高中数学常用公式及常用结论汇总(精华版)

数学1.元素与集合的关系,.xAxCAxCAxAUU2.德摩根公式.C(AB)CACB;C(AB)CACBUUUUUU3.包含关系ABAABBABCBCAUUACBCABRUU4.容斥原理(AB)(AB)(ABC)(AB).(AB)(BC)C)(ABC)5．集合的子集个数共有个；真子集有–1个；非空a,a,,a}22nn12n子集有–1个；非空的真子集有–2个.22nn6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式;f(x)axbxc(a0)2(2)顶点式f(x)a(xh)k(a0);2(3)零点式.f(x)a(xx)(xx)(a0)127.解连不等式常有以下转化形式Nf(x)MNf(x)M[()()]0fxMfxNMNMNf(x)N|f(x)022Mf(x)11.f(x)NMN8.方程f(x)0在上有且只有一个实根,与不(k,k)f(k)f(k)01212等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程有且只有一个实根在内,等价于ax2bxc0(a0)(k,k)12bkk,或且,或且f(k)f(k)0f(k)0kf(k)0122a212112kkb.k2122a29.闭区间上的二次函数的最值p,q二次函数在闭区间上的最值只能在f(x)axbxc(a0)2xb2a处及区间的两端点处取得，具体如下：b(1)当a>0时，若，则xp,q2abf(p),f(q；f(x)f(),f(x)2abf(pf(q，f(pf(q.，xp,q2af(x)f(x)maxmaxminminb，若(2)当a<0时，若，则xp,qf(x)f(pf(q)2aminb，.，则xp,q2af(x)f(pf(q)f(x)f(pf(q)maxmin10.一元二次方程的实根分布f(m)f(n)0f(x)0在区间(,n)内至少有一个实根.设，则f(x)xq2（1）方程在区间(,)内有根的充要条件为f(m)0或f(x)040pq2；pm2（2）方程f(x)0在区间(,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)0或f(m)0f(n)0f(m)0f(n)0或或；402pqaf(n)0af(m)0pmn2（3）方程f(x)0在区间(,n)内有根的充要条件为f(m)0或40pq2.pm211.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据，,,,不(1)在给定区间(,)的子区间（形如L同）上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是.f(x,t)0(xL)min(2)在给定区间的子区间上含参数的二次不等式(,)(为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)0(xL)f(x,t)0t.mana0(3)恒成立的充要条件是或f(x)axbxc00b42c0a0.24ac0b12.真值表ｐｑ非ｐ或ｐ且ｐｑ真真假真真真假真假假假真假假假真真假假真13.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是至少有一一个也没有个不都是至多有一至少有两个个不大于至少有）nn1不小于至多有）nn1，xx，xx不成立成立14.四种命题的相互关系原命题逆命题若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ互否为逆互否逆否否命题逆否命题若非ｑ则非ｐ若非ｐ则非ｑ互逆15.充要条件（1）充分条件：若pq，则是充分条件.pq（2）必要条件：若qp，则是必要条件.pq（3）充要条件：若pq，且qp，则是充要条件.pq注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.16.函数的单调性(1)设那么xxa,b,xx1212(x)f(x)f上是增函(xx)f(x)f(x)00f(x在a,b21xx121212数；数.f(x)f(x)上是减函(xx)f(x)f(x)00f(x在a,b21xx121212(2)设函数yf(x)fx为增()0()fx函数；如果，则为减函数.()0fx()fx17.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数;如果函数和在其对应的定义f(x)g(x)yfu)ug(x)域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa).20.对于函数(),f(xa)fbx)恒成立,则函数yf(x)xRab的对称轴是函数x;两个函数与的图f(x)yf(xa)yfbx)2ab象关于直线x对称.2a21.若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象关于点对称;(,0)2若f(x)f(xa),则函数yf(x)为周期为的周期函数.2a22．多项式函数的奇偶性P(x)axaxann1nn10多项式函数P(x)是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全()Px为零.