高中数学 第一章 统计 1.8 最小二乘估计教案 北师大版必修3-北师大版高中必修3数学教案

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最二估教分教科书通过思考交流引入了最小二乘法一提出了线性回归方程探用多种方法确定线性回归直线的过程中学展示创造性思维的过程助生理解最小二乘法的思想通过气温与饮料销售量的子及随后的思考同们了解利用线性回归方程解决实际问题的全过程线回归方程作出的预测结果的随机性和并且可能犯的错误步，教师可以利用计算机模拟和多媒体技术，直观形象地展示预测结果的随机性和规律性．三目经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程解小二乘法的思想根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．重难教学重点：求线性回归方程，以及线性回归分析．教学难点：确定线性回归系数．课安1课教过导新思路1.客观事物是相互联系的过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系比说：某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因〞是果反来说上成绩和物理成绩都是“果〞，而真正的“因〞是学生的理科学习能力和努力程度以数关系存在着一种确定性关系但存在着另一种非确定性关系——相关关系表示这种相关关系我们接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程．思路2.某小卖部为了了解热茶售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：气温/℃26181310－1杯数202434385064如果某天的气温是－℃你根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？为解决这个问题，我们接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程．推新新探提问1．画散点图的步骤是什么？2．正、负相关的概念是什么？3．什么是线性相关？4．观察下面人体的脂肪含量百比和年龄的散点图，当人的年龄增加时，体内脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？图15．什么叫作回归直线？1/

word6．如何求回归直线的方程？什是最小二乘法？7．利用计算机如何求线性回归程？活动：学生回顾，再思考或讨论，教师及时提示指导．讨论结果：1．建立相应的平面直角坐标系将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫作散点图．2．如果散点图中的点散布在从下角到右上角的区域内，称为正相关．如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，称为负相关．3．如果所有的样本点都落在某直线附近，变量之间就有线性相关的关系．4．大体上来看，随着年龄的增，人体中脂肪含量的百分比也在增加，呈正相关的趋势，我们可以从散点图上来进一步分析．5．从散点图上可以看出，这些大致分布在通过散点图中心的一条直线附近．如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近称这两个变量之间具有线性相关关系这直线叫作回归直线如能够求出这条回归直线的方(简称回归方程)那我们就可以比较清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性平均数可以作为一个变量的数据的代表一样，这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表．6．从散点图上可以发现，人体脂肪含量百分比和年龄的对应点，大致分布在通过散点图中心的一条直线附近．那么，我们应当如何具体求出这个回归方程呢？有的同学可能会想可采用测量的方法画出一条直线量出各点与它的距离，然后移动直线到一个使距离和最小的位置量出此时直线的斜率和截距就可得到回归方程了．但是，这样做可靠吗？有的同学可能还会想图选这样的两点画直线得直线两侧的点的个数基本相同．同样地，这样做能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗？还有的同学会想在散点图中多几组点确定出几条直线的方程再分别求出各条直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数当成回归方程的斜率和截距．同学们不妨去实践一下，看看这些方法是不是真的可行？(学生讨论选择能反映直线化的两个.2.在图中放上一根细绳得面和下面点的个数相同或基本相同3.多几组点对，确定几条直线方程．再分别算出各个直线方程斜率距算术平均值为求直线的斜率距教别析各方法的可靠性图2、图3、图4：图2图2/

word图4上面这些方法虽然有一定的道理，但总让人感到可靠性不强．实际上回方程的关键是如用数学的方法来刻画“从整体上看点此直线的距离最小〞们过长期的实与研究经得出了计算回归方程的斜率与截距的一般公x＋y＋＋y－b＝，x＋＋－x2式x＋x＋＋＋＋a＝yx.其中，x＝，＝.n

①这样得到的直线方程＋称线性回归方程，，是性回归方程的系数．推导以上公式的计算比较复杂里不作推导是们以解释一下得出它的原理．假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数())，y)且所求回归方程是y＝＋，其中ab是待参数．当变量取x(＝1,2…，)时可以得到y＝＋(i＝1,2，，)，它与实际收集到的y之的偏差是y－＝i＋)(i＝1,2，…)图5这样，用这个差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差〞是比较合适的．由－)可可负，为了避免相互抵消，可以考虑用－y来代，但由于它含有绝对值，运算不太方便，所以改用Q＝(－－)＋(y－a)＋＋(－－)②n来刻画n个与回归直线在整体上的偏差．这样，问题就归结为：当，取什么值时Q最，即总体偏差最小．经过数学上求最小值的运算a，的由公式①给出．通过求②式的最小值而得出回归直线的方法求回归直线得本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫作最小二乘(methodofleastsquare)．7．见课本本节信息技术应用中用计算机求线性回归方程的具体操作步骤．应示思路1在上一节练习中散图可以出小卖部天卖出热茶的杯数y)与当天气温)之间是线性相关的．数据如下表：气温()/℃261813104－1杯数(杯202434385064(1)试用最小二乘法求出线性回方程；(2)如果某天的气温是－3℃请预测这天可能会卖出热茶多少杯．解(1)作出上述数据的散点图，如图6.散点图中可以看出，表中的两个变量是线性相关的．3/

word图635115先列表求出＝，y＝，他数据如下表：33i123456合计

x261813104－170

y202434385064230

x6763241691001611286

xy520432442380200－641910351151910－6××33进而，可以求得b＝35351×33

≈－1.648，a≈57.557.于是，线性回归方程为.(2)由上面的最小二乘法估计得的线性回归方程知，当某天的气温是－3℃，卖出热茶的杯数估计为57.557－1.648×(－3)＝62.501≈63.变训下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料．机动车辆数x千台95110112120129135150180交通事故数y千件

