高效课堂《实际问题与二次函数》公开课教案 (省一等奖)

22.3实问与次数教时

课

实问与次数1

课

新授课教学目标

知识和能力过程和方法情感态度价观

1．使学生掌握用待定系数法由象上一个点的坐标求二次函数＝ax关系式。2.使学掌握用待定系数法由象上三个点的坐标求二次函数的关系式。让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。教重教难

二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax＝ax＋bx＋c的关系式图象上三个点坐标求二次函数的关系式教准

教

多媒体课件

学“五个一〞课堂教

学程序设

计

设意一创问情如图某建筑的屋顶设计成横截为抛物线曲线的薄壳屋顶的拱高AB为4m，高CO为施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线?分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。如以下图的直平分线为y过点y轴的垂线为x轴建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，口向下，所以可设它的函数关系式为：y＝ax(a(1)AB因为y轴直平分，交AB于点，所以CB，又CO＝所以2点B的标(，。因为点B在物线上，将它的坐标代(1)得－0.8

。

请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。二引拓问题1：能不能以A点为点AB所直线为，过点A轴垂线为y轴，建立直角坐标系让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A点为点AB所在直线为x轴过点A的x轴垂线为y轴建立直角坐标系也是可行的。问题2，假设以A点原点AB所在线为x轴过点A的的垂直为y轴建立直角坐标系，你能求出其函数关系式?分析按方法建立直角坐标系么A点坐标(坐标(，0),OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC，AC点坐标为2；0．8)。即把问题转化为：抛物线(0，0)．8)点，求这个二次函数的关系式。二次函数的一般形式是y＝ax＋bx＋c求这个二次函数的关系式，跟以前学过求一次函数的关系式一样，关键是确定、c三点在抛物线上，所以它的坐标必

154514315451432须适合所求的函数关系式；可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数。解：设所求的二次函数关系式为＝ax＋bx＋c。因为OC所在直线为抛物线的对轴，所以有AC＝CB，AC，拱高OC＝，所以O点标(，0.8)，A点标(，0)，B坐标(4，0)由，函数的图象(0，可得c＝0，由于其图象(、(4，0)，可＝0.8得到16＝014y＝－x＋x。55

解这个方程组，所，所求的二次函数的关系式为问题3根据这个函数关系式出模板的轮廓线其象是否与前面所画图象相同?问题4比拟两种建立直角坐标的方式认哪种建立直角坐标系方式能使解决问题来得更简便为什么(第一种建立直角坐标系能使解问题来得更简便是因为所设函数关系式待定系数少，所求出的函数关系式简单，相应地作图象也容)请同学们阅渎P18例7。三课练例1．如以下图，求二次函数的系式。分析：观察图象可知A点坐标(，0)，C坐标为0。从图中可知对称轴是直线x＝3由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x轴上的另一交点B的标(题化为三点求函数关系式。解：观察图象可知A、C两点坐标分别(，0)、(0，4)，对称轴是直线x＝3。为对称轴是直线＝3所以B点标(，0)设所求二次函数为y＝ax＋bx＋c由，这个图象经过(0，可以得到c＝4又于其图象过8－2两点可得得

64a＋8b＝－44a－2b＝

解个方程组，13所以，所求二次函数的关系式是y＝x＋x＋442练习：一抛物线y＝ax＋bx经过点，0)(12，0)最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式四小：二函数的关系式有几种形式，函数的关系式＝ax＋bx＋c就是其中一种常见的形式。二次函数关系式确实定，关键在于求出三个待定系数a，由于三点坐标必须适合所求的函数关系式，故可列出三个方程，求出三个待定系数。作设

