系统工程原理12-9夏昊翔

系统工程原理

(2060120023)

3-14周：周四5-8节，研教楼-201室荣莉莉、夏昊翔大连理工大学管理与经济学部管理科学与工程学院系统工程研究所夏昊翔hxxia@84706689(o)第11章章随随机服务务系统第1节随随机服服务系统统概念随机服务务系统是是一类研研究得较较多的离离散事件件动态系系统。现现实中很很多问题题可以使使用随机机服务系系统加以以描述和和分析。。火车站买买票，顾顾客-售售票员；；船靠码头头卸货，，船-码码头卸船船机；计算机任任务处理理，任务务-计算算机；等等等。这类系统统的特点点：随机性：：顾客到到来的时时间与服服务者提提供服务务的时间间都是随随机的；；排队：顾顾客排队队等待服服务；（（因此，，随机服服务系统统理论也也称为排排队论））排队论（（queuing),也称随机机服务系系统理论论，是运运筹学的的一个主主要分支支。1909年，丹麦麦哥本哈哈根电子子公司电电话工程程师A.K.Erlang的开创性性论文““概率论论和电话话通讯理理论”标标志此理理论的诞诞生。排队论的的发展最最早是与与电话、通信中的的问题相相联系的的，并到到现在是是排队论论的传统统的应用用领域。。近年来在在计算机机通讯网网络系统统、交通通运输、、医疗卫卫生系统统、库存存管理、、作战指指挥等各各领域中中均得到到应用。。排队是指指在服务务机构处处要求服服务对象象的一个个等待队队列。排队系统统是指一一个具有有排队等等待现象象的服务务系统。。排队论是是指定量量的研究究排队问问题，寻寻找系统统内在规规律，寻寻找供求求关系平平衡的最最优方案案。现实世界界中排队队的现象象比比皆皆是，但但有如下下共同特特征:(1)有有请求服服务的人人或物，，如候诊诊的病人人，请求求着陆的的飞机等等，我们们将此称称为“顾顾客”。。(2)有有为顾客客提供服服务的人人或物，，如医生生、飞机机跑道等等，我们们称为““服务员员”。由由顾客和和服务员员就组成成服务系系统。(3)顾顾客随机机地一个个一个((或者一一批一批批)来到到服务系系统，每每位顾客客需要服服务的时时间不一一定确定定的，服服务过程程的这种种随机性性造成某某个阶段段顾客排排长队，，而某些些时间服服务员又又空闲无无事。各种形式式的排队队系统

