上海市高中数学知识点总结

5.5.可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”2），“且”（人）和，25)，25))V5电M，52-a高中数学知识点总结1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。女如集合A={xly=lgx},B={yly=lgx},C={（x,y）ly=lgx}.A、B、C中元素各表示什么？进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集0的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合A=〈1x2-2x-3=°}，B={xlax=1}若BuA,则实数a的值构成的集合为（答:{-1，°，3注意下列性质：（1）集合b，a，……，a}的所有子集的个数是2n；12n（2）若A匸BoAAB=A，AUB=B；（3）德摩根定律：C（aUb）=（Ca）A（Cb）,C（aab）=（Ca）u（Cb）UUUUUU你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于X的不等式＜°的解集为M,若3eM且5电M,求实数ax2-a的取值范围。•・<°32-a“非”（「）•若pAq为真，当且仅当p、q均为真若pvq为真，当且仅当p、q至少有一个为真若「P为真，当且仅当p为假命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。对映射的概念了解吗？映射f：A-B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数y二例：函数y二<x（4-x）

lg（x-3）2的定义域是（答:（0，2）U（2，3）U（3，4））如何求复合函数的定义域？如：函数f（x）的定义域是L，blb>-a>0，则函数F（x）=f（x）+f（-x）的定义域是（答：la，-a］）求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？女口：f\：x+i=ex+x,求f(x).令t=、：x+1,贝吐>0x=t2—1.*.f(t)=et2-1+12—1・*.f(x)二ex2—i+x2—1(X>0)12.反函数存在的条件是什么？(一一对应函数)求反函数的步骤掌握了吗？(①反解X；②互换X、y；③注明定义域)1+x如：求函数f(x)=<一X2(X>0)(x<0)的反函数fx—1(答：f—1(x)=<,—x(x>1)(x<0)13.反函数的性质有哪些？互为反函数的图象关于直线y=x对称;保存了原来函数的单调性、奇函数性；③设y=f(x)的定义域为A,值域为C,agA,bgC,贝Uf(a)=bof-1(b)=af-1[f(a)]=f-1(b)=a,ff-1(b)Lf(a)=b14.如何用定义证明函数的单调性？(取值、作差、判正负)如何判断复合函数的单调性？(y=f(u),u=p(x),贝収=fLp(x)](外层)(内层)当内、外层函数单调性相同时f[(p(x)]为增函数，否则f[(p(x)]为减函数。)2222如：求y=logCX2+2x)的单调区间(设u=-x2+2x,由u>0贝I」0<x<2且loguJ,u=—(x-1)2+1,如图:2当xe(0,1］时,uT,当xe［1,2)时，uJ,・・・……)2又log丄uJ，:・T2如何利用导数判断函数的单调性？在区间(a,b)内，若总有f'(x)>0则f(x)为增函数。(在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性)，反之也对，若f'(x)<0呢？女口：已知a>0，函数f(x)=x3-ax在〔1，+4上是单调增函数，贝Ija的最大值是()A.0B.1C.2D.3■aIia(令f'(x)=3x2-a=3x+J—|x-J_>0I\3丿(\3丿则x<-YI或x圣I由已知f(x)在［1，+Q上为增函数，贝I」芒<1，即a<33：・a的最大值为3)函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么？(f(x)定义域关于原点对称)若坷-X)=-f(x)总成立of(x)为奇函数O函数图象关于原点对称若坷-x)=f(x)总成立of(x)为偶函数o函数图象关于y轴对称注意如下结论：在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。(2)若彳仗)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)=0。如：若f(x)如：若f(x)二a待三为奇函数，则实数a二—(•••f(x)为奇函数，xeR,又0eR,.・.f(0)=0即a・2。+即a・2。+a-2二o.2o+1又如：f(x)为定义在(-1,1)上的奇函数，当xe(0,1)时，2xf(x)=4x+1求f(x)在(-1，1)上的解析式。(令xe(-1，0),则一xe(0，1),f(-x)=4-x+1又f(x)为奇函数,又f(x)为奇函数,・°・f(x)=2-x2x4-x+11+4x2x又f(0)=2x又f(0)=0,4x+12x14x+1xe(-1，0)x=0xe(0，1)你熟悉周期函数的定义吗？(若存在实数T(T丰0),在定义域内总有f(x+T)=f(x)，则f(x)为周期函数，T是一个周期。)女如若f(x+a)=-f(x)，贝I」

