信号处理课件-5.7格型网络结构

一、全零点格型网络结构

1.全零点格型网络的系统函数该流图只有直通通路，没有反馈回路，因此可称为FIR格型网络结构。5.7格型网络结构全零点格型网络基本单元将上式进行Z变换，得到再将上式写成矩阵形式将N个基本单元级联后，得到:令Y(z)=EN(z)，X(z)=E0(z)=R0(z),其输出为

由上式得到全零点格型网络的系统函数为只要知道格型网络的系数kl，l=1,2,3,…,N,由上式可以直接求出FIR格型网络的系统函数。

2.由FIR直接型网络结构转换成全零点格型网络结构假设N阶FIR型网络结构的系统函数为

式中,h(0)=1;h(n)是FIR网络的单位脉冲响应。令ak=h(k)，得到:

式中，a0=h(0)=1;kl为全零点格型网络的系数,

l=1,2,…,N。

下面仅给出转换公式，推导过程请参考文献[19]：

式中,l=N,N－1,…,1。

解释公式中的下标k(或l)表示第k(或l)个系数，这里FIR结构和格型结构均各有N个系数;(5.7.13)式是一个递推公式，上标(带圆括弧)表示递推序号，从(N)开始，然后是N-1,N-2,…,2；注意(5.7.12)式

，当递推到上标圆括弧中的数字与下标相同时，格型结构的系数kl刚好与FIR的系数相等【例5.7.1】将下面三阶FIR系统函数Ｈ3(z)转换成格型网络，要求画出该FIR直接型结构和相应的格型网络结构流图。

解

例题中N=3,按照(5.7.11)式，有由(5.7.12)式，得到:

按照(5.7.13)式，递推得到:

l=3,k=1时,

l=3,k=2时,

l=2,k=1时,最后按照算出的格型结构的系数，画出三阶FIR直接型结构和三级格型网络结构流图。

实际上，调用MATLAB函数实现直接型网络结构与格型网络结构之间的相互转换非常容易。tf2latc实现直接型到格型结构变换，latc2tf实现格型到直接结型结构变换。

K=tf2latc(hn):求FIR格型结构的系数向量K=[k1,k2,…,kN],hn为FIR滤波器的单位脉冲响应向量，并关于hn(1)=h(0)归一化。应当注意，当FIR系统函数在单位圆上有零极点时，可能发生转换错误。

hn=latc2tf(K)将FIR格型结构转换为FIR直接型结构。K为FIR格型结构的系数向量K，hn为FIR滤波器的单位脉冲响应向量，即FIR直接型结构系数向量。显然，该函数可以用于求格型结构的系统函数的系数。例5.7.1的求解程序如下：

hn=[1,-0.9,0.64,-0.576];

K=tf2latc(hn)运行结果：

K=[-0.67280.1820-0.5760]与上面的递推结果相同。5.7.2全极点格型网络结构全极点IIR系统的系统函数用下式表示:

式中,A(z)是FIR系统，因此全极点IIR系统H(z)是FIR系统A(z)的逆系统。下面先介绍如何将H(z)变成A(z)。假设系统的输入和输出分别用x(n)、y(n)表示，全极点IIR滤波器的差分方程为如果将x(n)、y(n)的作用相互交换，差分方程则变成下式:

则全极点IIR系统的直接型结构基于上面的事实，我们将FIR格型结构通过交换公式中的输入输出作用，形成它的逆系统，即全极点格型IIR系统。重新定义输入输出再将FIR格型结构的基本公式重写如下：defdef由于重新定义了输入输出，将el(n)按降序运算，rl(n)不变，即全极点IIR格型结构为了说明这是一个全极点IIR系统，令N=1,得到方程为如果N＝2，可得到下面方程组:经过化简，得到:由上面分析知道,全极点网络可以由全零点格型网络形成，这是一个求逆的问题。对比全零点格型结构和全极点结构，可以归纳出下面的一般求逆准则：（1）将输入到输出的无延时通路全部反向，并将该通路的常数支路增益变成原常数的倒数（此处为1）；（2）将指向这条新通路的各节点的其它节点的支路增益乘以－1；（3）将输入输出交换位置。调用MATLAB转换函数可以实现全极点系统的直接型和格型结构之间的转换。

K=tf2latc(1,A):求IIR全极点系统格型结构的系数向量K，A为IIR全极点系统函数的分母多项式A（z）的系数向量。具有零点和极点的IIR格型网络称为格梯型网络结构，这部分内容请参考文献[19]。

[K,V]=tf2latc(B,A):求具有零点和极点的IIR格型网络系数向量K，及其梯型网络系数向量V。应当注意，当IIR系统函数在单位圆上有极点时，可能发生转换错误。

[B，A]=latc2tf(K,′allpole′):将IIR全极点系统格型结构转换为直接型结构。K为IIR全极点系统格型结构的系数向量，A为IIR全极点系统系数函数的分母多项式A(z)的系数向量。显然，该函数可以用于求格型结构的系统函数，这时分子为常数1，所以B=1。

[B，A]=latc2tf(K,V)：将具有零点和极点的IIR格型网络结构转换为直接型结构。例如：

则求IIR全极点系统格型结构系数向量K的程序为

A=[1,13/24,5/8,1/3];

K=tf2latc(1,A)运行结果：

K=[0.25000.50000.3333]对上面所求格型结构的系数向量K，调用latc2tf求其对应的格型结构的系统函数的程序如下：

K=[0.2500，0.5000，0.3333]；

[B,A]=latc2tf(K,′allpole′)运行结果：

B=[1000]

A=[1.00000.5417