多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数yf(x)的图象的对称性(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)f(2ax)f(x).ab(2)函数的图象关于直线对称yf(x)x2f(amx)fbmx)f(abmx)f(mx).24.两个函数图象的对称性(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即轴)对y称.(2)函数yf(a)与函数yfbmx)的图象关于直线xab2m对称.(3)函数和的图象关于直线y=x对称.yf(x)yf1(x)25.若将函数yf(x)的图象右移、上移个单位，得到函数ayf(xa)b的图象；若将曲线f(x,y)0位，得到曲线f(xa,yb)0的图象.26．互为反函数的两个函数的关系b的图象右移、上移个单ab.f(a)bf(b)a1127.若函数yf(kxb)存在反函数,则其反函数为,y[f1(x)b]k1并不是y[f1(kxb),而函数y[f128.几个常见的函数方程是的反函数.(kxb)y[f(x)b]k(1)正比例函数,.f(x)f(xy)f(x)f(yf(1)c(2)指数函数(3)对数函数(4)幂函数,.f(x)af(xy)f(x)f(yf(1)a0x,(xy)f(x)f(yf(a)a0,a1).f(x)logxfa,.f(x)xf(xy)f(x)f(y),f(1)'(5)余弦函数,正弦函数，f(x)xg(x)x，f(xy)f()f(y)g(x)g(y)g(x)f(0)1,lim1.xx029.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）f(x)f(xa)，则的周期T=a；f(x)（2）f(x)f(xa)0，1或f(xa)(f(x)0)，f(x)或f(x)1(f()0),f()或1,则的周期T=2a；f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1)f(x)21(3)f(x)1，则的周期T=3a；(f(x)0)()fxf(xa)f(x)f(x)(4)且，f(xx)f(a)1(f(x)f(x)1,0|xx2a)121f(x)f(x)12121212则的周期T=4a；f(x)(5)f()f(x)f(x)f(x)f(x),则的周期T=5a；f()f(x)f(x)f(x)f(x)()fx(6)f(xa)f(x)f(xa)，则的周期T=6a.f(x)30.分数指数幂1(1)m（a0,m,nN，且）.n1annam1(2)anm（a，且）.mnN0,,1nman31．根式的性质（1）.(a)ann（2）当为奇数时，；nnanaa,a0当为偶数时，.nna|ana,a032．有理指数幂的运算性质(1)(2)(3).aaa(a0,r,sQ)rsrs.(a)a(a0,r,sQ)rsrs.(ab)ab(a0,b0,rQ)rrr注：若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上p述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式logNbaN(a0,a1,Nb.a34.对数的换底公式N(a0,且,,且,).Na1m0m1N0maamn推论(,且a1,,n0,且m1,,logblogba0n1nmmaaN0).35．对数的四则运算法则若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)log(MN)logMlogN;aaa(2)logM;logMlogNNaaa(3).logMnlogM(nR)naa36.设函数f(x)log(ax2bxc)(a0),记b24.若f(x)的m定义域为,则a0，且;若f(x)的值域为,则a0，且0.R0R对于a0的情形,需要单独检验.37.对数换底不等式及其推广1若,,,,则函数ylog(bx)axa0b0x0xa11(1)当ab时,在(2)当ab时,在和上为增函数.为减函数.(0,)(,)ylog(bx)axa1a1和上(0,)(,)ylog(bx)ax，aa推论:设，，，且，则nm1p0a0a1（1）.log(np)lognmpmmn（2）logmlognlog2.2aaa38.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为的总px产值，有.yyN(1p)x39.数列的同项公式与前n项的和的关系s,n1ana}的前n项的和为saaan).1(数列ss,n2n12nnn140.等差数列的通项公式；aa(nddnad(nN)n*11其前n项和公式为n(aa)nan(n1)dsn1n221d1.n(ad)n222141.等比数列的通项公式a；*aaqq(nN)nn11n1q其前n项的和公式为(1)aqn,q11s1qnna,q11aaq1或n,q1.s1qnna,q1142.等比差数列:的通项公式为aaqad,ab(q0)nn11nb(nd,q1；anbqndbq()d,q1n1q1其前n项和公式为nbn(nd,(q1).s1qnddb),(q1)n1qq11q43.分期付款(按揭贷款)每次还款xabb)n元(贷款元,次还清,每期利率为).anbb)1n44．常见三角不等式（1）若，则sinxxtanx.x(0,)2(2)若，则1xx2.x(0,)2(3)|x||x1.45.同角三角函数的基本关系式sin，=，tancot1.1tan22cos46.正弦、余弦的诱导公式n(1)sin,2nsin()2n1(1)cos,2n(1)cos,2cos(n)2n1(1)sin,247.