(答:f(x)是周期函数，T=2a为f(x)的一个周期)又如：若f(x)图象有两条对称轴x=a,x=b(o)即f(a+x)=f(a-x)，f(b+x)=f(b-x)则f(x)是周期函数，2|a-b|为一个周期如：你掌握常用的图象变换了吗？f(x)与彳(-x)的图象关于y轴对称f(x)与-f(x)的图象关于x轴对称f(x)与-f(-x)的图象关于原点对称f(x)与f-i(x)的图象关于直线y=x对称f(x)与f(2a-x)的图象关于直线x=a对称f(x)与-f(2a-x)的图象关于点(a，0)对称将y=f(x)图象左移a(a>0)个单位〉y将y=f(x)图象右移a(a>0)个单位y=f(x-a)上移b(b>0)个单位〉y=f(x+a)+b下移b(b>0)个单位y=f(x+a)―b注意如下“翻折”变换：f(x)―>|f(x)|f(x)——>f(lxl)

如：f(x)=log2(x+1)作出y=|lo^(x+1)及y二lo^|x+1|的图象y=log2y=log2x你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？x=ax=a一次函数：y二kx+b(k丰0)反比例函数：y=-(k丰0)推广为y=b+—J(k丰0)是中心O'(a,b)xx-a的双曲线。(3)二次函数y二ax2+bx+c(a丰0)(3)二次函数y二ax2+bx+c(a丰0)=ax+一(b、24ac—b2+晋图象为抛物线2a丿b顶点坐标为-上4ac-b2'4a丿b，对称轴x=-石开口方向：a>0,向上，函数ymin4ac-b24aa<0,向下，ymax4ac一b24a应用：①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的xxxx关系次方程ax2+bx+c=0,A>0时，两根x、x为二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴12的两个交点，也是二次不等式ax2+bx+c>0(<0)解集的端点值。求闭区间】m,n］上的最值。求区间定(动)，对称轴动(定)的最值问题。一元二次方程根的分布问题。指数函数：y=ax(a>0,a1)对数函数y=logx(a>0,a丰1)a由图象记性质！(注意底数的限定！)6)对勾函数”y=x+—(k>0丿利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？y水你在基本运算上常出现错误吗？扌旨数运算：ao=1(a丰0),a-p=——(a丰0)apmm1an=nam(a>0),a-n=(a>0)nam对数运算：logM・N=logM+logN(M>0,N>0)aaalogM=logM一logN,lognM=—logMaNaaana对数恒等式：alogax=x对数换底公式：logb=logcbnlogbn=—logbalogaammac如何解抽象函数问题？(赋值法、结构变换法)如：(1)xeR,f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，证明f(x)为奇函数。(先令x=y=0nf(0)=0再令y=-x，)xeR,f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)，证明f(x)是偶函数。(先令x=y=-1nf[(-1)(-t)]=f(t•t)・・・f(-1)+f(-1)=f(t)+f(t)・・・f(-1)=f(t)……)证明单调性：f(x)=2212

掌握求函数值域的常用方法了吗？(二次函数法(配方法)，反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。)如求下列函数的最值：(1)y=2x一3+玄13-4x(2)2jx-4(2)y=F(3)(3)x>3,2x2y=口y=x+4+耳9-x2(设x=3cos0,0elo,兀D9y=4x+,xe(0,1]x你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为a,半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？(l=同・R(l=同・R，S扇=1'・熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义sina=MP,cosa=OM,tana=ATxx兀如：若-8<e<o’则sine,cose,ee的大小顺序是又如：求函数y=sinx仝2如图：又如：求函数y=sinx仝2如图：y*大・・・2k—-存x<2k—+—(keZ),0<y"G你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

