(完整版)数列求和的七种基本方法

-----WORD格式-----WORD格式--可编辑--专业资料---------完整版学习资料分享----完整版学习资料分享数列求和的七种基本方法甘志国部分内容（已发表于数理天地（高中），2014（11）：14-15）数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题（这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题）简单介绍数列求和的七种基本方法.1运用公式法很多数列的前n项和S的求法，就是套等差、等比数列S的公式，因此以下常用公式应当熟nn记：1+2+3HFn=—n（n+1）21+3+5FF（2n一1）=n2+2+22+…+2n-1=2n-111111122232n2n还要记住一些正整数的幂和公式：+22+32++n2=n(n+1)(2n+1)61+23+33++n3=n2(n+1)24例1已知数列｛a｝的前n项和S=32n—n2，求数列｛la｝的前n项和T.nnnn解由S=32n—n2，可得a=33—2n,a>0on<16，所以:nnn(1)当n<16时，T二S=32n—n2.nn(2)当n>17时,T=laI+laI+…+laITOC\o"1-5"\h\zn12n=(a+a+…+a)+(a+a+…+a)12161718n=S—(S—S)16n16=2S—S16n=n2—32n+512所以I32n-n2：=|n2-32n+512(n所以I32n-n2：=|n2-32n+512例2求S=1-n+2-(n—1)+3-(n—2)++n-1.n解设a=k(n+1-k)=k(n+1)-k2，本题即求数列｛a｝的前n项和.kk

S=(1+2+3+…+n)(n+1)-(12+2+32+…+n2)n=—n(n+1)-(n+1)-—n(n+1)(2n+1)26=—n(n+1)(n+2)6高考题1(2014年高考浙江卷文科第19题(部分))求数列｛2n-1｝的前n项和S.n答案：S=n2.n高考题2(2014年高考四川卷理科第19题(部分))求数列｛2n-4｝的前n项和S.n答案：S=n2-3n.n高考题3(2014年高考福建卷文科第17题)在等比数列｛a｝中，a=3,a=81.n25⑴求a；n⑵设b=loga，求数列｛b｝的前n项和S.n3nnnn2-n答案：⑴a=3n-1；(2)S=nn2高考题4(2014年高考重庆卷文科第16题)已知｛｝是首项为1,公差为2的等差数列，S表nn示｛示｛a｝的前nn项和.求a及S；nn设｛b｝是首项为2的等比数列，公比q满足q2-(a+1)q+S=0，求｛b｝的通项n44n公式及其前n项和T.n2答案：(1)a=2n-1,S=n2；(2)b=22n-1,T=—(4n-1).nnnn32倒序相加法事实上，等差数列的前n项和S的公式推导方法就是倒序相加法.n例3求正整数m与n(m<n)之间的分母为3的所有既约分数的和S.显然，421…,显然，421…,n一一,n一一,n-—333124

m+—,m+—,m+—TOC\o"1-5"\h\z333124421S=(m+3)+(m+3)+(m+3)+…(n一3)+(n一3)+(n一3)WORD格式WORD格式--可编辑--专业资料,----完整版学习资料分享也有所以124421S=(n-3)+(n一3)+(n一3)+…(也有所以124421S=(n-3)+(n一3)+(n一3)+…(m+3)+(m+3)+(m+3)2S=(m+n)-2(n-m)-2(n2-m2),S=n2-m2求和f〔2002)f〔2002jf12002+…+/2001]12002丿可先证得f(x)+f(1-x)=1，由此结论用倒序相加法可求得答案为2001~ir3裂项相消法111n例5若｛a｝是各项均不为0的等差数列，求证：++…+=—naaaaaaaa1223nn+11n+1证明设等差数列｛a｝的公差为d:若d=0，要证结论显然成立；若d丰0，得naann+1n+1例8证明丄+丄+…+丄1

d1

daaaaaa1223nn+1aaaaa1223n_11"1__.ndnaadaaaa1n+11n+11n+1111222321an+11111——+一+—+…+-—122232n2111<1+■++•••+1-22-3(n-1)-nr11\r11\r1=1+—+—+•••+(12丿(23丿(n—1r11、=1+—<2(1n丿证明—+—+—+•••+—<2(neN*且n>2).122232n21]n丿高考题5(2014年高考全国大纲卷理科第18题)等差数列｛a｝的前n项和为S，已知nna1=10，a2为整数，且Sn<S4.⑴求｛a｝的通项公式；n⑵设b=—-—，求数列｛b｝的前n项和T.naannnn+1----完整版学习资料分享-----WORD格式--可编辑--专业资料-----答案：n(1)a=13—3n；(2)S=nn10(10-3n)高考题6nn(2014年高考广东卷文科第19题)设各项均为正数的数列ta｝的前n项和为S，且S满足S2-C2+n一3乂一3^2+n)=0,ngN*.nnn⑴求a［的值；⑵求数列匕｝的通项公式;n(3)证明：对一切正整数n，11有++a(a+1)a(a+1)112211+<.

