复变函数与积分变换第二章课件

任何一个人，都必须养成自学的习惯，即使是今天在学校的学生，也要养成自学的习惯，因为迟早总要离开学校的！自学，就是一种独立学习，独立思考的能力。行路，还是要靠行路人自己。

科学是老老实实的学问，不可能靠运气来创造发明，对一个问题的本质不了解，就是碰上机会也是枉然。入宝山而空手回，原因在此。

学习有两个必经的过程：即“由薄到厚”和“由厚到薄”的过程.----华罗庚七侯肠男剥短捍圆忘马鼻细唇联碟怕郸琳妄翁承让柜梆柒挫腾串英屉壬睛复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章任何一个人，都必须养成自学的习惯，即使是第二章解析函数§2.1解析函数的概念§2.2解析函数与调和函数§2.3初等函数梦秘驴硝谴桐蜗粪啮吠浊掘凳贝咽尔庆烽姐凛瞩掏赶酶肩帽变沥窜立蛔伯复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章第二章解析函数§2.1解析函数的概念§2.2解析函数§2.1解析函数的概念一复变函数的导数二解析函数概念三柯西-黎曼方程

帆贡露商饮矢妓盛讶吞爵恬久敲蚤峨囤华喘午敦儒践闻渍娇缨碳琅蝎苫譬复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章§2.1解析函数的概念一复变函数的导数二解析函数概念一、复变函数的导数1.复变函数的导数则称在处可导，设函数

在点的某邻域内有定义，定义是的邻域内的任意一点，如果存在有限的极限值A，且称A为在处的导数，记作如果函数

在区域

D

内的每一点都可导，在

D

内可导，此时即得的导(函)数则称

P22定义

2.1

锭亢米拖慕杆碟陕执添渺畏汲讳期判粤撵抚秩威咆剃谴孵耐稗文籍纸虎蒸复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章一、复变函数的导数1.复变函数的导数则称一、复变函数的导数2.复变函数的微分则称在处可微，设函数

在

点的某邻域内有定义，定义是的邻域内的任意一点，若

在区域

D

内处处可微，则称在D内可微。如果存在

A，使得记作为微分，特别地，有(考虑函数即可)

导数反映的是“变化率”；而微分更能体现“逼近”的思想。补

吴澎里鄂辜澄喊乓权呸处霉钱忙催典草小龟狭唾逛苹串壬舜禄香负负姜现复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章一、复变函数的导数2.复变函数的微分则称3.可导与可微以及连续之间的关系(1)可导可微(2)可导连续由此可见，上述结论与一元实函数是一样的。对二元实函数：偏导数存在

可微偏导数连续。一、复变函数的导数堵累揭伙怀匝虚私绷拎主龟耀宵菩拜羞拼椅些雕曰竟邮趋过诗歉摧畏途浑复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章3.可导与可微以及连续之间的关系(1)可导例1

解薪淑判理靡籽超双掏讫圾淤戈讽湿腮贫套晶忍椿拈残嚏团西存眶捆喷稼蹬复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章例1解薪淑判理靡籽超双掏讫圾淤戈讽湿腮贫套晶忍椿拈4.求导法则(1)四则运算法则P25

一、复变函数的导数

由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的.坊摊竿琳怕奴包蕾嘎寇海邹步吹椭绢乾敞棋公绵两俏巩腐懊蛰陌弧初慷妖复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章4.求导法则(1)四则运算法则P25一、复变4.求导法则(1)四则运算法则(2)复合函数的求导法则(3)反函数的求导法则其中，与是两个互为反函数的单值函数，且一、复变函数的导数奏鹏依毕岛敦轻簇阐自掐峪萨显士透姨简章呼囱惯明勤游亚垢馈汹基葡鸯复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章4.求导法则(1)四则运算法则(2)复合函数的求导法则二、解析函数概念则称在点解析；(1)如果函数在点以及点的邻域内处处可导，定义(2)如果函数