|sinx|<1,|sinx|<1,|cosx|<1y=tgx爪」2O///严2对称点为［k*,0〉keZy二sinx的增区间为2k兀—卫,2kK+—(keZ)22减区间为2k—+2,2k—+罟(kez)图象的对称点为匕0＞对称轴为x=k—丐(kez)y=cosx的增区间为tk—,2k—+—](keZ)减区间为tk—+—,2k—+2—](keZ)图象的对称点为［k—+扌,oj，对称轴为x=k—(keZ)y=tanx的增区间为［k——2，k—+1JkeZ26.正弦型函数y=Asin(®x+甲)的图象和性质要熟记。［或y=AcosCax+2—(1)振幅IAI，周期T=竺wI若f(x)=±A，贝l」x=x为对称轴。00若f(x)=0，则(x，0)为对称点，反之也对。00(2)五点作图：令wx+p依次为0，—，—，3—，2—，求出x与y，依点22

（x,y）作图象。（3）根据图象求解析式。（求A、①、甲值）如图列出<®(x)+甲二0如图列出<3(x)+^=—「2丿屮2A正切型函数y=Atan(3x+9),T=—|3|27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面先求出某一个三角函数值,再判定角的范围。如：cosx+—I6如：cosx+—I6丿(・.•兀＜x＜迹,•7兀2，求x值。2_5兀.兀5兀<x+—<,■•X+—=66364兀,・・・x=13K)12在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？女如函数y=sinx+sinlxl的值域是（x>0时，y=2sinxe[-2,2〕，x<0时，y=0,・・ye[-2,2〕）熟练掌握三角函数图象变换了吗？（平移变换、伸缩变换）平移公式：coscos(a土p)=cosacosp+sinasinp——令a=P》cos2a=cos2a-sin2acoscos(a土p)=cosacosp+sinasinp——令a=P》cos2a=cos2a-sin2a⑴点⑴点P(x，y)P'(X'，y')，则｛；'=；:k(2)曲线f(x,y)=0沿向量貉=(h,k)平移后的方程为f(x-h,y-k)=0如：函数y二如：函数y二2sinf2x—-I4丿-1的图象经过怎样的变换才能得到y=sinx的图象？(y二2sinf(y二2sinf2xk4丿-1横坐标伸长到原来的2倍〉y二2sinf1)兀2—xk2丿-4_-1=2sin(x--丿-=2sin(x--丿-1I4丿左平移4个单位、y二2sinx-1上平移1个单位》y二2sinx纵坐标缩短到原来的-倍2>y=sinx)熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？,兀如口：1=sin2a+cos2a=sec2a-tan2a=tana•cota=cosa•seca=tan—4兀=sin=cos0=称为1的代换。2奇”2±奇”2±「化为a的三角函数一“偶”指k取奇、偶数。奇变，偶不变，符号看象限”，如：9兀如：9兀f7兀、cos——:tan一4+sin(21兀)=又如：函数y=sin又如：函数y=sina:tana，贝収的值为

cosa:cotaA.正值或负值B.负值C.非负值D.正值sinsinasina:—(y=cosa=>0,°・°aH0)sin2a(>0,°・°aH0),cosacos2a(sina:1)cosa:—sina熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？理解公式之间的联系：sin(a±P)=sinacosP土cosasinp——令a=B>sin2a=2sinacosa

tana土tanpP)=_1+tana•tanp=2cos2a-1=tana土tanpP)=_1+tana•tanp=2cos2a-1=1一2sin2an2tanatan2a=1-tan2a1+cos2acos2a=—21-cos2asm2a=—2btanp=—abtanp=—asina+cosa=<2sina+—I4丿sina+J3cosa=2sina+—应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）(1)角的变换：如p=(a+p)-a,[a-P]I2(1)角的变换：如p=(a+p)-a,[a-P]I2丿2）名的变换：化弦或化切3）次数的变换：升、降幂公式4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算如：已知sinacosa=1,tan(a-p)=-1-cos2a3，求tan（p-的值。sinacosacosa(由已知得：==1,2sin2a2sina又tan([3-a)=3tana=—2L1tan(p-a)-tana・•・tan(p-2a)=tan!(3-a丿-a」=()1+tan®-a)•tana2一1§一2=1)1+2・183232.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转2222余弦定理：2bc应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。)a=2RsinA正弦定理：=b=