a(a+1)3nn答案：(1)a1=2；(2)an=2n；(3)当n=1时可得欲证成立.当n>2时，a(a+1)2n(2n+1)(2n—l)(2n+1)2(2n—12n+1丿，再用裂项相消法可得欲证.nn高考题7(2014年高考山东卷理科第19题)已知等差数列｛an｝的公差为2,前n项和为Sn，且S，S，S成等比数列.124(1)求数列｛a｝的通项公式;

n⑵令b=(—1)n-1n,求数列｛b｝的前n项和T.aannnn+12n+2答案：(1)a=2n—1，T=<nn2n+12nn为奇数n为偶数分组求和法例91例92n-112n-11+112n-1242«-1所以本题即求数列彳2-2n-1的前n项和:S=2n-(1+1+1+・•・+1242n-1丿=2n-an=2n-2+12n-1•WORD格式•WORD格式--可编辑--专业资料'----完整版学习资料分享例10设数列例10设数列｛a｝的前n项和S满足S=，又b=（—1）nS，求数列｛b｝的前nnnn中，令n=1可求得Q]=1.还可得+1)还可得+1)2n+1n+14S=(a+1)2,4S=(an相减，得相减，得4an+4an+1

(a

n+1=a2n+1+a—a)(a+n+1a—an+1n2+2a—2an+1n—a—2)=0n=2所以所以｛a｝是首项为1公差为2的等差数列,n所以a=所以a=2n—1n=n2,b=(—1)n-n2nnn(n+1)__2__当n为偶数时,T=(—12+22)+(—32+42)++[—(n—1)2+n2]=3+7+11++(2n—1)=n当n为奇数时，T=T+bnn—1n、，亠丁(1、n(n+1)总之，T=(—1)n-n2=呼-n2（用以上结论）=-宁a=12,数4高考题8（2014年高考北京卷文科第15题）已知｛a｝a=12,数4n1列｛b｝满足b=4，b=20，且｛b—a｝是等比数列.n14nn⑴求数列｛a｝和｛b｝的通项公式;nn⑵求数列｛b｝的前n项和.n3答案：⑴a=3n,b=3n+2n-1；⑵n(n+1)+2n—1.nn2高考题9（2°14年高考山东卷文科第19题）在等差数列｛孝中，已知公差d=2，a2是a1与a的等比中项.4

求数列｛a｝的通项公式；n设b=a，记T=_b+b—b+b—…+(—l)nb，求T.nn(n+1)n1234nn2—(n+1)2n为奇数答案：⑴a=2n,T=i.nnn为偶数〔2高考题10（2014年高考浙江卷理科第19题（部分））求数列高考题10（2014年高考浙江卷理科第19题（部分））求数列2n—1n(n+1)的前n项和Snn答案：2n+1——2.n+1错位相减法的两个数列高考题11（2014年高考江西卷理科第17题）已知首项都是1的两个数列丰0,neN*)满足ab—ab+2bb=0.nn+1n+1nn+1n⑴令c=,，求数列｝的通项公式；nbnn⑵若b=3n-1，求数列｛a｝的前n项和S.TOC\o"1-5"\h\znnn解(1)c=2n—1.n(2)得a=bc=(2n—1)-3n-1.先写出S的表达式：nnnnS=1-1+3-31+5-32+7-33++(2n一1)-3n-1①n把此式两边都乘以公比3，得3S=1-31+3-32+5-33++(2n一3)-3n-1+(2n一1)-3n②n①-②，得一2S=1+2-31+2-32+2-33++2-3n-1—(2n一1)-3n③n—2S=(2-3。+2-31+2-32+2-33+…+2-3n-1)—(2n—1)-3n—1④n由等比数列的前n项和公式，得—2S=3n—1—(2n—1)-3n—1n2S=—3n+1+(2n—1)-3n+1=(2n—2)-3n+2⑤nS=(n—1)-3n+1n因为此解答确实步骤多，且有三步容易出错：(1)等式③右边前n项的符号都是“+”但最后一项是“一”(2)当等式③右边的前n项不组成等比数列时，须把第一项作微调，变成等比数列(即WORD格式WORD格式--可编辑--专业资料,-----WORD格式-----WORD格式--可编辑--专业资料---------完整版学习资料分享----完整版学习资料分享等式④)，这增加了难度；(3)等式⑤中最后一步的变形(即合并)有难度•但这种方法(即错位相减法)又是基本方法且程序法，所以备受命题专家的青睐，在高考试卷中频频出现就不足为怪了.考生在复习备考中，应彻底弄清、完全掌握，争取拿到满分.这里笔者再给出一个小技巧——检验：算得了S的表达式后，一定要抽出万忙的时间检验一下S,S是否正确，若它们均正确，一般n12来说就可以确定算对了，否则就算错了，需要检查(重点是检查容易出错的三点)或重算.对于本题，已经算出了S=(n—1)-3n+1，所以S=1,S=10.而由通项公式可知n12S=1-1=1,S=S+3-31=10，所以求出的答案正确.121高考题12(2014年高考课标全国卷I文科第17题)已知(a｝是递增的等差数列，a,a是方n24程x2—5x+6=0的根.求匕｝的通项公式；n求数列］［的前n项和.1答案：(1)a=n+1•n2(2)用错位相减法可求得答案为2—$兰.2n+1高考题13(2014年高考安徽卷文科第18题)数列｛a｝满足na=1,na=(n+1)a+n(n+1),nwn*.TOC\o"1-5"\h\z1n+1n(1)证明：数列\-n-?是等差数列;⑵设b=3n-a，求数列｛b｝的前n项和S.n+nnn答案：(1)略.(2n—1)-3n+1+3(2)由(1)可求得a=n2，所以b=3n-n，再用错位相减法可求得S=nnn4点(a,b)在函数nn高考题14(2014点(a,b)在函数nnnf(x)=2x的图象上(nwN*).证明：数列｛b｝为等比数列；n1若a=1，函数f(x)的图象在点(a,b)处的切线在x轴上的截距为2—，求数列122ln2

