例题讲解-概率统计课件

7个正品3个次品122

121

210

101

27

7P(

A2

|

A1

)

7

10

P(

A

),P(

A

|

A

)

7

10

P(

A

),10210P(A

)

7

,1.3.2

事件的独立性放回式抽样,每次一件,连续两次,设Ai

=“第i

次取到正品”(i

=1,

2)10个产品则P(A

)

7

,且

P(

A

A

)

说明A2

发生的概率不受A1发生与否的影响,10

10同时有P(A1

A2

)

P(A1

)P(A2

),称A1,A2为相互独立.2P

D

F c

r

e

a

t

e

d w

i

t

h p

d

fwFwwa

.pcdtffaoctroyry.ctormi

a

l

v

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s

i

o

n

7

7

P(

A

)

P(

A

),,P(

AB)

P(

A)P(B)P(B)P(B)定义:若两事件A,B

满足3称A与B

相互独立,简称A与B独立(A,B

独立).推论1

设两事件A,B,且P(B)

0,

则A,B

独立

P(A

|

B)

P(A)设两事件A,B,且P(A)

0,

则A,B

独立

P(B

|

A)

P(B)证明:

A,

B

独立

P(

AB)

P(

A)

P(B)

P(

A

|

B)

P(

AB)

P(

A)P(B)

P(

A)推论2

设两事件A,B,则四对事件:A与B;A与B;A与B;A与B同时独立或同时不独立.(只要一对独立,则其余三对都独立)证明:设A,B

独立,则P(AB)

P(A)P(B)

P(

AB)

P(B)

P(

AB)

P(B)

P(

A)P(B)

[1

P(A)]P(B)

P(A)P(B),即A与B

独立,同理可证其余.P

D

F c

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h p

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o

n由推论1和推论2可得到:4P

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i

o

nA,B

独立事件A发生的概率不受事件B发生与否的影响,且事件B

发生的概率也不受事件A

发生与否的影响.从而判断两事件是否独立,可不用定义而根据实际意义判断:若两事件中任一个事件发生的概率不受另一个事件发生与否的影响,则认为此两事件独立.如:甲、乙两人向同一目标射击:记A

{甲命中},B

{乙命中},则A与B

独立.甲、乙二人投篮比赛:记A

{甲投中},B

{乙投中},则A与B

独立.等.出现的流感不应该认为是二人独立地破译而大陆出现的流感和独立事件.5P

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o

n3.

P(B

|

A)

01.

P(

AB)

P(

A)

P(B)2.

P(

A

|

B)

P(

A)4.

P(

A

|

B)

0思考:一.设事件A、B

为互不相容,且P(A)>0,

P(B)>0,则下列结论正确的是:1.

AB

2.

P(

A

|

B)

P(

A)4.

P(B

|

A)

0即有:A,B

互不相容

A,B

不独立二.设事件A、B

独立,且P(A)>0,P(B)>0,则下列结论正确的是:即有:A,B独立

A,B

不是互不相容的3.

P(

A

|

B)

06P

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o

nP(BC

)

P(B)

P(C

)P(

AB)

P(

A)

P(B)P(

AC

)

P(

A)

P(C

)mn2

n)3

(共有C

n

Cn

2

n

1独立

广:定义:设三事件A,B,C

满足:P(ABC

)

P(

A)

P(B)

P(C

)称A,B,C

相互独立.,

An

满足:对其中任意m

(2

m

一般:设n

个事件A1,A2,n)个(1事件i

都i有)个P(等A式i

))P(A)P1(

A2i)i

称CA

,

A

,,

A1

2

n相1

互2P(Ai

iAi

A

i独立m

.n

n(与两1

两独2

立不同m)从实际意义判断:若n个事件中任一个事件发生的概率都不受其他任一个或任几个发生与否的影响,则这n个事件相互独立.7P

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o

n1

P(

A1

)

P(

A2

)

P(

An)P(

A1

A2

An

)在计算个数较多的独立事件和的概率时,就转化为相关事件积的概率,避开了加法公式,使加法可大大简化．1

P(

A1

A2

An

)1

P(

A1

A2

An8P

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i

o

n)推论:

设n个事件

A1,

A2

,

,

An

相互独立,

则它们中任一部分事件换成各自的对立事件后,所得

n

个事件也相互独立.从而若A1,A2

,,

An

相互独立,则:例5:甲乙两射手对同一目标进行(独立)射击,

他们

目标的概率分别为0.9和0.8,求在一次射的概率.目标被目标”,

B

“乙

目标”,解:

设

A

“甲则A与B

独立,此时

A

B

“目标被

”,

P(

A

B)

1

P(

A)

P(B)

1

0.1

0.2

0.98.或:

P(

A

B)

P(A)

P(B)

P(

AB

)

P(

A)

P(B)

P(A)

P(B)

0.9

0.8

0.9

0.8

0.98.9P

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o

n常言道:

“三个臭皮匠,

顶一个

”,

就是说人多力量大,

人多智慧多,

它可以从概率的计算中得到论证.例6:三个臭皮匠独立解决某一问题的概率分别为0.45,

0.55,0.60,求问题被解决的概率．解:

设

A,

B,

C分别表示这三个臭皮匠解决了此问题,则A,B,C

独立,且P(A)

0.45,

P(B)

0.55,

P(C

)

0.60,此时A

B

C

“问题被解决”,

P(

A

B

C

)

1

P

(

A)

P

(

B

)

P

(C

)

1

0.55

0.45

0.40

0.901.10P

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o

n例7:甲乙丙三台机床独立工作,在同一时段内它们不需要工人照管的概率分别为0.7,

0.8

和0.9,求这段时间内最多只有一台机床需要工人照管的概率.解:设A1,A2

,A3分别为甲乙丙机床需要工人照管,则A1,A2,A3

相互独立,设B

为最多只有一台机床需要工人照管,

P(

B

)

P(

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

A1

A2

A3

)

P(

A1

A2

A3)

P(A1A2

A3)

P(A1A2

A3)

P(

A1

A2A3)

P(

A1)P(

A2

)P(

A3

)

P(

A1)P(

A2

)P(

A3

)

P(

A1)P(

A2)P(

A3

)

P(

A1)P(

A2

)P(

A3)

0.7

0.8

0.9

0.3

0.8

0.9

0.7

0.2

0.9

0.7

0.8

0.1

0.902

.11P

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o

n

第1章

随机事件与概率随机事件随机事件的概率条件概率与事件的独立性全概公式与

公式12P

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o

n1.4

全概公式与公式1.

全概公式2.公式(逆概公式)全概公式与 公式主要是用来计算比较复杂事件的概率,

这种事件的概率往往计算起来比较 ,欲将这个事件分解成若干个简单的几部分,

则可根据加法公式和乘法公式求出它的概率,

它们实质上是加法公式和乘法公式的运用和推广.在用这两个公式时,都要找出某个完备事件组.13P

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o

nnP(

A)

P(Bi

)

P(

A

|

Bi

)i

1证明:由条件知:B1

B2

14P

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o

n

Bn

,且

Bi

Bj

(i

j,

i,

j

1,2,

P(

A)

P(

A

)

P

[

A(B1

B2

,

n)

Bn

)]

P(

AB1

AB2

ABn

)

P(

AB1

)

P(

AB2

)

P(

ABn

)

P(B1

)P(

A

|

B1)

P(B2

)P(

A

|

B2

)

P(Bn

)P(

A

|

Bn)

nP(Bi

)

P(

A

|

Bi)i

1当n

2

时,全概公式为P(A)

P(B)P(A

|

B)

P(B)P(A

|

B)n),则对任意事件A

,有定理(全概公式):设n个事件B1

,B2

,,

Bn

构成一个完备事件组,且P

(Bi

)0,(i

1,2,

,用全概公式计算概率时,关键是要找一个完备事件组并知道相应的概率.15P

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i

o

n,

Bn

,推广:

设可列个事件B1

,

B2

,

构成一个完备事件组,且P

(Bi

)

0

(i

1,2,),

则对任意事件A

,有P(

A)

P(Bi

)

P(

A

|

Bi

).i

110解:设B

=“第一次取到正品”,B

,B

是一完备事件组,则B

=

“第一次取到次品”,设A

=“第二次取到正品”,

P(

A)

P(B)

P(

A

|

B)

P(B)

P(

A

|

B)

7

7

.例1:10件产品,7个正品,3个次品,从中抽取两次,每次一个,采取不放回抽样,求第二次取到正品的概率.

7

6

310

9

10

916P

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i

o

n例2:

某超市的节能灯泡由甲、乙、丙三个厂家同时供货,其中甲厂生产的占50％,乙厂生产的占30％,丙厂生产的占20％,已知甲厂的

为95％,乙厂的

为90％,丙厂的

为85％.

现有一顾客从该超市

一个节能灯泡,是合格品的概率为多少？(书例)解:

设

B1

,

B2

,

B3

分别表示

的这个节能灯是由甲、乙、丙厂生产,

则B1

,

B2,

B3

是一完备事件组,设A=

“

的这个节能灯是合格品”,由全概公式可得P(

A)

P(B1)

P(A|

B1)

P(B2

)

P(A|

B2

)

P(B3

)

P(A|

B3)

0.5

0.95

0.3

0.90

0.2

0.85

0.915

91.5%.即该顾客

的这个节能灯泡是合格品的概率为91.5%.17P

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i

o

n1010C

2

C

2i2

7

8

7

5

0.54.i0

1

7i则P

(

B

)(i

0,1,2),C1C1

C

1C

11010C

2

C

2C

1C1

C

2C

0

C

1C110

10C

2

C

2

P(

A)