sinAsinBsinC=2Ro2b=2RsinBc=2RsinCVA+余弦定理：2bc应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。)a=2RsinA正弦定理：=b=

sinAsinBsinC=2Ro2b=2RsinBc=2RsinCVA+B+C=兀,・：A+B=兀一Csin(A+B)=sinC,sin人+C=cos—22A+B如AABC中，2sin2+cos2C=12(1)求角c；(2)若82=b2+，求cos2A—cos2B的值。2((1)由已知式得：1—cos(A+B)+2cos2C—1=13又A+B=兀一C,・・2cos2C+cosC—1=0cosC=—或cosC=—1(舍)2兀又0<C<兀，・・・C=-3(2)由正弦定理及a2=b2+c2得:2兀3sin2A—2sin2B=sin2C=sin2=3431—cos2A—1+cos2B=—4cos2A—cos2B=—)4用反三角函数表示角时要注意角的范围。反正弦：arcsinxgxgLi,1]化，而解斜三角形？b2+c2—a2a2=b2+c2—2bccosAncosA=—反余弦：areeosxeb，兀],xe1—1，1]反正切：'兀兀)(仆)aretanxe-—，—，VxeR丿I22丿不等式的性质有哪些？c>0nac>bea>b,e<0nae<bea>b,e>dna+e>b+d3)a>b>0，e>d>0nae>bd(4)a>b>0n-<—aba<b<0n—>-ab(5)a>b>0nan>bn,na>nb(6)Ixl<a(a>0丿o-a<x<a,Ixl>aox<-a或x>a如：若——<0,则下列结论不正确的是()abA.a2<b2B.ab<b2C.lal+lbl>la+blD.-+->2ba答案：C利用均值不等式：a2+b2>2abCbeR+)；a+b>^/ab；ab<a；bj求最值时，你是否注意到“a，beR+”且“等号成立”时的条件，积（ab）或和（a+b）其中之一为定值？（一正、二定、三相等）注意如下结论：乎>学>死>烝(a，beR+)当且仅当a=b时等号成立。a2+b2+e2>ab+be+eaa，be