必选

教科书P26：1、3教科书P26：7

教学反思教时

课

实问与次数2

课

新授课知识和

1．复习稳固用待定系数法由图上三个点的坐标求二次函数的关系式。2．使学生掌握抛物线的顶点坐或对称轴等条件求出函数的关系式。教学目标

能力过程和方法情感态度价观教重教难

根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式教准

教

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学“五个一〞课堂教

学程序设

计

设意一复稳1．如何用待定系数法求三点坐的二次函数关系?2．二次函数的图象经过A(0，1)，C(－1求次函数的关系式，(2)画出二次函数的图象；(3)出它的顶点坐标和对称轴。113答案：(1)y＋x＋1，(2)图，(3)对称轴x－，顶坐标为－，)。2243．二次函数y＝ax＋bx＋c的称轴，顶点坐标各是什?bb4ac－b[对称轴是直线＝，点标－，)]2a2a4a二范例1．一个二次函数的图象过(0，1)它的顶点坐标(8，9)，求这个二次函数的关系式。分析：二次函数y＝ax＋bx通过配方可得＝a(x＋h)＋k形式称为顶点式，(－h，k)为抛物线的顶点坐，因为这个二次函数的图象顶点坐标(8，9)，因此，可以设函数关系式为：y＝a(x－8)＋9由于二次函数的图象过(0，1)将，1)入所设函数关系式，即可求出的值。请同学们完本钱例的解答。例2．抛物线对称轴是直线x＝2且经(3，1)(0－5)点，求二次函数

bbb4983的关系式。解法1设所求二次函数的解析是y＝ax＋bx为二次函数的图象过(0，－5)可求得c＝－5，又由于二函数的图象过(，1)且对称轴是直线x，b－＝2可以得2a解这个方程组

a＝－2b＝8

所以所求的二次函数的关系式为＝－2x＋8x－5。解法二；设所求二次函数的关系式为y－2)，由于二次函数的图象经过－2)＋k＝1(3和0两得a(0＋k＝－5

－2解这个方程组k所以，所求二次函数的关系式为＝－2(x＋3，即＝－2x。例3。抛物线的顶点(，－4)它与y轴一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。解法1：设所求的函数关系式为＝a(x＋h)＋k依题意，得＝a(x－2)－4因为抛物线与y轴一个交点的坐标为，所以抛物线过(0，是a(0－2)2－4＝4，解得a＝2所以，所求二次函数的关系式为＝2(x－2)－4，即y＝2x－8x＋4。－＝22a解法2所二次函数的关系为y＝ax＋c?题意＝4ac解这个方程组，得：所以，所求二次函数关系式为y－8x＋4。

c三课练1.二次数当x＝时有最大值1，且当x＝0时＝－3，二次函数的关系式。解法1：设所求二次函数关系式y＝ax＋bx，因为图象过(0，3)，所以c＝－32a＝3由二次函数当x＝－3时最大值1以得到：12a－b＝－14a这个方程组，得

解48所以，所求二次函数的关系式为＝＋x＋393解法2：所求二次函数关系式为y＝a(x＋h)＋k，依题意，得y＝a(x＋3)－14因为二次函数图象过(，3)所以有＝a(0＋3)－1解得a＝948所以，所求二次函数的关系为y＝44/9(x＋3)－1即y＝x＋x＋393小结：让学生讨论、交流、归纳得到：二次函数的最大值或最小值，就是该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。2．二次函数y＝x＋px＋q的象的顶点坐标(5，－2)求二次函数关系式。

p2p2＝5简解：依题意，解：＝＝234q－p＝4所以，所求二次函数的关系式是＝x－10x＋23。四小1，求二次函数的关系式，常见的有几种类?[两种类型：(1)一般式：y＋bx＋c(2)顶点式：y＝a(x＋k，顶点－h，k)]2．如何确定二次函数的关系?让学生回忆、思考、交流，得出：关键是确定上述两个式子中的待定系数，通常需要三个条件。在具体解题时，应根据具体的条件，灵活选用适宜的形式，运用待定系数法求解。作设教学反思