和角与差角公式;)sincoscossin;)cossin.)1)sin()sinsin(平方正弦公式);.222)cos()cossin2=(辅助角所在象限由点的象asinbcossin()ab(,)a2b2b限决定,).tana48.二倍角公式.sinsincos.21122222tan.tan1tan249.三倍角公式.sin33sin4sin4sinsin()sin()333.4cos3cos4coscos()cos()3333.3))133250.三角函数的周期公式函数，x∈R及函数，x∈R(A,ω,为yx))xy常数，且A≠0，ω＞0)的周期；函数，yx)T(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期.,xkkZT251.正弦定理abc2R.sinAsinBsinC52.余弦定理;;abcbcA222bcacaB222.cab2abC22253.面积定理111（1）（c分别表示.Sahbhchh、h、h2122ababc11（2）SabsinCbcsinAcasinB2221(3)S.2(|OA||OB|)OAOB)2254.三角形内角和定理在△ABC中，有ABCCAB)(CAB22.C22(AB)255.简单的三角方程的通解.sinxaxk(1)arcsina(kZ,|a1)kcosxax2ka(kZ,|a1)..xaxa(kZ,aR)特别地,有.sinsink(1)(kZ)k.cos2(kZ).tan(kZ)56.最简单的三角不等式及其解集..xaax(2ka,2ka),kZxaax(2ka,2ka),kZ.xaax(2a,2ka),kZ.xaax(2a,2a),kZ.tanxa(aR)x(karctana,k),kZ2.tanxa(aR)x(k,karctana),kZ257.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1)结合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.58.向量的数量积的运算律：aa(1)·b=b·（交换律）;aaaa(2)（（·b）=·b=b）;aa(3)（·c+b·c.59.平面向量基本定理如果e、e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平12面内的任一向量，有且只有一对实数λ、λ，使得a=λe+λe．121122不共线的向量e、e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．1260．向量平行的坐标表示设a=,b=，且b0，则ab(b0).(x,y)(x,y)xyxy011221221a53.与b的数量积(或内积)aa·b=|||b|cosθ．61.a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．62.平面向量的坐标运算(1)设a=(2)设a=,b=,b=，则a+b=，则a-b=..(x,y)(x,y)(xx,yy)11221212(x,y)(x,y)(xx,yy)11221212(3)设A(4)设a=(5)设a=，B,则.(x,y)(x,y)(xx,yy)11222121，则a=.(x,yR(x,y),b=，则a·b=.(x,y)(x,y)(xxyy)1122121263.两向量的夹角公式xxyya(=,b=).cos(,)(,)xyxy1212xyxy11222121222264.平面两点间的距离公式=|ABABABdA,B(A2，B).(xx)(yy)(x,y)(x,y)22121112265.向量的平行与垂直设a=,b=，且b0，则(x,y)(x,y)1122A||bb=λa.xyxy01221aab(a0)·b=0.xxyy0121266.线段的定比分公式设，，P(x,y)是线段的分点,是实数，且P(x,y)PPP(x,y)11122212，则12xxx121121yyy1211（）.tt11267.三角形的重心坐标公式△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△A(x,y)B(x,y)C(x,y)112233xxxyyyABC的重心的坐标是G(1.),231233368.点的平移公式xxhxxh''.'OPOPPP'yykyyk''注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形上的对应点为'F，且的坐标为'.P(x,y)PP(h,k)'''69.“按向量平移”的几个结论（1）点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点(2)函数yf(x)的图象按向量a=.P(xh,yk)'平移后得到图象,则C(h,k)'CC'的函数解析式为yf(xh)k.(3)图象按向量a=平移后得到图象,若的解析式C(h,k)CC',则的函数解析式为.yf(x)Cyf(xh)k'(4)曲线:按向量a=(h,k)平移后得到图象,则的方C'C'Cf(x,y)0程为f(xh,yk)0.(5)向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).70.三角形五“心”向量形式的充要条件设为,B,C所对边长分别为a,b,cOABC（1）为的外心..ABC2OAOBOC22O（2）为的重心0OABC（3）为的垂心.OABC（4）为的内心0的的旁心.OABC（5）为.OABCA71.