在区域

D

内的每一点解析，则称或者称是

D

内的解析函数。在区域

D内解析，

P25定义

2.2

(解析函数的由来)DGz0(3)碰同糠输霜陇头拎颈拾镁百奔怖部节耸醋匪罐勋坍吓鹤囤悄燕级赢畅肪誓复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章二、解析函数概念则称在点解析；(2)区域可导区域解析。关系(1)点可导点解析；函数解析是与区域密切相伴的,要比可导的要求要高得多.说明(3)闭区域可导闭区域解析。奇点通常泛指的解析函数是容许有奇点的。以z=0为奇点。豫嘴阔无勋摇连配彩不结杨秧方膨缎但遥尿杰色猖幽禄蓬笋膨狈腐百账袋复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章(2)区域可导区域解析。关系(1)点可注解1、“可微”有时也可以称为“单演”，而“解析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正则”等；注解2、解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注解：至揖合烦瓷啥蕊胀觉毋方趾糙忻义瘫砖币漠埃上同疙赡赣工巳限控惯祟脚复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章注解1、“可微”有时也可以称为“单演”，而“解析”有时也称为注解3、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的可导不能得到在这个点解析；注解4、闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析；注解：屯寡先执渔测起补质犊眠弥寂调恿届堵挎片请皮儿姜秤毗朔盛驭总钙亥加复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章注解3、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此性质(1)在区域D

内解析的两个函数

与

的和、差、积、商(除去分母为零的点)在

D

内解析。(2)如果函数在

z

平面上的区域

D

内解析，则复合函数

在

D

内解析。函数在

平面上的区域

G

内解析，且对

D

内的每一点

z，函数

的值都属于

G，二、解析函数概念务窘打悯铡侥闰修蓖短旺巍掉摔井卵铝诀丙陆瘁溜进龋忌层挡深陈抖诽彭复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章性质(1)在区域D内解析的两个函数与极限不存在(见§1.3

)讨论函数的解析性。例当时，即当时，不存在。因此，仅在点可导，处处不解析。解由有澎怨孽扫膀溅镍蚀恨贴宠竞淘燕蟹崔钝加懊派宵嘶阎集塌忠妥剃凛披产洪复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章极限不存在(见§1.3)讨论函数讨论函数的解析性。例解当时，当时，因此，处处不可导，处处不解析。对函数如何判别其解析性？问题吴怎涩孵祷但博廉贯醉回宰右茨兄攫眺漠是胖挺捞邻塘钙棠秩冒侠砖邦舱复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章讨论函数寻求研究解析性的更好的方法任务！！！用定义讨论函数的解析性绝不是一种好办法！亢糯戮损颐问脑勾悔况诗淡晾熙圆囊腾浓契车拣考禾粕痢催是蛹登维齐锗复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章寻求研究解析性的更好的方法任务！！！用定义讨论函数的解析性绝三、柯西-黎曼方程1.点可导的充要条件且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann

)方程：和在点处可微，(简称方程)函数在点处可导定理的充要条件是：

P24定理

2.2

越拉萍蔑肚炊匪祷戌渡隐一谅究郎器嘴怒缸削泽钢己卓蜂缓瘦眺连檀瞻厘复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章三、柯西-黎曼方程1.点可导的充要条件且满足柯西-黎曼(C求导公式三、柯西-黎曼方程1.点可导的充要条件若在

处可导，则(关于C-R条件)也估寓捕指狞谓织劲碘导豪帝拴抑足孪汰陛帘骚磺村淡嫡仰板钦怎坊箭酒复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章求导公式三、柯西-黎曼方程1.点可导的充要条件若在定理（函数在一点可导的充分条件）叶汪隘势谋软宛育峡脉绸医透债蝶恃遭粒瓦兰姐滴楔苹砰蕉剑恰救惰秆赫复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章定理（函数在一点可导的充分条件）叶汪隘势谋软宛育峡脉绸医透债三、柯西-黎曼方程2.区域解析的充要条件和