必选

教科书P26：4、6教科书P26：8[教学反思学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时多学生不愿意自己索，都要寻求帮助。在今后的教学中，我会不断的钻研探索，使我的课堂真正成为学生学习的乐园。本节课的教学活动主是让学通过观察动手操作熟悉长方体正体的展开图以及图形折叠的形状。教学时我让每个学生带长方体或正方体的纸盒，个学生都剪一剪并示所剪图形的形状由剪的方法不同，展开图的形状也可能是不同的。学生在剪、拆盒子过程中，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展开图，就要求适当进行指导。通过动手操作动思考，集体流，不仅提高了学生的空间思维能力，而且在情感上每位学生都得了成功的体验，建自信心。24.1圆(第3课时)

教学内容1．圆周角的概念．2．圆周角定理同圆或等圆，同弧或等弧所对的圆周角相等都于这条弦所对的圆心角的一半．推论半〔直径所的圆周角是直角90°圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．教学目标1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角的定理：在同圆等圆中或等弧所对的圆周角相等都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．理解圆周角定理的推论：半〔或直径〕所对的圆周角是直角的周角所对的弦是直径．4．熟练掌握圆周角的定理及其理的灵活运用．设置情景给圆周角概念探究这些圆周角与圆心角的关系用数学分类思想给予逻辑证明定理得推导让学生活动证明定理推论的正确性后运用定理及其推导解决一些实际问题．重难点、关键1．重点：圆周角的定理、圆周的定理的推导及运用它们解题．2．难点：运用数学分类思想证圆周角的定理．3．关键：探究圆周角的定理的在．教学过程一、复习引入〔学生活动〕请同学们口答下面两个问题．1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么在联系呢？老师点评〕们把顶点在圆心的角叫圆心角．〔2〕在同圆或等圆中，如果两圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等它所对的其余各组量都分别相等．刚刚讲的顶在圆心上的角有一组等量的关系如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知问题：如下图的O，我们在射游戏中，设E、F球门，设球员们只能在EF所的⊙O其位置射，如下图的点．通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这的角，它们的顶点在圆上•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．现在通过圆周角的概念和度量的方法答复下面的问题．1．一个弧上所对的圆周角的个有多少个？2．同弧所对的圆周角的度数是发生变化？

A

C3．同弧上的圆周角与圆心角有么关系？〔学生分组讨论〕提问二、三位同学代表发言．

O老师点评：1．一个弧上所对的圆周角的个有无数多个．

B2．通过度量，我们可以发现，弧所对的圆周角是没有变化的．3．通过度量，我们可以得出，弧上的圆周角是圆心角的一半．下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且

它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．〞〔1〕设圆周角∠ABC的边BC是O直径，如下图∵∠AOC是△ABO的外角

∴∠AOC=∠BAO∵OA=OB∴∠ABO=∠BAO∴∠AOC=∴

12

∠AOC〔2角∠ABC的两边在一直径OD的两侧∠ABC=∠AOC吗请同学们独立完成这题的说明过程．

12老师点评：连结BO交⊙于D理AOD是△ABO的角，∠COD是BOC的外角，那么就有∠AOD=2∠ABO，因此∠AOC=2∠ABC．〔3角∠ABC的两在一直径OD的同侧∠ABC=∠AOC吗请同学们独立完成证．

12老师点评结OAOC结BO延长交OD么∠AOD=2∠ABD∠COD=2∠CBO，而∠ABD-∠CBO=

1∠AOD-∠COD=∠AOC2现在，我如果在画一个任意的圆周角AB′C，同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．从〔1总归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角90°圆周角所对的弦是直径．下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图AB是O的径BD是O的，延长BD到C，AC=AB与的大有什么关系？为什么？分析BD=CD因为AB=AC所以个ABC是等腰证明BC的点，•只要连结AD证明AD是高是的平分线即可．解：BD=CD理由是：如图24-30，连接AD∵AB是⊙O的直∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD三、稳固练习1．教材P92思题．2．教材P93练．四、应用拓展例2．如图，△ABC内于，、、∠C的对边分别设为，b，⊙O半径R，求证：

ac===2R．sinsinBCabcc分析：要证明===2R，只要证明=2R=2R，=2R，AsinsinCsinBsinac即si