二面角(教师版)

NO.*二面角教师版一、基本观点(一).求二面角的主要方法：1）定义法：①找（作）二面角的平面角；【先证】②解三角形求出角。【后算】S射影三角形（2） 公式法：设二面角的度数为 θ，则cosS侧面三角形多用于求无棱二面角。(二) 求作二面角的平面角求作二面的平面角是解决二面角问题的关键，也是难点，通过前面教学及习题涉及到的作法有下面三种：1.定义法：利用二面角的平面角定义，在二面角棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角 .2.三垂线法：利用三垂线定理及逆定理通过证明线线垂直，找到二面角的平面角，关键在找面的垂线.3.垂面法：作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.二.求二面角的大小的基本方法为先证后算 ,即先由有关立几结论找出二面角的平面角(大多数题是用三垂线法去找 ),然后借助于解三角形求出平面角 .例题解析题1: 设P是二面角 α－l－β内一点，P到面α、β的距离PA、PB分别为8和5，且AB＝7，求这个二面角的大小。解：作AC⊥l于c，连结BC∵PA⊥α，l α ∴PA⊥l又AC⊥l，AC∩PA＝A∴l⊥平面PAC∴l⊥PC∵PB⊥β，lβ∴PB⊥l又PB∩PC＝P∴l⊥平面PBC∴平面PAC与平面PBC重合，且l⊥BC∴∠ACB就是所求的二面角△PAB中，PA＝8，PB＝5，AB＝70∴∠P＝60∴∠ACB＝1200题2.在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5 5.（如图9—21）（Ⅰ）证明： SC⊥BC；（Ⅱ）求侧面 SBC与底面ABC所成二面角的大小；（Ⅰ）证明：∵∠ SAB=∠SAC=90°， ∴SA⊥AB，SA⊥AC.又AB∩AC=A，∴SA⊥平面ABC.由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，由三垂线定理，得 SC⊥BC.（Ⅱ）解：∵ BC⊥AC，SC⊥BC∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角 .1N0.*NO.*在Rt△SCB中，BC=5，SB=55.得SC=SB2BC2=10AC51在Rt△SAC中AC=5，SC=10，cosSCA=102SC∴∠SCA=60°，即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°.题3.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点。E（1）求证AM//平面BDE；M（2）求二面角ADFB的大小；FCB3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60。解:(Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，DA∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM∥OE。∵OE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE。(Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，∵AB⊥AF，AB⊥AD， AD AF A,AB⊥平面ADF，AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂线定理得BS⊥DF。∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。在RtASB中，AS6,AB2,3tanASB3,ASB60,∴二面角 A—DF—B的大小为60o。（Ⅲ）设 CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，AB AF A，∴PQ⊥平面ABF，QE 平面ABF，PQ⊥QF。在RtPQF中，∠FPQ=60o，PF=2PQ。PAQ为等腰直角三角形，∴PQ2(2t).22N0.*NO.*又∵ PAF为直角三角形，∴PF (2 t)2 1，∴ (2 t)2 1 2 2(2t).2所以t=1或t=3(舍去)即点P是AC的中点。题4.如图，在正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1中，已知 AB=2，AA1=2 2，M为棱A1A上的点，若A1C⊥平面MB1D1。（Ⅰ）确定点M的位置；（Ⅱ）求二面角D1－MB1－B的大小。解：（Ⅰ）连结A1D，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，侧面ADD1A1为矩形，A1C⊥平面MB1D1，∴A1C⊥D1M，因此A1C在平面AD1上的射影A1D⊥D1M，∴△A1MD1∽△D1A1D，A1D1242,因此M是A1A的中点。∴A1M=22DD1（Ⅱ）引A1E⊥B1M于E，连结D1E，则A1E是D1E在平面BA1上的射影，由三垂线定理可知D1E⊥B1M，∴∠A1ED1是二面角D1－MB1－B的平面角的补角，由（Ⅰ）知，A1M=2，则∴A1ED1,3∴二面角D1－MB1－B等于2.3题5.如图所示，ADB和CBD都是等腰直角三角形，且它们所在的平面互相垂直，ADBCBD90,ADa（I）求异面直线 AD、BC所成的角。（II）设P是线段AB上的动点，问P、B两点间的距离多少时,PCD与BCD所在平面成45的二面角?；解：（I）ADB90ADBDAD面CBD面ADB面CBD，面ADB面CBDBDBC面CBDADBC异面直线AD、BC所成角为90。4分（II）过点P作PEBD于E，过点E作EFCD于F，连结PF。PFE45。设PBx，则在RtPEB中，PEBE2x，23N0.*NO.*在RtDFE中，EF221DEax222在RtPEF中，EFPE，2a1x2x，x(22)a222题6.四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，BC2，CD2，ABAC．（Ⅰ）证明：ADCE；A（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角CADE的大小的余弦值．BE解：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O，ABAC，AFBC，CD又面ABC面BCDE，AF面BCDE，AFCE．tanCEDtanFDC2，2OEDODE90，DOE90，即CEDF，CE面ADF，CEAD．（2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为G．18题图CGAD，CEAD，AD面CEG，EGAD，则CGE即为所求二面角的平面角．CGACCD23，DG6，EGDE2DG230，AD333CE6，则cosCG2GE2CE210CGE2CGGE，10题7:如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中点，截面DAN交PC于M.（Ⅰ）求PB与平面ABCD所成角的大小；（Ⅱ）求证：PB⊥平面ADMN；（Ⅲ）求以 AD为棱，PAD与ADMN 为面的二面角的大小.解：（I）取AD中点O，连结PO，BO.△PAD是正三角形，所以PO⊥AD，4N0.*NO.*又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，BO为PB在平面ABCD上的射影，所以∠PBO为PB与平面ABCD所成的角由已知△ABD为等边三角形，所以 PO=BO= 3，所以PB与平面ABCD所成的角为 45°.（Ⅱ）△ABD是正三角形，所以AD⊥BO，所以AD⊥PB，又，PA=AB=2，N为PB中点，所以AN⊥PB，所以PB⊥平面ADMN.（Ⅲ）连结ON，因为PB⊥平面ADMN，所以ON为PO在平面ADMN上的射影，因为AD⊥PO，所以AD⊥NO，故∠PON为所求二面角的平面角.因为△POB为等腰直角三角形， N为斜边中点，所以∠ PON=45°，即所求二面角的大小为 45°题8.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）证明：平面 PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面 PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小的正弦值 ..解:（Ⅰ）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD,又AB∥CD,所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，BE 平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA AB=A,因此BE⊥平面PAB.又BE 平面PBE，所以平面 PBE⊥平面PAB.（Ⅱ）延长 AD、BE相交于点 F，连结PF.过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG.则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角） .在等腰Rt△PAF中，AG2PA2.2在Rt△PAB中，AHAPABAPAB225.PBAP2AB2555N0.*NO.*25所以，在Rt△AHG中，AH510.sinAGH25AG故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小的正弦值是10.5二面角作业班次姓名题9.如图：在二面角 l 中，Ａ、Ｂ ，Ｃ、Ｄ l，ＡＢＣＤ为矩形， p ，PA ，且ＰＡ＝ＡＤ，Ｍ、Ｎ依次是ＡＢ、ＰＣ的中点，求二面角 l 的大小.解：连结 PD∵ABCD为矩形∴AD⊥DC, 即又PA⊥,∴PD⊥l,PAD为二面角l的平面角，又∵PA⊥AD，PA=AD0∴ PAD是等腰直角三角形，∴ PDA=45，即二面角

