复变函数第16讲课件

第二部分积分变换傅立叶积分变换（傅氏变换）拉普拉斯积分变换（拉氏变换）第二部分积分变换傅立叶积分变换拉普拉斯积分变换简介1、何为积分变换：所谓积分变换，实际上建立了从一类函数f(t)到另一类函数F(w)的一种映射。变换（映射）前的f(t)称为原象函数变换（映射）后的F(w)称为象函数K(t,w)称为变换的核简介1、何为积分变换：所谓积分变换，实际2、积分变换的产生及作用：数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解！原问题原问题的解直接求解困难变换较简单问题变换后问题的解求解逆变换2、积分变换的产生及作用：数学中经常利用某种运算先把复杂问题如：初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、差运算；再如：高等数学中的代数变换，解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换（？），其解决问题的思路都属于这种情况。基于这种思想，为解决某些问题的需要，便产生了积分变换。其主要作用体现在：如：初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和数学上：求解常微分、偏微分方程的重要工具；能实现卷积与普通乘积之间的互相转化工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具3、积分变换的任务：1）建立正变换T和逆变换T-1的表达式（定义）2）变换T和T-1的性质3）基本运算T[f(t)],T-1[F(w)]4)积分变换的应用数学上：求解常微分、偏微分方程的重要工具；工程上：是频谱分析4、常见积分变换：拉普拉斯变换希尔伯特变换欧拉变换傅立叶变换本课程讨论前两种：拉普拉斯变换傅立叶变换4、常见积分变换：拉普拉斯变换希尔伯特变换欧拉变换傅立叶变换第一章傅立叶变换傅立叶变换是由傅立叶积分公式引出的§1傅立叶积分公式一、周期函数的傅立叶展开式（指数形式）：则在连续点处定可展成傅立叶级数：第一章傅立叶变换傅立叶变换是由傅立叶积分公式引出（间断点收敛情况如何？）其中：由欧拉公式：代入fT(t)表达式中，得（间断点收敛情况如何？）其中：由欧拉公式：代入fT(t)表达复变函数第16讲课件至此我们得到了傅立叶展式的指数表达式：将它们合写成一个式子，即至此我们得到了傅立叶展式的指数表达式：将它们合写成一个式子，二、非周期函数的傅立叶积分公式：任何一个非周期函数f(t),都可看成是有某个周期函数fT(t)当T→+∞时转化而来的。于是有二、非周期函数的傅立叶积分公式：任何一个非周期函数f注意到就有注意到就有这个公式称为函数f(t)的傅立叶积分公式（简称傅氏积分公式）。这个公式称为函数f(t)的傅立叶积分公式（简称傅氏积分公式）傅立叶积分定理：1）在任一有限区间上满足狄里克莱条件2）在（-∞，+∞）上绝对可积，即则有：傅立叶积分定理：1）在任一有限区间上满足狄里克莱条件2）在（注：1、同傅立叶级数展开一样，上面公式也仅在f(t)的连续点处成立！间断点处，左端应换为f(t)的左、右极限的平均值2、由欧拉公式，上式也可用三角函数表示：注：1、同傅立叶级数展开一样，上面公式也仅在f(t)2、由欧§2傅立叶积分变换一、定义：上一节介绍了：当f(t)满足一定条件（？）时，在f(t)的连续点处有傅立叶积分公式成立：这就引出了傅立叶变换的概念：定义：§2傅立叶积分变换一、定义：上一节介绍了：若是已知象函数，求象原函数，则称为逆变换。记为根据傅立叶积分公式，付氏逆变换的表达式为：象函数和象原函数构成了一个傅氏变换对。若是已知象函数，求象原函数，则称为逆变换。记为根据注：1、象函数F()为一实变量复值函数2、傅氏逆变换的表达式也被称为函数f(t)的（付氏）积分表达式！注：1、象函数F()为一实变量复值函数2、傅氏逆变换的表解：首先求f(t)的傅氏变换

下面再来求f(t)的积分表达式：解：首先求f(t)的傅氏变换下面再来求f(t)的积分表达式下面化简整理！如何得出由此得到下面化简如何得出由此得到它的n次谐波()为二、非周期函数的频谱1.周期函数的频谱：考虑以T为周期的非正弦函数f(t)，其傅氏展式为其振幅为在复指数形式中，n次谐波为它的n次谐波()为二、非我们通常称An为f(t)的振幅频谱（简称为频谱），所谓频谱图，是指频率和振幅的关系图。由于频率不是连续的，所以称之为离散频谱。

频谱图能够清楚地表明周期函数包含了那些频率分量及各分量所占的比重（振幅大小）。我们通常称An为f(t)的振幅频谱（简称为频谱），2.非周期函数的频谱：当f(t)满足傅氏积分条件时，在f(t)的连续点处由此引出以下术语：其中2.非周期函数的频谱：当f(t)满足傅氏积分条件时，在f由于此时频率是连续变化的，所以我们又称之为连续频谱。频谱图直观反映了各频率成分所占比重的大、小。注1

由于此时频率是连续变化的，所以我们又称之为注1注2

注