当且仅当a=b=c时取等号a>b>0,m>0,n>0,贝Ubb+m-a+na<<1<<—aa+mb+nb4如：若x>0,2-3x-—的最大值为x(设y二2-I3x+-<2-二2-—忑\x丿当且仅当3x=—，又x>0,・°・x=玉总时，y=2-4^3）x3max又如：x+2y二1,则2x+4y的最小值为（V2x+22y>2.2x+2y二2远,・••最小值为2^2）不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并注意简单放缩法的应用。女口：证明1+—+—+…+—<2TOC\o"1-5"\h\z2232n211+++n211+--n-n211+--n-1n111=1+1—+———+223=2--<2)n解分式不等式f（x）>a（a丰0）的一般步骤是什么？g（x）（移项通分，分子分母因式分解，X的系数变为1,穿轴法解得结果。）用“穿轴法”解高次不等式一一“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始女如(x+l)(x-1)2(x-2》<0解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论如：对数或指数的底分a>1或0<a<1讨论对含有两个绝对值的不等式如何去解？(找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。)例如：解不等式lx-31—|x+1|<1(解集为|xlx>21)会用不等式lal-lbl<la土blVal+lbl证明较简单的不等问题女如设f(x)=x2一x+13,实数a满足lx一al<1求证：|f(x)-f(a)|<2(lal+1)证明：If(x)一f(a)l=1(x2-x+13)一(a2一a+13)l=l(x-a)(x+a一1)l(lx一al<1)=lx一allx+a一1l<lx+a一1l<lxl+lal+1又lxl—al<lx一al<1,・*.lxl<lal+1・・|f(x)-f(a)|<2lal+2=2(al+l)(按不等号方向放缩)不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么？(可转化为最值问题，或“△”问题)女如a<f(x)恒成立oa<f(x)的最小值a>f(x)恒成立oa>f(x)的最大值aa>f(x)能成立oa>f(x)的最小值aa>f(x)能成立oa>f(x)的最小值例如：对于一切实数X,若|x-3+x+2>a恒成立，则a的取值范围是(设u二|x-3+|x+2|，它表示数轴上到两定点-2和3距离之和u二3-(-2)=5,・・・5>a,即a<5min或者：|x一3+|x+2»|(x-3)-(x+2)=5,・・a<5)等差数列的定义与性质定义：a一a=d(d为常数),a=a+(n-l)dn+1nn1等差中项：x,A,y成等差数列o2A=x+yn(n-1)+n(n-1)+d2前n项和S前n项和Sn2i性质：{a}是等差数列n若m+n=p+q,贝Ua+a=a+a；mnpq数列{a},{a},{ka+b}仍为等差数列;2n-12nnS,S-S,S-S……仍为等差数列；n2nn3n2n(3)若三个数成等差数列，可设为a-d,a,a+d；aS(4)若玄,b是等差数列S,T为前n项和，则f=—»-1；nnnnbTm2m-1(5)｛a｝为等差数列oS=an2+bn(a,b为常数，是关于n的常数项为nn0的二次函数)S的最值可求二次函数S=an2+bn的最值；或者求出｛a｝中的正、负分界nnn项,即：当a>0,d<0,解不等式组|n可得S达到最大值时的n值。ila<0nn+1当a<0,d>0,由|an<0可得S达到最小值时的n值。ila>0nn+1如：等差数列｛a｝,S=18,a+a+a=3,S=1,贝Un=nnnn-1n-23(由a+a+a=3n3a=3,・°・a=1nn-1n-2n-1n-1・3=3a=1・3=3a=1,2=—132・・・S(a+a)n(a+a)•=18・•・n=27）等比数列的定义与性质定义：=q(q为常数，q丰0),a=aqn-1an1n等比中项：x、G、y成等比数列nG2=xy,或G=±.Jxy~na(q=1)前n项和：S=<a(1-qn)(要注意!)n(q丰1)I1-q性质：｛a｝是等比数列nmnpq(2)S,S-S,S-S……仍为等比数列n2nn3n2n45.由S求mnpq(2)S,S-S,S-S……仍为等比数列n2nn3n2n45.由S求a时应注意什么？nn（n=1时，a=S,n>2时，a=S-S）11nnn-146.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？例如：（1）求差（商）法如：｛a｝满足^a+1a1++——a—2n+5<1>n212222nn解：n=1时,^a=2x1+5,・a=1421111n>2时，一a+a+…•…+a—2n一1+5<2>212222n-1n-1<1>-<2>得：丄a=22nn

•*.a=2n+1n|14(n=1)・・a=<n［2n+i(n>2)练习］数列｛a｝满足S+Snn+15=—a,3n+1a=4，求a1（注意到an+1n+1-S代入得：nSn+1=4Sn又S二4,・•・｛s｝是等比数列,1二4nn>2时，ann-1二3•4n-12）叠乘法例如：数列｛a｝中，a=3,匕+1=，求an1ann+1n解：aaa12n—1・a1—2-a•―3an—a=23,n••—an12n-11又a=3，・a=31nn3）等差型递推公式由a-a=f(n),a=a，求a，用迭加法nn-110nn>2时，a一a=f(2)21a—a=f(3)_,.,32J两边相加，得：a—a=f(n)nn-1a-a=f(2)+f(3)+……+f(n)n1・a=a+f(2)+f(3)+……+f(n)n0练习］数列｛a｝,a=1,a=3n-1+a(n>2),求an1nn-1n(a=Gn—1))n2