l 的平面角为 450。题10.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AD上移动.1）证明：D1E⊥A1D；（2）AE等于何值时，二面角 D1—EC—D的大小为 .420．解法（一）1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E2）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角 D1—EC—D的平面角.设AE=x，则BE=2－x2题11.如图，正三棱柱 ABC－A1B1C1中，底面边长为 a，侧棱长为 2a，若经过AB1且与BC1平行的平面交上底面于 DB1．1）试确定点D的位置，并证明你的结论；2）求二面角A1－AB1－D的大小．解：（1）D为A1C1的中点（D也可以是△A1B1C1的边A1C1中线上任一点）．连结A1B与AB1交于E，则E为A1B的中点，DE为平面ABB1A1D与平面A1BC1的交线，∵BC1∥平面AB1D，∴BC1∥DE，∴D为A1C1的中点．（2）过D作DF⊥A1B1于F，6N0.*NO.*由正三棱柱的性质， AA1⊥DF，∴DF⊥平面ABB1A1，连结EF，DE，在正三角形 A1B1C1中，∵D是A1C1的中点，∴B1D＝33a，2A1B1＝2又在直角三角形AA1D中，223∵AD＝AA1＋A1D＝2a，∴AD＝B1D．∴DE⊥AB1，∴可得EF⊥AB1，则∠DEF为二面角A1－AB1－D的平面角．（10分）可求得DF＝43a，3∵△B1FE∽△B1AA1，得EF＝4a，π∴∠DEF＝，即为所求．4题12.如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面，ABCDSA＝AB＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝1．2求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．解：延长 BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角6∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＤ∴ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ，∴ＳＥ⊥ＳＢ∵ＳＡ⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线.又ＢＣ⊥ＥＢ，∴ＢＣ⊥面SEB，故SB是SC在面SEB∴⊥CSＳＥ所以∠ＢＳＣ10∵ＳＢ＝SA2AB22,BC1,BCSB∴ｔｇ∠ＢＳＣ＝BC2SB2即所求二面角的正切值为2S2题13.已知四棱锥S--ABCD的底面ABCD是正方形，SA底E面ABCD，点E是SC上任意一点.（Ⅰ）求证：平面 EBD 平面SAC；

