆时针方向）。这么就建立了一个极坐标系。XO第10页高等数学极坐标系下二重积分计算二、极坐标系内一点极坐标要求XOM对于平面上任意一点M，用表示线段OM长度，用表示从OX到OM角度，叫做M极径，叫做点M极角，有序数对（，）就叫做M极坐标。尤其强调：表示线段OM长度，既点M到极点O距离；表示从OX到OM角度，既以OX（极轴）为始边，OM为终边角。第11页高等数学极坐标系下二重积分计算尤其要求：当M在极点时，它极坐标=0，能够取任意值。思：

1.直角坐标系下点坐标与极坐标关系?2.直角坐标系下方程曲线在极坐标系下范围怎样确定?如则第12页高等数学极坐标系下二重积分计算1.在直角坐标系下用平行于坐标轴直线网来划分区域D，D则面积元素为故二重积分可写为第13页高等数学极坐标系下二重积分计算于是：2.在极坐标系下用同心圆来划分区域D，

面积微元:第14页高等数学极坐标系下二重积分计算区域特征如图二重积分化为二次积分公式（１）即：极点在区域D之外第15页高等数学极坐标系下二重积分计算二重积分化为二次积分公式（２）区域特征如图即：极点在区域D之边界上。第16页高等数学极坐标系下二重积分计算二重积分化为二次积分公式（３）区域特征如图即：极点在区域D之内第17页高等数学极坐标系下二重积分计算将直角坐标系下二重积分转化为极坐标系下二重积分步骤：（1）将，，代入被积函数；（2）将区域D边界曲线换为极坐标系下表示式，确定对应积分限；将极坐标系下二重积分转化为直角坐标系下二重积分步骤与上述相同，只需依反方向进行。（3）将面积元换为。第18页高等数学极坐标系下二重积分计算例1

计算二重积分其中D：解第19页高等数学极坐标系下二重积分计算例2

计算二重积分其中D为圆环域：解第20页高等数学极坐标系下二重积分计算解例3

计算二重积分其中区域D为由围成第一象限内区域。第21页高等数学极坐标系下二重积分计算例4

设在极坐标系下二重积分能够表示为()

第22页高等数学极坐标系下二重积分计算练习与巩固１.计算二重积分其中D：２.计算二重积分其中D：与x轴所围成上半圆。（提醒：）（答案：）第23页高等数学二重积分计算二重积分化为二次积分时应注意问题：１.依据积分区域类型选择坐标系３.依据被积函数类型选择积分次序２.依据积分区域类型选择积分次序第24页高等数学二重积分应用１.能否利用二重积分计算平面图形面积？２.怎样利用二重积分计算空间几何体体积？第25页高等数学二重积分应用－平面图形面积依据二重积分定义可知，当被积函数等于1时，二重积分就是底D面积．即：已知平面封闭图形面积可经过定积分计算。第26页高等数学二重积分应用－平面图形面积解∵D=2D1第27页高等数学二重积分应用－空间几何体体积Dozyx例6

求四个平面x+y+z=1，x=0,y=0,z=0所围成四面体体积。y0x1x1第28页高等数学二重积分应用－空间几何体体积y0x1x1交点为（0，1）（1，0）第29页高等数学二重积分应用－空间几何体体积例7解所求立体能够看成是一个曲顶柱体，它曲顶为底为于是，第30页高等数学二重积分应用－平面薄片质量解第31页高等数学二重积分练习题第32页高等数学二重积分练习题（一）第33页高等数学二重积分练习题（二）第34页