常用不等式：（1）a,bR(当且仅当a＝b时取“=”号)．(当且仅当a＝b时取“=”号)．ab222ab（2）a,bRab2（3）abcabc(a0,b0,c0).333（4）柯西不等式(ab)(cd)(acbd),a,b,c,dR.22222（5）ababab72.极值定理.已知都是正数，则有x,y（1）若积是定值，则当时和xy有最小值；pxy2p1（2）若和xy是定值，则当时积有最大值.xy2ss4推广已知x,yR，则有(xy)2(xy)22xy（1）若积是定值,则当|xy|最大时,|xy|最大；当|xy|最小时,|xy|最小.（2）若和|xy|是定值,则当|xy|最大时,||最小；当|xy|最小时,||最大.73.一元二次不等式axbxc0(或0)(a0,b4ac0)22与a同号，则其解集在两根之外；如果与异号，cac22则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.；xxx(xx)(xx)0(xx)121212.xx,或xx(xx)(xx)0(xx)12121274.含有绝对值的不等式当a>0时，有.xax2a2axa或.xaxaxaxa2275.无理不等式f(x)0(x)0（1）.f(x)g(x)gf(x)g(x)f(x)0f(x)0（2）（3）.f(x)g(x)g(x)0或g(x)0f(x)[g(x2f(x)0.f(x)g(x)g(x)0f(x)[g(x276.指数不等式与对数不等式(1)当时,a1;afx()a()f(x)g(x)gxf(x)0.logf(x)logg(x)g(x)0aaf(x)g(x)(2)当0a1时,;afx()a()f(x)g(x)gxf(x)0logf(x)logg(x)g(x)0aaf(x)g(x)77.斜率公式yy（1、）.kP(x,y)P(x,y)2xx1112222178.直线的五种方程（1）点斜式（2）斜截式(直线过点，且斜率为)．yyk(xx)lP(x,y)k11111(b为直线在y轴上的截距).yblyyxx（3）两点式(1)(、yy1P(x,y)P(x,y)1yyxx22111222121()).xx12xy1bab(4)截距式(分别为直线的横、纵截距，、b0)（5）一般式(其中A、B不同时为0).C079.两条直线的平行和垂直(1)若①，l:ykxbl:ykxb111222l||lkk,bb;121212②.llkk11212(2)若,,且A、A、B、B都不l:AxByC0l:AxByC0121211112222为零,①ABC；ll1ABC1112222②；llAABB012121280.夹角公式kk(1).||211kk21(，,1)l:ykxbl:ykxbkk21112212ABAB(2)|.1|122AABB1212(,,).l:AxByC0l:AxByC0AABB0111122221212ll时，直线与的夹角是.直线ll1212281.到的角公式l1l2kk(1).121kk21(，,1)l:ykxbl:ykxbkk21112212ABAB(2).1122AABB1212,(,).l:AxByC0l:AxByC0AABB0111122221212ll时，直线到的角是.直线ll1212282．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为P(x,y)000(除直线xx),其中是待定的系数;经过定点yyk(xx)k000的直线系方程为,其中是待定的系P(x,y)A(xx)B(yy)0A,B00000数．(2)共点直线系方程：经过两直线,的交点的直线系方程为l:AxByC0l:AxByC011112222(除)，其中λ是待定的系数．(AxByC)(AxByC)0l2111222(3)平行直线系方程：直线中当斜率k一定而b变动ybC0平行的直线系方程)，λ是参变量．是(00(4)垂直直线系方程：与直线AxByC0的直线系方程是0,λ是参变量．83.点到直线的距离|C|(点,直线：).dP(x,y)lC000AB200284.或所表示的平面区域C00设直线l:C0，则C0或0所表示的平面区域是：若B0，当与同号时，表示直线的上方的区域；当BCl与异号时，表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,BCl异号在下.若B0，当与同号时，表示直线的右方的区域；当ACl与的左方的区域.简言之,同号在右,ACl异号在左.85.或所表示的平面区域(AxByC)(AxByC)00111222设曲线（C:(AxByC)(AxByC)0AABB01112221212或所表示的平面区域是：(AxByC)(AxByC)00111222所表示的平面区域上下两部分；所表示的平面区域上下两部分.(AxByC)(AxByC)0111222(AxByC)(AxByC)011122286.圆的四种方程（1）圆的标准方程（2）圆的一般方程.2(xa)(yb)r22(＞0).xyDxEyF0DE4F2222cos（3）圆的参数方程xar.ybrsin(圆的直径的(xx)(xx)(yy)(yy)01212端点是、).A(x,y)B(x,y)112287.圆系方程(1)过点,的圆系方程是A(x,y)B(x,y)1122(xx)(xx)(yy)(yy)[(xx)(yy)(yy)(xx)]01212112112,其中)0是直(xx)(xx)(yy)(yy)(axbycaxbyc01212线的方程,λ是待定的系数．