等比型递推公式TOC\o"1-5"\h\za=ca+d(、d为常数，c丰0,c丰1,d丰0)nn-1可转化为等比数列，设a+x=c(a+x)n-1na=ca+(c-1)xnn-1令(c-l)x=d,・：x=—d—c-1anan+占［是首项为a1+占，c为公比的等比数列•an练习］•Cn-1•an练习］•Cn-1cn-1数列｛a｝满足a二9,n13an+1(a=8l-3丿(4、n-1+1)倒数法例如：1例如：1，an+12aa+2n由已知得：aan+1为等差数列，nn+1a+21—n=+2a2n—=1,a1公差为2—二1+(n-1)・-a2n二2(n+1)・・a=—nn+1(d丰0)ak+1(d丰0)ak+1丿・・・工丄aakk+1k=1丄1(丄一1'dkak=1kak+1丿a2a3丿kaa丿nn+147.你熟悉求数列前n项和的常用方法吗?例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。如：｛a｝是公差为d的等差数列，求£一1—naak=1kk+1解：由=—a•aakk+1kkdkaa丿1n+1练习］求和：a=

n，S=2-丄)nn+12）a=

n，S=2-丄)nn+12）错位相减法：若｛a｝为等差数列，｛b｝为等比数列，求数列｛ab｝（差比数列）前n项nnnn和，可由S-qS求S，其中q为｛b｝的公比。nnnn女如S=1+2x+3x2+4x3+n+nxn-1<1>X•S=X+2x2+3x3+4x4+n+(n一1)xn-1+nxn<1>-<2>:(1-x)S=1+x+x2+

n

(1-xn)x丰1时，S=———n(1-x)21-x+Xn-1一nxnnxnx=1时，S=1+2+3+nn(n+1)+n=—23）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。S=S=a+a+……n12S=a+a+…nnn-12S=(a+a)+(an1n练习］+a+aI丄n-1n'相加•-+a+aI21+a)+……+(a+a)n-11nx2已知f(x)=，1+x2(1)x2已知f(x)=，1+x2(1)则f(l)+f(2)+f-+f(3)+f-+f(4)+f(扌=V4丿(由f(x)+fC=vx丿X21+X2(1)vx丿+—1+x2=+1=121+x21+x2「(1・•・原式=f(1)+f(2)+f-_V2丿_=+1+1+1=3—)2248.你知道储蓄、贷款问题吗？・•・原式二f(1)+f(2)+f-+f(3)+f-+f(4)+f-△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金p元，每期利率为r,n期后，本利和为:S=p(S=p(1+r)+p(1+2r)+n+p(1+nr)=pln+n(n+1)1r2等差问题△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）若贷款（向银行借款）P元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足p(1+r)n=x(1+r)n-1+x(1+r)n-2++x(1+r)+x==x==x1-(1+r)n](1+r)1-(1+r)'n-1二xrpr(1+r)n•••X=(1+r)n-1p贷款数，r利率，n还款期数49.解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。分类计数原理：N=m+m++m12n(m为各类办法中的方法数)i分步计数原理：N=m•mm12n(m为各步骤中的方法数)i排列：从n个不同元素中，任取m(mWn)个元素，按照定的顺序排成列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为Am.nAm二n(n-1)(n-2)n(n-m+1)二(_n・)(m<n)(n-m)!规定：0!=1(3)组合：从n个不同元素中任取m(mWn)个元素并组成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，所有组合个数记为Cm.nAmn(n-1)(n-m+1)n!Cm=a==—nAmm!m!(n-m)!mm!规定：Co=1n4)组合数性质：Cm=Cn-m，Cm+Cm-1=Cm，Co+C1++Cn=2nnnnnn+1nnn50.解排列与组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩x,90,91,92,93},(i=1,2,3,4)且满足x<x<x<x,i1234则这四位同学考试成绩的所有可能情况是(A.24B.15C.12D.10解析：可分成两类：(1)中间两个分数不相等,□□口口瓦1<x2<x3<x4有C4二5(种)5中间两个分数相等x<x=x<x1234相同两数分别取90,91,92,对应的排列可以数出来,分别有34,3种，.