第2版《线性代数》综合卷1期末考试试题及参考答案

第8页/共8页《线性代数》期末试卷(综合卷)一、填空与选择题（本题满分30分，每空3分）1.如果矩阵正定，则的取值范围是.2.设阶方阵，若存在阶非零方阵，使得，则，方阵的秩，.3.行列式.4.已知线性方程组无解，则.5.设阶方阵相似于方阵，若有特征值，则.6.已知线性相关，而线性无关，则中不能用另外3个向量线性表示.7.如果是向量组的极大无关组，则：也是向量组的极大无关组.（A）（B）（C）（D）8.线性无关,而线性相关,则.A)线性相关.(B)线性无关.(C)线性相关.(D线性无关.二、(本题满分10分)已知矩阵，阶方阵满足，求.三、（本题满分15分）已知向量组以及向量，讨论参数取何值时，(1)向量不能由向量组线性表示；(2)向量能由向量组线性表示，且表示式唯一；(3)向量能由向量组线性表示，且表示式不唯一，并求出一般表示式.四、（本题满分15分）已知二次型通过正交变换可以化为标准型.（1）求常数.（2）求所用的正交变换.五．（本题满分15分）已知与分别是的两组基，（1）求从基到基的过渡矩阵.（2）分别求向量在基下的坐标和在基下的坐标.六、证明题(1)(本小题满分7分)已知为3阶方阵，为的三个不同的特征值，分别为相应的特征向量，又，试证：线性无关.(2)(本小题满分8分)设为阶方阵，且，为的伴随矩阵，证明：.《线性代数》期末试卷(综合卷)一、填空与选择题（本题满分30分，每空3分）1.如果矩阵正定，则的取值范围是.2.设阶方阵，若存在阶非零方阵，使得，则，方阵的秩，.3.行列式.4.已知线性方程组无解，则.5.设阶方阵相似于方阵，若有特征值，则.6.已知线性相关，而线性无关，则中不能用另外3个向量线性表示.7.如果是向量组的极大无关组，则：（A）也是向量组的极大无关组.（A）（B）（C）（D）8.线性无关,而线性相关,则(D.A)线性相关.(B)线性无关.(C)线性相关.(D线性无关.二、(本题满分10分)已知矩阵，阶方阵满足，求.解，，，，，又，于是，，从而。三、（本题满分15分）已知向量组以及向量，讨论参数取何值时，(1)向量不能由向量组线性表示；(2)向量能由向量组线性表示，且表示式唯一；(3)向量能由向量组线性表示，且表示式不唯一，并求出一般表示式.解上面三个问题可以转化为讨论线性方程组在参数取何值时无解、有唯一解、有无穷多解。先讨论(2).当，即时，方程组有唯一解，即向量能由向量组线性表示，且表示式唯一。当时，对方程组的增广矩阵作初等行变换，，当时，方程组无解，从而向量不能由向量组线性表示。当时，方程组有无穷多解，通解为，从而向量能由向量组线性表示，且表示式不唯一，一般表示式为。四、（本题满分15分）已知二次型通过正交变换可以化为标准型.（1）求常数.（2）求所用的正交变换.解(1)二次型的矩阵为，由已知条件知矩阵的特征值为，于是由，即，得。(2)时，解方程组，得特征向量为，令。时，解方程组，得特征向量为令，。将、正交化，得，。再将、单位化，得，。令，则由正交变换，二次型化为标准形。五．（本题满分15分）已知与分别是的两组基，（1）求从基到基的过渡矩阵.（2）分别求向量在基下的坐标和在基下的坐标.解(1)由，得从基到基的过渡矩阵为。(2)由及得。六、证明题(1)(本小题满分7分)已知为3阶方阵，为的三个不同的特征值，分别为相应的特征向量，又，试证：线性无关.(2)(本