(2)过直线:与圆C:x2y2DxEyF0的交点的lC0圆系方程是,λ是待定的系数．与圆的交点的圆系方程是,λ是待定的系数．xyDxEyF(AxByC)022(3)过圆:x2yDxEyF0C21111:x2yDxEyF0C22222xyDxEyF(xyDxEyF)0222211122288.点与圆的位置关系点若与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种P(x,y)00，则2d(ax)by)200点在圆外;点在圆上;点在圆内.drPdrPdrP89.直线与圆的位置关系直线C0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种:dr0;dr0;dr0.其中dAaBbC.A2B290.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O，O，半径分别为r，r，OOd121212;;drr12drr12;rrdrr1212;drr12.0drr1291.圆的切线方程(1)已知圆．xyDxEyF022①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是(x,y)00D(xx)E(yy)xxyyF0.002200D(xx)E(yy)当圆外时,F0表示过两(x,y)xxyy00220000个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切yyk(xx)00条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．③斜率为k的切线方程可设为ykxbb，必有两条切线．(2)已知圆．2xyr22①过圆上的点的切线方程为;2P(x,y)xxyyr00000②斜率为的圆的切线方程为.kykxr1k2cosxy92.椭圆93.椭圆222的参数方程是xa.abybsinab2xy22焦半径公式aba2b2a2a2，.e(x)e(x)1c2c94．椭圆的的内外部xy2x202y202（1）点（2）点在椭圆2的内部的外部..P(x,y)ab100a2b2abxy2x2y202在椭圆2P(x,y)ab10200a2b2ab95.椭圆的切线方程xy2(1)椭圆2上一点处的切线方程是abP(x,y)a2b200xxyy1.0a20b2xy22外一点所引两条切线的切点abP(x,y)a2b200弦方程是xxyy01.0a2b2xy2（3）椭圆2与直线相切的条件是ab0Ca2b2.2AaBbc2222xy296.双曲线2的焦半径公式.aba2b2aa2，2|e(x)||e(x)|1c2c97.双曲线的内外部xy2x202y202(1)点(2)点在双曲线2的内部的外部..P(x,y)ab100a2b2abxy2x2y202在双曲线2P(x,y)ab10200a2b2ab98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为x2y2渐近线方程：1a2b2xy22.b0yxa2b2axy0ab(2)若渐近线方程为yb双曲线可设为xax22y2.ab2(3)若双曲线与x22y22有公共渐近线，可设为x22y221abab（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）.99.双曲线的切线方程xy2(1)双曲线2上一点处的切线方程是所引两条切线的a0,bP(x,y)a2b200xxyy01.0a2b2xy22外一点a0,bP(x,y)a2b200切点弦方程是xxyy01.0a2b2xy2（3）双曲线2与直线相切的条件是a0,b0Ca2b2.AaBbc22222100.抛物线y22px的焦半径公式p抛物线y22px(p0)焦半径.CFx20pp过焦点弦长.CDxxxxp221212101.抛物线y22px上的动点可设为Py2或(22,2)或Pptpt(,y)2pP(x,y)，其中.y22pxb2bca(x)a102.二次函数yax2的图象是抛(a0)2ab4b2物线：（1）顶点坐标为；（2）焦点的坐标为)(,2a4ab4b14b12)y2.(,2a4a4a103.抛物线的内外部(1)点在抛物线y22px(p0)的内部.P(x,y)y2px(p0)200点在抛物线的外部.P(x,y)y2px(p0)y2px(p0)2200(2)点在抛物线y22px(p0)的内部.P(x,y)y2px(p0)200点在抛物线的外部y22px(p0)y2px(p0)2.P(x,y)00(3)点在抛物线x22py(p0)的内部.P(x,y)x2py(p0)200点在抛物线的外部x22py(p0)x2py(p0)2.P(x,y)00(4)点在抛物线x22py(p0)的内部.P(x,y)x2py(p0)200点在抛物线的外部x22py(p0)x2py(p0)2.P(x,y)00104.抛物线的切线方程(1)抛物线y22px上一点y22px外一点处的切线方程是.P(x,y)yyp(xx)0000所引两条切线的切点弦方程P(x,y)00是.yy(xx)00（3）抛物线与直线C0相切的条件是y22px(p0).pB2AC2105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线,的交点的曲线系方程是f(x,y)0f(x,y)012(为参数).f(,y)f(,y)012x2y2(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中1a2kbk2.