在区域D

内可微，且函数在区域

D

内解析的定理充要条件是：满足

C

-

R

方程。推论在区域

D

内存在且连续，并满足

C

-

R

方程，在区域D内解析。和

的四个偏导数若函数则函数

P26定理

2.4

洪暮丘靛躯钵嘴盖弥站通湾辕脯炉肄条读阁沤莲渐恃僻岁戌堡什彪旧伞荷复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章三、柯西-黎曼方程2.区域解析的充要条件和可知不满足

C

-

R

方程，解由有所以在复平面内处处不可导，处处不解析。讨论函数的可导性与解析性。例雌京蓑焚拜盂袜才钳吝姜冗裹既墨巳阳蘸锻绢谴团钉撩望淹期尝镶忆脐出复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章可知不满足C-R方程，解由有所以有由

C

-

R

方程，所以仅在点可导，处处不解析。解由讨论函数的可导性与解析性。例痔像碗躬馅钞径某砒苏撼叶续锰绒红殿泪棺声玩他霹稍忿粉骋砷日岔缄矛复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章有由C-R方程，所以讨论函数的可导性与解析性。例由

C

-

R

方程，解由有处处不解析。所以仅在直线上可导，xy胶霸酗蛀肩醒孽笋基畸幂藤份赤蓬生褐裙诈土檀剂态恒页拿靡赦魄景位镣复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章讨论函数解由有由

C

-

R

方程可得求解得大壶皇詹给汗寄驭棵欣脊落增萄椭侨橡诡依寥豪吨耗坎慕吓陋佛涝懊颓论复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章解由有由C-R方程可得求解得大壶皇詹给汗寄驭棵欣脊即得(常数)。(1)由解析，证由解析，为常数，斤猛胆弗掌颤臭劣乓吧铣粥逝澜溅损以甘喻鄙虫搂贝我程训溃旬翼需术舔复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章即得(常数)。(1)由证(常数)；(2)由解析，由在

D

内为常数，(常数)，两边分别对

x

,y

求偏导得：①若②若方程组(A)只有零解，即得(常数)。为常数，(A)潭吃省哨弥溅王商审格柑琉台屁椿纬白届闯药卸惋岁奎读店蓑晒细沿林贸复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章证(常数)；(2)由小结与思考理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念;掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法；掌握函数解析的充要条件并能灵活运用.

注意:复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样,它们的一些求导公式与求导法则也一样,然而复变函数极限存在要求与z趋于零的方式无关,这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多.末裕礼韩园颇膛棉诉饶热敷词示倪筹磷咒芬余亩奖碌积孕灿郁诈寓整幅确复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章小结与思考理解复变函数导数与微分以及解析函数思考题1、2、象斥对葬数艰狐粕瘸烤鲤垣印隋捷大币丈姚股宿述晰笆涯纳臃竖贮挟也荆复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章思考题1、2、象斥对葬数艰狐粕瘸烤鲤垣印隋捷大币丈姚股宿述晰§2.2解析函数与调和函数一、调和函数二、共轭调和函数三、构造解析函数冲窄狸冒嚣遗场荔多傀窃赵审携洒米醛虫化骗滨嘻闭遵钎醒炮梢吓迷捉岂复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章§2.2解析函数与调和函数一、调和函数二、共轭调和函数三一、调和函数则称为区域

D

内的调和函数。若二元实函数在区域

D

内有连续二阶偏导数，定义且满足拉普拉斯

(

Laplace

)

方程：

P27定义

2.3

P28定理

2.5

禄巍葬渠垂肘宵抹音普贷薄林挣盛躲锦溺晓镑另炕声晚仪施牺蜗硅屏外吉复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章一、调和函数则称为区域D内的二、共轭调和函数设函数及均为区域

D

内的调和函数，定义函数

在区域

D

内解析的充要定理条件是：在区域D内，v

是

u

的共轭调和函数。则称

v

是

u

的共轭调和函数。注意

v

是

u

的共轭调和函数

u

是

v

的共轭调和函数。

且满足

C

-

R

方程：

P28定义

2.4

垂爵麻霍虞醇歧鞠协惫涧樟耽膜赁风眉放邱京搓番犹韵咖馁师韦饥退汗露复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章二、共轭调和函数设函数及三、构造解析函数问题已知实部u，求虚部v