｛ab2｝的前n项和S.nnn答案：(1)略.(3n—1)•4n+1+4(2)可求得a=n,b=2n,所以ab2=n-4n,再用错位相减法可求得S=nnnnn9高考题15(2014年高考四川卷理科第19题)设等差数列｛a｝的公差为d，点(a,b)在函数nnnf(x)=2x的图象上(neN*).若a=—2，点(a,4b)在函数f(x)的图象上，求数列｛a｝的前n项和S；187nn若a=1，函数f(x)的图象在点(a,b)处的切线在x轴上的截距为2，求数列],122In2[bn的前n项和Tn答案：(1)S=n2-3n.nann+2(2)可求得a=n,b=2“，所以〒=，再用错位相减法可求得答案为T=2-nnb2nn2nn待定系数法例11数列{(2n—1)-3n}的前n项和S=n解设等差数列｛a｝的公差为d，等比数列｛b｝的公比为q(q丰1)，得mmTOC\o"1-5"\h\za-b=[a+(m—1)d]-bqm-1(m=1,2,…,n)

mm11先用错位相减法求数列｛a-b｝的前n项和S:mmnS=b{a+(a+d)q+(a+2d)q2+•••+[a+(n—1)d]qn—1}n11111qS=b{aq+(a+d)q2++[a+(n—2)d]qn—1+[a+(n—1)d]qn}n11111(1—q)S=b{a+dq+dq2+—•+dqn—1—[a+(n—1)d]qn}111b{(d+dq+dq2++dqn—1)—[a+(n—1)d]qn+a—d}n1=b；d―如111—q1—[a+n1=b；d―如111—q1口S:b口S:bn1所以有下面的结论成立：dn+a—d-二1q-1丿qn—a+d+1q—1若｛a｝,｛b｝分别是等差数列、等比数列(其公比q丰1)，且a,b均是与n无关的常数，则数mm11列｛a-b｝的前n项和S—(an+b)qn-b，其中a,b是与n无关的常数.mmn由此结论就可以用待定系数法快速求解本题：可设S—(an+b)-3n-b(其中a,b是常数).n可得S—3,可得S—3,S—3+27=30,所以v123(a+b)—b=39(2a+b)-b二30'a=3b=-3所以S—(n—1)-3n+1+3.n例12求和S—1•2n+2•2n-1+3•2n-2+•••+(〃—1)•22+n•2.例12n解得S—n2n—1(丄]+2-+3-12丿用待定系数法可求出该等式的右边为解得S—n2n—1(丄]+2-+3-12丿用待定系数法可求出该等式的右边为4-，所以S—2n+2-2n-4.n2n-1七、求导法、积分法xn+1-1例13(1)求证：1+x+X2+x3++xn—(X丰1)；x-1[(x-1)n-1]xn+1(2)求证：1+2x+3x2++nxn-1—(x丰1)；(x-1)2(3)求数列^(2n-1)-3n｝的前n项和S(此即例6).n解(1)当x—0时，显然成立.当x乂0时，由等比数列的前n项和公式知，欲证结论也成立.(2)视(1)的结论为两个函数相等，两边求导后