P(Bi

)P(

A

|

Bi

)

7 3

7

3

7 3

6

4

7 3

5

5C

0C

2C

i

C

2

i

7

3

C1

C1P(

A

|

B

)

7i

3i

(i

0,1,2),10C

210C

2例3:10个乒乓球中7个新球,第一次随机地取出2个,用完后放回去,第二次又随机地抽取出2个,问:第二次取到1个新球的概率是多少?解:

第二次取和第一次取有关的,设Bi

“第一次取i个新球”(i

0,1,2),则B0

,B1

,B2

是一完备事件组,设A

“第二次取1个新球”,18P

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o

n1P

(

B

|

A)

1P(

A)P(

AB

)0.915

0.5

0.95

51.91%,P(B1

)P(

A

|

B1

)P(

A)3P(

A)3i

1把此例推广到一般情况可得:

P(Bi

)P(

A

|

Bi

)

P(Bi

)P(

A

|

Bi

)i1P(B3

)P(

A

|

B3

)2P

(

B|

A)

P(

AB2

)

3P

(

B|

A)

P(

AB3

)

3

P(Bi

)P(

A

|

Bi

)i

1P(B2

)P(

A

|

B2

)例4:在例2中:超市的节能灯泡由甲、乙、丙三个厂家同时供货,其中甲厂生产的占50％,乙厂生产的占30％,丙厂生产的占20％,

已知甲厂的

为95％,乙厂的

为90％,丙厂的

为85％.

现有一顾客从该超市

一个节能灯泡,

若已知该灯泡是合格品,

求它是由甲、乙、丙三个厂家生产的概率各是多少．解:0.915

0.3

0.90

29.51%,0.915

0.2

0.85

18.58%,19P

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nn

P(Bi

)

P(

A

|

Bi

)i

1P(Bk

|

A)

P(Bk

)

P(

A

|

Bk

)定理(

公式)

(或逆概公式):在全概公式中,

B1,

B2,…,

Bn

是导致结果A

发生的原因,P(Bk)是在A

发生前知道的称为先验概率, 全概公式是由原因推结果.在

公式公式中,由原来的结果“A已发生”这一条件,

对事件A

发生的原因作进一步的

,

此时P(Bm

|

A)称为后验概率,公式是由结果找原因.,

Bn

构成一个完备事件组,且P

(Bi

)设n个事件B1

,B2

,0,(i

1,2, ,

n),则对任意事件A,且(k

1,2,

n)P(

A)有0,20P

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o

n

1

1

0.5

0.06

0.5

0.06

0.3

0.10

0.2

0.05

1

0.03

0.03

0.010.03

1

3

4

0.57.7

7例5:甲乙丙三个机床同时加工同一种零件,其各机床加工的P(B1)P(

A

|

B1)P(B1

)P(A

|

B1)

P(B2

)P(A

|

B2

)

P(B3

)P(

A

|

B3

)零件数量之比为5:3:2,

各机床所加工的零件

依次为94%,

90%,

95%,

现从加工好的整批零件中检查出一个废品,判断它不是由甲机床加工的概率.解:在整批零件中任取一个零件,设B1

,B2

,B3

分别表示该零件由甲乙丙三机床加工的,则B1

,B2

,B3

是一完备事件组,设A=“该零件是废品”,

P(B1

|

A)

1

P(B1

|

A)21P

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o

n

P(B|

A)

例6:某地区甲种疾病的

为0.0035.

现有一种检验方法,其效果是:

对甲种疾病的漏查率为5%;对无甲种疾病者用此检验方法误诊为甲种疾病患者的概率为1%.

在一次健康普查中,

经此检验法查为有甲种疾病,求此人确实患甲种疾病的概率.解:在该地区随机挑选一人,设

B

“该人患甲种疾病”,

则B

“该人不患甲种疾病”,B

,B

是一完备事件组,设A

“此人经这种检验法查为有甲种疾病”,P(

B)P(

A

|

B)P(

B)P(

A

|

B)

P(

B)P(

A

|B)

0.0035

(1

0.05)

0.25.0.0035

(1

0.05)

(1

0.0035)

0.0122P

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o

n已知5%

和0.25%的女性是色盲,

假设 女性各占一半,的概率.思考P(

B)P(

A

|

B)

P(

B)P(

A

|B)0.5

0.95

0.5

0.9975(2)

P(

B

|

A)

(1)若随机挑选一人,求此人恰好是色盲的概率.(2)若随机挑选一人,发现不是色盲,问此人是解:随机挑选一人,设B

“此人是

”,

则B

=

“此人是女性”,B,B

是一完备事件组,设A

“此人是色盲”,(1)

P(

A)

P(B)

P(

A

|

B)

P(B)

P(

A

|

B)800P(

B)P(

A

|

B)

0.5

0.05

0.5

0.0025

21

0.02625

,779

0.5

0.95

380

0.4878

.或P(A)23P

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Fc

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