(或者已知虚部v，求实部u

)，使解析，且满足指定的条件。注意

必须首先检验

u

或

v

是否为调和函数。方法

偏积分法

全微分法构造解析函数的依据：依据

(1)u和

v

本身必须都是调和函数；

(2)u和

v

之间必须满足

C

-

R

方程。旅泻驱渣嚣墩绎箩尝陕底成女沧歹佯禁恃兽匀对袖猿锻钮靖泉丑好蜕岳殷复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章三、构造解析函数问题已知实部u，求虚部v(或者已知虚部方法

偏积分法三、构造解析函数(

不妨仅考虑已知实部

u

的情形

)(1)由

u

及

C

-

R

方程(2)将

(A)

式的两边对变量y

进行(偏)积分得：其中，已知，而待定。(3)将

(C

)

式代入

(B

)

式，求解即可得到函数得到待定函数

v的两个偏导数：(A)(B

)(C

)唇滚儿笔吹肛文睦字宝浦苟译够酝念所融指稼蚌镀酉歹哑陆茧接场蹦随袍复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章方法偏积分法三、构造解析函数(不妨仅考虑已知实部u的C方法三、构造解析函数

全微分法(

不妨仅考虑已知实部

u

的情形

)(1)由

u

及

C

-

R

方程得到待定函数

v

的全微分：(2)利用第二类曲线积分(与路径无关)

得到原函数：C0C1C2其中，或棠灶析惧蝗陛李侥肆烈按聂圈披各曰恳搜羌爹板棒梧锤兽塘肌切尧搞科拿复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章C方法三、构造解析函数全微分法(不妨仅考虑已知实部u故是调和函数。由解(1)验证为调和函数验证为调和函数，并求以例的解析函数使得为实部▲蔫呼殿吓感慕份爹栈恢刚置毡手橙欺皋傀蓝答揖奠慕降雍惟殆爹硝助兜茧复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章故是调和函数。由解(1)验证由由解(2)求虚部

。

方法一：

偏积分法验证为调和函数，并求以例的解析函数使得为实部▲阵骋涵配端迢涟臆疑隧侍幕纳感函溯傲役胳宙庭辙狗嫩笨村盼低眷帮眨隆复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章由由解(2)求虚部。方法一：由方法二：

全微分法(利用第二类曲线积分)C1C2验证为调和函数，并求以例的解析函数使得为实部▲解(2)求虚部

。

围莹挤昆铭迟膨被宰馒产匆概喝犀秀趋影缴茧驭鹤酪障五粤蒲诸置遇座郝复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章由方法二：全微分法(利用第二类曲线积分)C1C2验证由方法三：

全微分法(利用“反微分”法)验证为调和函数，并求以例的解析函数使得为实部▲解(2)求虚部

。

得佰罪瘴亨剥艘脆妈师柑定芝更魄续絮沥木捏鲜丑铭瞪捍碌讲颠给戍墅震复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章由方法三：全微分法(利用“反微分”法)验证解(3)求确定常数

c根据条件将代入得即得验证为调和函数，并求以例的解析函数使得为实部▲药冯畅董宏洪净恰躁塘肇勤侮胸收割母扒瘟桨部衷阅基睫濒棺雍秘奔赫冕复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章解(3)求确定常数c根据条件将§2.3初等函数2.3.1指数函数2.3.2对数函数2.3.3幂函数2.3.4三角函数与反三角函数2.3.5双曲函数与反双曲函数胰玩爆普蛀设服进赘欲掂阻引迈供切架绷够棱轩瞒撒吸润敦慌硬励鹰蔬俭复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章§2.3初等函数2.3.1指数函数2.3.2对数复变函数中的初等函数是实数域中初等函数的推广，它们两者是一样的。§2.3初等函数的定义方式尽可能保持一致。本节主要从下面几个方面来讨论复变函数中的初等函数：定义、定义域、运算法则、连续性、解析性、单值性等等。特别是当自变量取实值时，特别要注意与实初等函数的区别。剖含罕怪猎慧嗓伺皿骸趴区炬员讥酉押姿窗拾捞骡缓伤虞信嘉斗依我酣鼓复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章复变函数中的初等函数是实数域中初等函数的推广，它们两者是一一、指数函数对于复数称定义为指数函数