••有10种。・・・共有5+10=15(种)情况二项式定理(a+b)n=Coan+Clan-1b+C2an-2b2+…+Cran-rbr+…+Cnbnnnnnn二项展开式的通项公式：T二Cran-rbr(r二0,1……n)r+1nCr为二项式系数(区别于该项的系数)n性质：(1)对称性：Cr=Cn-r=0,1,2,……,n)nn（2）系数和：Co+Cl+…+Cn二2nnnnCl+C3+C5+…二Co+C2+C4+…二2n-1nnnnnn（3）最值：n为偶数时，n+1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第TOC\o"1-5"\h\z厂n、n—+1|项，二项式系数为C2；n为奇数时，m+1）为偶数，中间两项的二项式V2丿n—+1—+1—一1—+i系数最大即第出项及第n+1项，其二项式系数为C2二C222nn如：在二项式（x-1》1的展开式中，系数最小的项系数为（用数字表示）（•••n=ll12・•・共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第—=6或第7项2由CrX11-r（-1）r，・••取r=5即第6项系数为负值为最小：11-C6二一C5=-4261111又如：(1—2X)2004=a+ax+aX2++aX2004(xeR),则TOC\o"1-5"\h\zo122oo4(a+a)+(a+a)+(a+a)++(a+a)=(用数字作答)01020302004令x一1，得：a+a+-02…+a一12004TOC\o"1-5"\h\z•:原式=2003a+Va+a+……+a=2003x1+1=2004)0012004你对随机事件之间的关系熟悉吗？（1）必然事件0，p（o）=1，不可能事件e，p（e）=0（2）包含关系：AuB,“A发生必导致B发生”称B包含A。（3）事件的和（并）：A+B或AUB“A与B至少有一个发生”叫做A与B的和（并）。（4）事件的积（交）：A・B或AAB“A与B同时发生”叫做A与B的积。（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。a・b=e（6）对立事件（互逆事件）：“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，AAUA=0,AAA=©（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。A与B独立，A与B,A与B,A与B也相互独立。对某一事件概率的求法：分清所求的是：(1)等可能事件的概率(常采用排列组合的方法即TOC\o"1-5"\h\z、小、A包含的等可能结果m(A)==-一次试验的等可能结果的总数n若A、B互斥，贝I」P(A+B)二P(A)+P(B)若A、B相互独立，贝Op(a・B)=P(A)・P(B)(4)P(A)二1-P(A)(5)如果在一次试验中A发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中A恰好发生k次的概率：P(k)二Ckpk(1-p)n-knn如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。(1)从中任取2件都是次品；TOC\o"1-5"\h\z(C22)IiC215丿10从中任取5件恰有2件次品；(C2C310)P=—4_6=—I2C521丿10(3)从中有放回地任取3件至少有2件次品；解析：有放回地抽取3次(每次抽1件)，・・・n=103而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”・・m=C2•4261+433TOC\o"1-5"\h\z.仆C2•42•6+4344・・P=—3=3103125（4）从中依次取5件恰有2件次品。解析：丁一件一件抽取（有顺序）n=A5,m=C2A2A3TOC\o"1-5"\h\z10456C2A2A310・・P二—4——5——6二-4A52110分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。要熟悉样本频率直方图的作法：（1）算数据极差（X-x）；maxmin（2）决定组距和组数；（3）决定分点；（4）列频率分布表；（5）画频率直方图。其中，频率二小长方形的面积二组距X频率组距样本平均值：X=—^X+X++X）n12n