当时,表示椭圆;当时,表示双曲线.2kmax{a,b}kmin{a,b}2222min{a,b}kmax{a,b}222106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式或2AB(xx)(yy)21212|t（弦端点ABk)(xx)|xx|1tanyy|1co2222211212ykxbA消去y得到，,ax2bxc00(x,yB(x,y)F(x,y)01122为直线的倾斜角，为直线的斜率）.ABk107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线F(x,y)0关于点P成中心对称的曲线是(x,y)00.F(2xx,2yy)000（2）曲线F(x,y)0关于直线C0成轴对称的曲线是2(AxByC)2B(AxByC)AB.F(x,y)0AB2222108.“四线”一方程对于一般的二次曲线xyxy，用代，AxBxyCyDxEyF0xx2x220xxyy0用代，用代，用代，用代即得方程yyyxy20002220xyxyxxyyAxxBCyyDE0F000022200中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.114．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：a＋b=b＋a．(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量存在实数λ使a=λb．三点共线AP||ABtOP(1t)OAtOB.B、共线且不共线且AB、CD不||ABAB、CD共线.118.共面向量定理向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对,使,xy．paxby推论空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,使x,y，MPxMAyMB或对空间任一定点O，有序实数对，使.x,yOPOMxMAyMB119.对空间任一点和不共线的三点A、B、C，满足O（时，对于空间任一点，OPxOAyOBzOCxyzkk1O总有四点共面；当时，若平面ABC，则k1OC四点共面；若平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．O四点共面、C、D与、共面ACADxAByAC（平面ABC）.OD(1xy)OAxOByOCO120.空间向量基本定理如果三个向量不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．推论设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OPxOAyOBzOC121.射影公式.a已知向量=和轴上与同方向的单位向量.作A点在llll上的射影，作B点在上的射影，则AlB''aa〈，e〉=·eA'B|AB|cos'122.向量的直角坐标运算a设＝，b＝则；；(a,a,a)(b,b,b)123123a(1)＋b＝(ab,ab,ab)112233a(2)－b＝(ab,ab,ab)112233a(3)λ＝(λ∈R)；；(a,a,a)123a(4)·b＝ababab112233123.设A，B，则(x,y,z)(x,y,z)11=1222.(xx,yy,zz)212121124．空间的线线平行或垂直设，，则a(x,y,z)b(x,y,z)111222xx12；(yyababb12zz12.abab0xxyyzz0121212125.夹角公式a设＝，b＝，则(a,a,a)(b,b,b)123123ab11ababacos〈，b〉=.2233aaabbb212223212223推论，此即三维柯西不23(ababab)(aaa)(bbb)22122232122112233等式.126.四面体的对棱所成的角四面体ABCD中,与所成的角为,则BDAC|()()|2222.2127．异面直线所成角|a,b|=|ab||xxyyzz|121212|a||b|x21y21z21x2y2z2222（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线,090,abab的方向向量）b128.直线与平面所成角ABm(为平面的法向量).arcsinm|AB||m|129.若ABC所在平面若与过若的平面成的角,另两边,与平面成的角分别是、,为ABC的两个内角，则、ABACBC12.sinsin(sinAsinB)sin2222212特别地,当时,有90.sinsinsin22212130.若所在平面若与过若的平面成的角,另两边ABC,与平面成的角分别是、,为ABO的两个内角，则、ABACBC''12.tantan(sinAsinB)tan222'2'212特别地,当时,有.sinsinsin22212131.二面角的平面角larccosmn|m||n|arccosmn|m||n|或（，为平面，mn132.三余弦定理设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为与AC所成的角为与AC所成的角为1.2coscoscos12133.