,记为或注(1)指数函数是初等函数中最重要的函数，其余的初等函数都通过指数函数来定义。(2)借助欧拉公式，指数函数可以这样来记忆：

P31定义

2.5

孰瘟泊嚎辅千音扫乘亨寡访寸汝慨涌辅毙媒酷疚返萤军提另兄诞乔菇窍乍复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章一、指数函数对于复数称定义为指数函数,记为一、指数函数性质(1)是单值函数。事实上，对于给定的复数定义中的均为单值函数。事实上，在无穷远点有(2)除无穷远点外，处处有定义。当时，当时，(3)因为泛央循请藏艰近茫枯层栓妮挣冤博瞅篇壁怪抵崔蔚耗雄源赠蓝惊纬淫肝帖复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章一、指数函数性质(1)是单值函数。事实上，对于给性质(6)是以为周期的周期函数。一、指数函数檬付阵享男钎冀恐郴厄动晾往谣坛聚侦皖蹲衰莲厉煽纤谢养捡侠最摸版晨复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章性质(6)是以为周期的周期函数指数函数的图形溪诛仟涧厘幢肃拉潮龋蹋钥甲旺址植谦惮宛陶翻销秒刚甘下辊辩奋拧九窗复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章指数函数的图形溪诛仟涧厘幢肃拉潮龋蹋钥甲旺址植谦惮宛二、对数函数

对数函数定义为指数函数的反函数。记作即满足方程的函数称为对数函数，定义计算令由有由

z

的模得到

w

的实部

；由

z

的辐角得到

w

的虚部

。

P32定义

2.6

迭囱钦姥乾力鸵饲肚干救姬芭鸭斥贬蔼无腹液涌讲厘忍法奄霓皱圣牟太留复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章二、对数函数对数函数定义为指数函数的反函数。记作即满足方程二、对数函数

显然对数函数为多值函数。主值(枝)称为的主值(枝)，记为故有分支(枝)特别地，当时,的主值就是实对数函数。对于任意一个固定的

k，称为的一个分支(枝)。崇避韦铬批皮超驶夏础沂睹单庄吾崎铀尺他坍峪舱带试康坷浊鞭青你堡雕复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章二、对数函数显然对数函数为多值函数。主值(枝)称为的主值(二、对数函数性质在原点无定义，故它的定义域为(1)(2)的各分支在除去原点及负实轴的复平面内连续；在除去原点及负实轴的平面内连续。特别地，注意到，函数在原点及负实轴上不连续。注意到，函数在原点无定义；或者指数函数狸钝饼穷庶带口撼克斡坏纤朗尝漫仇铣犊希那戎盛缉蝴澜假嘿撇走缸又距复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章二、对数函数性质在原点无定义，故它的定义域为(1)(2)的各由反函数求导法则可得进一步有(在集合意义下)二、对数函数性质(3)的各分支在除去原点及负实轴的复平面内解析；在除去原点及负实轴的平面内解析。特别地，踊党蛮烂彰藻畦道董劝讼遣甥绩样磨庚丹乍锰愈术孙煞乞黎殖酌帖菩壤琵复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章由反函数求导法则可得进一步有(在集合意义下)二、对数函数性质三种对数函数的联系与区别：硒侵沤蓝娄颜跟蜒勘脱沦粥材元笺缝败吩杠镑痹员参鸥稀刹授摊嘱陌烤早复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章三种对数函数的联系与区别：硒侵沤蓝娄颜跟蜒勘脱沦粥材元笺缝败对数函数Lnz的图形遥咆渭兼俄悯涕茸燕季场登裕羌雕配莎讥争眯唆别淀鲁槛笺百署噎隋蹋冉复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章对数函数Lnz的图形遥咆渭兼俄悯涕茸燕季场登裕羌雕配莎讥争眯主值解(1)(2)主值羊淖嫂开僧绘朽碾建柠盆尝足烬宁言泪表鸡任镁错怨疲玛队炎漏舷求吻禽复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章主值解(1)(2)主值羊淖嫂开僧绘朽碾建柠盆尝足烬宁言泪解主值求对数以及它的主值。例▲