样本方差：S2=—I-X》+（x-x）2++（x-x）2]n—2n如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为（C4C2）—^-5）C6—5你对向量的有关概念清楚吗？（1）向量——既有大小又有方向的量2）向量的模——有向线段的长度，|a|（3）单位向量I和=1,兀=—Ial（4）零向量a,iai=o（5）相等的向量o（5）相等的向量o长度相等

方向相同ab在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。a〃a（a工0）o存在唯一实数九，使a=xa7）向量的加、7）向量的加、aaaOA+OB二OCOA-OB二BA8）平面向量基本定理（向量的分解定理）eiei,e2是平面内的两个不共线向量,a为该平面任一向量，则存在唯实数对实数对九、九，使得a=X己+九e2，己、a2叫做表示这一平面内所有向量12112212的一组基底。（9）向量的坐标表示T，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数T，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x,y,使得a=xa+y了，称（x，y）为向量a的坐标，记作：a=（x，y）,即为向量的坐标表示。设aa=（x，y），ab=（x，y）1122则a±B=（x，y）±（y，y）=（x1112Xa=X（x，y）=6x，九y）1111若A（x，y）,B（x，y）1122则AB=（x-x，y-y）2121IABI=-x》+（y-y》，A、B两点间距离公式2121平面向量的数量积土y，x土y）1122（1）a・a=1al・IDeose叫做向量a与B的数量积（或内积）。0为向量a与B的夹角，ee（0，兀］数量积的几何意义：a•b等于iai与b在a的方向上的射影ibicose的乘积。数量积的运算法则②(a+B)c=a•c+B•c③a•B=(x,y)・(x,y)=xx+yy1122121注意：数量积不满足结合律(C・a)・chB・(a・c)(3)重要性质：设a=(x,y),B=(x,y)1122①a丄Boa•B=0ox•x+y•y=01212②a〃Boac=1al•IBi或a•B=-Ial•IBioa=XB(B丰0,九惟一确定)oxy-xy=012212B=lBl2=X2+y2,|B•Bl<|Bl•IBl11B•Bxx+yycos0==12lBl・lBlJx;+y：・Jx2+y;［练习］aaa已知正方形ABCD，边长为1,AB=B,BC=B,AC=B，贝VlB+B+Bl=答案：2迈若向量B=(x,1),B=G,X),当X=时B与B共线且方向相同答案：2

（3）已知a、百均为单位向量，它们的夹角为60o，那么|云+3百1（3）已知a、百均为单位向量，它们的夹角为60o，那么|云+3百1=58.线段的定比分点设P（x，y）,P（x，y），分点P（x，y）,设P、P是直线l上两点，P点在11122212aal上且不同于P、P，若存在一实数九，使PP=XPP，则九叫做P分有向线段1212aPP所成的比（九〉0，P在线段PP内，九<0，P在PP夕卜），且121212x+九Xx=—121+f，P为PP中点时,y+九yi2y=—i21+九x+xx=22Vy+yy=—12〔2如：AABC，A（x，y）,bC,112y）,C（x，y）233则AABC重心G的坐标是+x3，3※.你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线〃线<——a线〃面<——a面〃面

判定a线丄线<——a线丄面<——a面丄面<性质线〃线<——a线丄面<——a面〃面线面平行的判定：a〃b，bu面a，awana〃面aaa线面平行的性质：a〃面a，au面卩，a卩=bna〃b

三垂线定理（及逆定理）：PA丄面a,AO为PO在a内射影，au面a,则a丄OAna丄PO；a丄POna丄AO线面垂直：线面垂直：a丄ba丄b,a丄c,b,cua,面面垂直：a丄面a,au面卩n卩丄a面a丄面卩，aA卩=l,aua,a丄lna丄卩a丄面a,b丄面ana〃b面a丄a,面卩丄ana〃卩三类角的定义及求法

异面直线所成的角0,0°<0<90°(2)直线与平面所成的角0,0°<0<90°(三垂线定理法：AWa作或证AB丄B于B,作BO丄棱于0,连A0,则A0丄棱i,・・・ZA0B为所求。)三类角的求法：找出或作出有关的角。证明其符合定义，并指出所求作的角。计算大小(解直角三角形，或用余弦定理)。练习］(1)如图，OA为a的斜线OB为其在a内射影，0C为a内过O点任一直线。证明：cos丫=cos0•cos卩(0为线面成角，ZAOC=y，ZBOC=卩)如图，正四棱柱ABCD—ABCD中对角线BD=8,BD与侧面111111BBCC所成的为30°。11求BD和底面ABCD所成的角；1求异面直线BD和AD所成的角；1求二面角C—BD—B的大小。111DCBA1DCBA1Ci3（①arcsin:②60。；4(3)如图ABCD为菱形，ZDAB=60°,PD丄面ABCD，且PD=AD,求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。(・・・AB〃DC,P为面PAB与面PCD的公共点，作PF〃AB，贝PF为面PCD与面PAB的交线……)空间有几种距离？如何求距离？点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长(如：三垂线定理法，或者用等积转化法)。如：正方形ABCD—ABCD中，棱长为a,贝呱1111TOC\o"1-5"\h\z点C到面ABC的距离为；11点B到面ACB的距离为；1直线AD到面ABC的距离为；1111面ABC与面A