13(1)请判断机动车辆数与交通事数之间是否有线性相关关系，如果不具有线性相关关系，请说明理由；(2)如果具有线性相关关系，求线性回归方程．解(1)在直角坐标系中画出数据散点图，如图7.图7直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系．(2)计算得b≈0.0774＝－1.024，4/

word故所求线性回归方程为y＝－1.0241＋0.0774.思路2下表给出的是一组施化肥量对水稻产量影响的试验数据：施化肥量x1520253035水稻产量y330345365405445(1)画出上表的散点图；(2)求出回归直线的方程．解(1)画出的散点图如图8.

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45455图8(2)计算得b，≈257.从而得所求回归直线方程是yx.变训1．一个车间为了规定工时定额需要确定加工零件所花费的时间．为此进行了1次试，测得数据如下：零件个数x/个102030405060708090100加工时间y/分626875818995102108115122请判断y与是具有线性相关关系与x具线性相关关系性归程．解在直角坐标系中画出数据的散图，如图9.图9直观判断散点在一条直线附近具有线性相关关系测得的数据表可知≈0.668a＝y－bx≈54.96.因此，所求线性回归方程为＝a＋.只的血球体积及红血球数的测量值如下：血球体积/mL红血球数百万

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58403950(1)画出上表的散点图；(2)求出回归直线的方程．解(1)画出的散点图如图10.5/

word图10(2)x＝

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(45＋46＋48＋42＋35＋58＋40＋39＋50)，1y＝(6.53＋6.30＋9.52＋7.50＋5.90＋6.20＋6.55＋8.72)＝7.37.10设回归直线方程为＝＋，那么，a＝－＝－0.418故所求回归直线的方程为.点：一组数据进行线性回归分析时应先画出其散图看其是否呈直线形再系数a，的算公式，算出a，.由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手，认真细致，谨防计算中产生错误，求线性回归方程的步骤：计算平均数，y；算与yi的积，求xy；计算x；将结代入公式求b；用a＝－求a；写出回归直线方.i知训1．以下两个变量之间的关系哪不是函数关()A．角度和它的余弦值B正方形边长和面积C．正边的边数和它的内角和D．人的年龄和身高答：2．三点3,10)，(7,20)，(11,24)的线性回归方程()．A．B．C．D．答：3．关于某设备的使用年限x与支出的维修费用y(万元)，如下统计资料：使用年限x维修费用y

2346设对x呈线性相关关系．试求：(1)线性回归方程＝a＋的回归系数，b；(2)估计使用年限为10年时维费用是多少？答：(1)＝1.23，＝0.084．我们考虑两个表示变量x与y之的关系的模型为误差项，模型如下：模型1：＝6＋4x；模型2：＝6＋e(1)如果x＝3e＝1，分别求两个模型中y的；(2)分别说明以上两个模型是确性模型还是随机模型．解(1)模型1：＝6＝6＋4×3＝18模型2：＝6e＝6＋4×3＋1＝19.(2)模型1中同的x值定得到相同的y值，所以是确定性模型；模型2中同的x值δ的同得y值一定相同为误差项是随机的以模型2是随机模型．5．以下是收集到的新房屋销售格y与屋大小x的数据：6/

word房屋大小x/m80105110销售价格y万元22(1)画出数据的散点图；(2)用最小二乘法估计求线性回方程；(3)计算此时Qa，)和(2,0.2)的值，并作比较.

115135图11解(1)画出的散点图如图11.(2)计算得b≈0.1962，6，因此所求线性回归方程为y＝1.8166＋0.1962.(3)(1.8166,0.1962)，(2,0.2)，由此可知，求得的a，＝0.9162是函数(a，)取最小值的值．拓提某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支()与公司所得利润)统计资i料如下表：科研费用支(与利()统计表单：万元i年份科费用支利2007531200811402009430201053420113252012220合计30180试据此求出利润对科研费用支出(的线性回归模型．i解设线性回归模型直线方程为＝＋X，i∑30∑180因为X＝＝＝5，Y＝＝30，n6n6求解参数，估计值为β＝2，β，所以利润(Y对科研费用支(的线性回归模型直线方程为Y＝20＋2Xi课小1．求线性回归方程．2．经历用不同估算方法描述两变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．作习题1—82,3.设感本节课在上节课的基础上用例分析了散点图的分布规律导了线性回归直线的方程的求法，并利用回归直线的方程估计可能的结果，本节课讲得较为详细，实例较多，便于同学们分析比较思路1和思路例题对知识进行了巩固和加强外本节课通过选取一些学生特别关心的身边事例学生进行思想情操教育志育和增强学生的自信心，以使其养成良好的学习态度．备资7/

word相关关系的强与弱我们知道，两个变量x，正负相关时，它们就有相(反的变化趋势，即当x由变大时相应的有小大变(小的势此可以用回归直线来描述这种关系与此相关的一个问题是何描述x和之的这种线性关系的强弱？例如理绩与数学成绩正相关但数学成绩能够在多程度上决定物理成绩？这就是相关强弱的问题似的还有吸烟与健康的负相关强度母身高与子女身高的正相关强度作的产量与施肥量的正相关强度等．统计中用相关系数r来量两个变量之间线性关系的强弱．假设