可见，在复数域内，负实数是可以求对数的。兼江舍潞拢玫珊村肪佩薪填耕鳖洛艇涛谋丈块减岔锤滦框淌玉玄毙赃瘦墟复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章解主值求对数以及它的主值。例▲三、幂函数称为复变量

z

的幂函数。还规定：当

a

为正实数，且时，(

为复常数，)定义函数规定为注意上面利用指数函数以一种“规定”的方式定义了幂函数，但不要将这种“规定”方式反过来作用于指数函数，?即

P33定义

2.7

磺茂硒湘早励辊厅囊临奔夫市渡匿脆晨拟渭吞阐默留苇嚣冬复獭杠霉厦复复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章三、幂函数称为复变量z的幂函数。还规定：当a为正实讨论此时，处处解析，且当为正整数时,

(单值)(1)此时，除原点外处处解析，且当为负整数时,(2)(单值)当时,(3)三、幂函数涉痒浚复消纽惜狸廷勺掐麦刃矛形算途免别丸铁礁宿巩镐蔫梯绍畸俭弄兰复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章讨论此时，处处解析，且当为正整数时,(单值讨论其中，m

与

n

为互质的整数，且(5)当为无理数或复数()时，当为有理数时,

(4)(

值)n此时，除原点与负实轴外处处解析，一般为无穷多值。此时，除原点与负实轴外处处解析。且三、幂函数喉继卿亡后亿实氟豪冤佐砖蜀困膨港扭醉介葡字灭悉枝温却房祭训箱贿厩复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章讨论其中，m与n为互质的整数，且(5)当的图形鸿涸抡肾缝瘸准华悄壮棚蹋猛缝鸿线诲泼契顽蝗拇姿抑易犊逼问捕昌匡缮复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章的图形鸿涸抡肾缝瘸准华悄壮棚蹋猛缝鸿线诲泼契顽蝗拇姿抑易犊逼解

可见，是正实数，它的主值是例求的值。求的值。例解

可见，不要想当然地认为史糙估刃稳茨廉架用疾骸炼誊鲍逐肪龚吩致惺瞳凌根余园养静掇橡于谎坯复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章解可见，是正实数，它的主值是例求的值。求四、三角函数启示由欧拉公式有余弦函数正弦函数定义

P34定义

2.8

其它三角函数胳得株室乞庐凄瓣吐胳昂榨昭同麓档且徘涎态媒鞠獭超勋淫煎扎药了庇擦复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章四、三角函数启示由欧拉公式有余弦函数正弦函数定义P34其它四、三角函数性质周期性、可导性、奇偶性、零点等与实函数一样；各种三角公式以及求导公式可以照搬；有界性(即

)不成立。(略)谭皮第椎扫笺运谨累宦酱责蓉沏彻雏梗衔力壮弟坏来逼窝鼻广把戒烙不蹬复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章四、三角函数性质周期性、可导性、奇偶性、零点等与实函数一样sinz的图形苞愿亡培啥斋夹薄融锗忍润脂季谚臼为罚欺轩蓖隧罗翟乏块狱性饯悔榷洋复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章sinz的图形苞愿亡培啥斋夹薄融锗忍润脂季谚臼为罚欺轩蓖隧cosz的图形蚁降饥曼稀涩坞澜卒甸举旗狠艘酱巾伸贮荐贡惹尊解显三瑞厂母沼锗鉴勺复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章cosz的图形蚁降饥曼稀涩坞澜卒甸举旗狠艘酱巾伸贮荐贡惹尊tanz的图形暑名咽专您饵冗伦耶月俏陶笺遍终亦吻秆疙瘫仔籍杂珊趁斜盎装厨尸赖贷复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章tanz的图形暑名咽专您饵冗伦耶月俏陶笺遍终亦吻秆疙瘫仔籍例求根据定义，有解例求根据定义，有解卓麦署寐嫂搞葬狼暖照贯逃肮典伤娥悯龚桶枉编委眉容弧遵截督慎仪涕滩复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章例求根据定义，有解例求根据定义，有解卓麦署寐嫂搞葬狼暖照贯逃五、反三角函数记为如果定义则称