F M（Ⅱ）设 SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离；

A

DOB C7N0.*NO.*（Ⅲ）当SA的值为多少时，二面角B-SC-D的大小为120°。AB解法一：证明（Ⅰ）：∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC,∵SA底面ABCD，BD面ABCD，∴SABD，∵SAAC=A，∴BD面SAC，又∵BD面EBD，∴平面EBD平面SAC⋯⋯⋯⋯4分解（Ⅱ）：由（Ⅰ）知，BD面SAC，又∵BD面SBD，∴平面SBD平面SAC，设ACBD=O，则平面SBD平面SAC=SO，过A作AFSO交SO于点F,则AF面SBD，所以线段AF的长就是点A到平面SBD的距离.∵ABCD是正方形，AB=2，∴AO=2，32，又∵SA=4，△SAO是Rt△，∴SO=∵SOAF=SAAO，∴AF=4，∴点A到平面SBD的距离为4⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分33解（Ⅲ）：作BM⊥SC于M，连结DM，∵SA底面ABCD，AB=AD，∴SB=SD，又∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CB⊥SB，CD⊥SD，∴△SBC≌△SDC，∴DM⊥SC，∴∠BMD是二面角B-SC-D的平面角，BM=DM.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分要使∠BMD=120°,只须BM2DM2BD2cos120，2BMDM21222222即BM=3BD，而BD=2AB，∴BM=AB，322222222∵BMSC=SBBC，SC=SB+BC，∴BMSC=SBBC，∴3∵AB=BC，∴2SB2+2AB2=3SB2，∴SB2=2AB2，

22)=SB2BC2，AB(SB2+BC又∵AB2=SB2-SA2，∴AB2=SA2，∴SA1，故当SAAB1时，二面角B-SC-D的大小为1200⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分AB题14.如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，PA=PD=2，底面ABCD是直角梯形，其中BC//AD，ABAD，AD2AB2BC22（Ⅰ）求直线 PC与平面PAD所成的角；（Ⅱ）求二面角 A-PB-C的大小。I）取AD中点O，连结OP、OC，由已知易知，ABCO为正方形，∴OC⊥AO，又平面PAD⊥平面ABCD，∴OC⊥平面PAD，

P8N0.*ADB CNO.*于是∠CPO为直线PC与平面PAD所成的角。 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分OP是等腰三角形底边上的中线， PA=2，OA= 2，则OP= 2，又OC=AB=2，∴∠CPO=45°，即直线 PC与平面PAD所成的角为 45°。⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6分II）由（I）知，OP⊥AD，则OP⊥平面ABCD，又BC⊥OC，AB⊥OA，∴BC⊥PC，AB⊥PA，∵BC=AB，PB=PB，∴Rt△PCB≌△PAB。作CE⊥PB，垂足为E，连结AE，则AE⊥PB，∠AEC为二面角 A—PB—C的平面角。 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分在Rt△PCB中，BC2,PC2,PB6,则CE