三射线定理若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是,,与二面角的棱所成的角是θ，则有12;sinsinsinsin2sinsincos22221212(当且仅当时等号成立).|180)1212134.空间两点间的距离公式若A，B，则(x,y,z)(x,y,z)111222=.2d|ABABAB()()()xx2yyzz2A,B212121135.点到直线距离Qlh1a||b|)(ab)2PllPA(点在直线上，直线的方向向量a=，2|a|向量b=).PQ136.异面直线间的距离|CDn|(，分别是d,l、CDl,l1ln|n|122上任一点，为间的距离).dl,l12137.点到平面的距离B|ABn||n|（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，dn）.A138.异面直线上两点距离公式.dhmncos222.dhmn2mncosEA,AF222'（）.dhmn2mncosEAAF222'(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段的长度为h.在AA'直线a、b上分别取两点E、F，139.三个向量和的平方公式,,).AEmAFnEFd'(abc)a2b2c22abbcca2a2b2c22|a||b|a,b2|b||c|,c2|c||a|c,a140.长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分l别为，夹角分别为、、,则有l、l、l123123.1sinsinsin2l2l21l22l23222222123123（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141.面积射影定理S'.Scos(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成SS'锐二面角的为).142.斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是,侧面积和体积分别是S和V,它l斜棱柱侧斜棱柱的直截面的周长和面积分别是和,则c1S1①S.cl斜棱柱侧1②V.Sl斜棱柱1143．作截面的依据平行.144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)VFE2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).（1）=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为nE1的多边形，则面数F与棱数E的关系：；EnF2V与棱数E的关系：m1.EmV2146.球的半径是R，则4其体积3,VR3其表面积SR2．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3)球与正四面体的组合体:6棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为aa6a.4148．柱体、锥体的体积1（是柱体的底面积、是柱体的高）.VShSh31（是锥体的底面积、是锥体的高）.VShSh3149.分类计数原理（加法原理）.Nmmm12n150.分步计数原理（乘法原理）.Nmmm12n151.排列数公式n！==;.(，∈N，且)．An(n(nmnmmn*m(nm！n注:规定.1152.排列恒等式(1）A(nm1)Am1mnnn（2）;AAmn1mnmn（3）（4）（5）;AnAm1mnn1;nAAn1Annnn1n.AAmAm1mmn1nn(6).1!233!nn!(n1)!1153.组合数公式(n(nm！An==m=(∈N，，且mn).*nmNCmnnAm12m(！mnmm154.组合数的两个性质(1)=;nmCCmnn(2)+=.CCm1Cmmnnn1注:规定C.10n155.组合恒等式Cnm1Cm（1）;1mmnnn（2）（3）（4）;CCmmnmnn1n;CCm1mmn1n=;n2Crnnr0（5）.CCCCCr1rrrrrr1r2nn1(6)C0C1C2.nCC2rnnnnnn(7)C1C3C5C0C2C42n1.nnnnnn(8)C12C2C3.nCn2n1nnnnn(9).CCCCCCCr0r110rrrmnmnmnmn(10).(C)(C)(C)(C)C021222n2n2nnnnn156.排列数与组合数的关系.ACmmnn157．单条件排列以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列.nmAm1AAm1nmn1n1（补集思想）1A（着眼位置）（着眼元素）种.AAAm1n1n1mn11m1m1n1（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：k(kmn)个元在固定位的排列有种.AAkmknkk②浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有n种.注：此类问题常用捆绑法；Ank1Akknk1③插空：两组元素分别有k、h个（kh1来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有种.AAkhhh1（3）两组元素各相同的插空个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？