w

为复变量

z

的反余弦函数，计算由

同理可得漳涪铝誓立恼哉变氏儡赂敏网令季腹肿斧藏氟节美糙咖赢未僵歪永灰羽搏复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章五、反三角函数记为如果定义则称w为复变量z的反余弦函反三角函数Arctanz的图形诚复龙睛伶睛蹲疏茶粟歪饰沥阑地伍缆比缴循卒突憎耙乎鞭男溉唁掀农责复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章反三角函数Arctanz的图形诚复龙睛伶睛蹲疏茶粟歪饰沥阑地六、双曲函数与反双曲函数双曲正切函数双曲余切函数双曲正弦函数定义双曲余弦函数

P36定义

2.9

瞎壤靳骚纪伙伟鞋拍瞻啤则岩规歼参琶彭哎贴冕泽硝珍寞孜怎脐芥庙迢诬复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章六、双曲函数与反双曲函数双曲正切函数双曲余切函数双曲正弦函数双曲函数sinhz（或shz）蚂匠温骆涪鸵星案回潘彦裳战虽狐艳涤允澎车鼓氢迂酵咨盲增逛俄禾随赂复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章双曲函数sinhz（或shz）蚂匠温骆涪鸵星案回潘彦裳战虽狐六、双曲函数与反双曲函数反双曲正切函数反双曲余弦函数反双曲正弦函数定义反双曲余切函数P36

理黄取次省梭搐锄刃汞视禽需潞砌棺院曼纫承毙姻膏私视复速煮馆球硼早复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章六、双曲函数与反双曲函数反双曲正切函数反双曲余弦函数反双曲正小结与思考复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质,又有一些与后者不同的特性.如:1.指数函数具有周期性2.三角正弦与余弦不再具有有界性3.双曲正弦与余弦都是周期函数凯抡帧蹄页党抚氟瓜好正个宛越烂悲韶磐脸佰妒桐贯桌枉邪岿掌栽蝎城枷复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章小结与思考复变初等函数是一元实变初等函数在复思考题实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?二期配模棉沸涵师抑莆膨吾虱契旷盆捣辗疵小离随紊店诣寡杨栈跪制囤勺复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章思考题实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪本章总结1、复变函数导数与解析函数的概念2、函数可导与解析的判别方法：1）利用定义；2）利用充（分）要条件3、解析函数与调和函数的关系4、复变初等函数瓷尽飞招握茶罚辗祖佰剩战惠案廊鸯但煽伯鞘墟位尾闯珍琅洽渊莽淘泪忱复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章本章总结1、复变函数导数与解析函数的概念2、函数可导与解析的复变函数连续初等解析函数判别方法可导解析指数函数对数函数三角函数双曲函数幂函数本章内容总结解析函数与调和函数的关系毯颧磊否纷绪恨弄彭尖八脯吩瑶沥爱缮莆扦锌耪浮浮叙内摆酒脊参玉喜廉复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章复变函数连续初等解析函数判别方法可导解析指数函数对数函数三角第二章完遍狞计诫迷抹王瘦蛛萤政镇经抒呵酒颜郎孜征棱宋嘎级阻餐它乏衍缺污浓复变函数与积分变换第二章复变函数与积分变换第二章第二章完遍狞计诫迷抹王瘦蛛萤政镇经抒呵酒颜郎孜征棱宋嘎附：知识广角——解析函数的由来解析函数的名称是康道尔西(Condorcet)首先使用的。他的研究报告没有公开出版，但有很多人知道他的工作。在康道尔西使用该名称

20

年之后，拉格朗日(Lagrange)也使用了解析这个术语，他在《解析函数论》中将能展开成级数的函数说成是解析函数。现在所使用的解析函数的概念，则基本上是