mn当nm1时，无解；当nm1时，有A种排法.nm1AnnCnm1（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为.Cnmn158．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个mnm人，各得件，其分配方法数共有n(mn.(!)mNCCnCnCCnn2nnmnnmn2nn（2）(平均分组无归属问题)将相异的·个物体等分为无记mn号或无顺序的堆，其分配方法数共有mCC(mnnCCnCn2nn2nn.Nnn!!(!)m（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n+n++n)个物体12m分给个人，物件必须被分完，分别得到，，…，件，且，mnnnmn121，…，这个数彼此不相等，则其分配方法数共有n2nmm!!.nnnNCCC!npnpnn12m!!...!n1m12m（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n+n++n)个12m物体分给个人，物件必须被分完，分别得到，，…，件，且mnnnm12，，…，这个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方nn2nmm1CCC!!!pmnpnpnn法数有Nn.12m1mn!nnab!c12m（5）(非平均分组无归属问题)将相异的个物体P(P=n+n++n)12m分为任意的，件无记号的，这个nnnmmnn1.nm122m!n!nn!数彼此不相等，则其分配方法数有N12m（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的个P(P=n+n++n)12m物体分为任意的，，…，件无记号的堆，且，，…，nn2nmmn1nnm12这个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有m!.Nn!nn!(!12m（7）(限定分组有归属问题)将相异的（）个物ppn+n++n12m体分给甲、乙、丙，……等个人，物体必须被分完，如果指定甲得m件，乙得件，丙得件，…时，则无论，，…，等个数n1nnnnnm2312m是否全相异或不全相异其分配方法数恒有!.NCCCnnpnn12m!!nnnpn1m12m贝努利装错笺问题:信封信与个信封全部错位的组合数为nn1111.f(n)n![(n]2!3!4!n!推广:个元素与个位置,其中至少有个元素错位的不同nnm组合总数为f(n,m)nC(n1)!C(nC(n3)!C(n4)!1234mmmm(1)C(np(1)C(nm)!ppmmmmCCCC1CpmApCmmAm234n(1)(m].m1mm2m4pAAAAn2nnnnn160．不定方程的解的个数x+x++xm12n(1)方程（）的正整数解有个.n1x+x++xmn,mNC12n(2)方程（）的非负整数解有m1个.1x+x++xmn,mNCn12nnm1(3)方程（）满足条件个.x+x++xmn,mN12n(,)的非负整数解有（xkkN2in1Cn1(n2)(k1)i(4)方程m1）满足条件x+x++xmn,mN12n(,)的正整数解有xkkN2in1i个.CCCCC(1)CCn11n12n1n2n2n1nm161.n2mnk2n2mn2k3n2m(n2)k1二项式定理;n(ab)CaCabCabCabCbn0n1n12n22rnrrnnnnnn二项展开式的通项公式.TCab(r2，n)rnrrr1n162.等可能性事件的概率m.P()n163.互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．164.个互斥事件分别发生的概率的和nP(A＋A＋…＋A)=P(A)＋P(A)＋…＋P(A)．12n12n165.独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)=P(A)·P(B).166.n个独立事件同时发生的概率P(A·A·…·A)=P(A)·P(A)·…·P(A)．12n12n167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率P(k)CP(1P).kknknn168.离散型随机变量的分布列的两个性质（1）P0(i1,2,);i（2）.PP112169.数学期望xPxPxP1122nn170.数学期望的性质（1）.E(b)b)（2）若～,则.(,)Bnp(3)若服从几何分布,且p，则1.Pkg(k,p)qk1()p171.方差pxEDxEpxEp2221122nn172.标准差=.D173.方差的性质(1)；DabaD2(2）若～B，则npp).(n,p)(3)若服从几何分布,且，则q.(k)g(k,p)qpPk1p2174.方差与期望的关系.DEE22175.正态分布密度函数21fxx（xe,,26226分别表示个体的平均数与标准差.176.标准正态分布密度函数12fx.xe,x,226177.对于N(,2)，取值小于x的概率x.FxPxxxPxxPxx10221FxFx21xx.21178.回归直线方程nnxxyyxynxyiiiii1i1yabx，其中b.2xxnnxnx22iii1i1aybx179.相关系数xxyynnxxyyiiii.ri1i1nnnn(xx)(yy)(xnx)(yny)222222iiiii1i1i1i1|r|≤1，且|r|越接近于