各种形式式的排队队系统各种形式式的排队队系统各种形式式的排队队系统各种形式式的排队队系统随机服务务系统研研究目的的与方法法面对拥挤挤现象，，人们通通常的做做法是增增加服务务设施，，但是增增加的数数量越多多，人力力、物力力的支出出就越大大，甚至至会出现现空闲浪浪费，如如果服务务设施太太少，顾顾客排队队等待的的时间就就会很长长，这样样对顾客客会带来来不良影影响。如何做到到既保证证一定的的服务质质量指标标，又使使服务设设施费用用经济合合理，恰当地地解决顾顾客排队队时间与与服务设设施费用用大小这这对矛盾盾，就是是随机服服务系统统理论———排队队论所要要研究解解决的问问题。因此，研研究随机机服务系系统的基基本目的的在于合合理设计计实际的的随机服服务系统统，在保保证服务务质量的的同时使使服务系系统的开开支最小小。由于随机机因素在在服务系系统中起起着根本本性的影影响，所所以研究究随机服服务系统统时，需需要采用用研究随随机现象象规律性性的概率率论的方方法。随机服务务系统研研究的基基本问题题1.排队系统统的统计计推断:即通过对对排队系系统主要要参数的的统计推推断和对对排队系系统的结结构分析析，判断断一个给给定的排排队系统统符合于于哪种模模型，以以便根据据排队理理论进行行研究。。2.系统性态态问题:即研究各各种排队队系统的的概率规规律性，，主要研研究队长长分布、、等待时时间分布布和忙期期分布等等统计指指标,包括了瞬瞬态和稳稳态两种种情形。。3.最优化问问题：即即包括最最优设计计(静态优化化)，最优运运营（动动态优化化）。排队问题题求解(主要指性性态问题题)求解一般般排队系系统问题题的目的的主要是是通过研研究排队队系统运运行的效效率指标标，估计计服务质质量，确确定系统统的合理理结构和和系统参参数的合合理值，，以便实实现对现现有系统统合理改改进和对对新建系系统的最最优设计计等。排队问题题的一般般步骤：：1.确定定或拟合合排队系统统顾客到到达的时时间间隔隔分布和和服务时时间分布布(可实测)。2.研究究系统状态态的概率率。系统统状态是是指系统统中顾客客数。状状态概率率用Pn(t)表示,即在t时刻系统统中有n个顾客的的概率，，也称瞬瞬态概率率。求解状态态概率Pn(t)方法是建建立含Pn(t)的微分差差分方程程，通过过求解微微分差分分方程得得到系统统瞬态解解，由于于瞬态解解一般求求出确定定值比较较困难，，即便求求得一般般也很难难使用。。因此我我们常常常使用它它的极限限(如果存存在的话话)：稳态的物物理意义义见右图图，系统统的稳态态一般很很快都能能达到，，但实际际中达不不到稳态态的现象象也存在在。值得得注意的的是求稳稳态概率率Pn并不一定定求t→∞的的极限,,而只需需求Pn’(t)==0即可。过渡状态稳定状态pnt排队系统状态变化示意图称为稳态态(steadystate))解，或称统计计平衡状状态(StatisticalEquilibriumState)的解。第2节随机机服务系系统特征征和基本本排队模模型共同特征征：(1)请求服务务的人或或者物——顾客；(2)有为顾客客服务的的人或者者物，即即服务员员或服务务台；(3)顾客到达达系统的的时刻是是随机的的，为每每一位顾顾客提供供服务的的时间是是随机的的，因而而整个排排队系统统的状态态也是随随机的。。ServerQueueArrival每个顾客客由顾客客源按一一定方式式到达服服务系统统，首先先加入队队列排队队等待接接受服务务，然后后服务台台按一定定规则从从队列中中选择顾顾客进行行服务，，获得服服务的顾顾客立即即离开。。基本排队队过程随机服务务系统的的基本组组成随机服务务系统一一般有三三个基本本组成部部分：1.输入过程程；2.排队规则则；3.服务机构构。输入过程程(顾顾客按照照怎样的的规律到到达);;排队规则则(顾顾客按照照一定规规则排队队等待服服务);;服务机构构(服服务机构构的设置置,服务务台的数数量,服服务的方方式,服服务时间间分布等等)排队长度度服务者1服务者2服务者n顾客到达达几个关键键时间指指标：1）顾客客到来的的时间间间隔2）排队队时间3）系统统服务时时间随机服务务系统的的性质由由三个部部分决定定：顾客客到来的的规律、、排队规规律、服服务机理理。1．输入过过程这是指要要求服务务的顾客客是按怎怎样的规规律到达达排队系系统的过过程，有有时也把把它称为为顾客流流。一般般可以从从3个方面来来描述—个输入过过程。(1)顾客总体体数，又又称顾客客源、输输入源。。这是指指顾客的的来源。。顾客源源可以是是有限的的，也可可以是无无限的。。(2)顾客到达达方式。。这是描描述顾客客是怎样样来到系系统的，，是单个个到达，，还是成成批到达达。(3)顾客流的的概率分分布，或或称相继继顾客到到达的时时间间隔隔的分布布。这是是求解排排队系统统有关运运行指标标问题时时，首先先需要确确定的指指标。顾顾客流的的概率分分布一般般有定长长分布、、二项分分布、泊泊松流(最简单流流)、爱尔朗朗分布等等若干种种。输入过程程随机服务务系统的的输入就就是顾客客的到来来，由于于到来规规律的不不同，所所以有各各种类型型的输入入过程。。一般用用两个顾顾客到达达的时间间间隔τ来描述系系统的输输入特点点。主要输入入过程类类型：（1）定长输输入顾客有规规律地等等间隔到到达，假假如每隔隔时间α到一个，，这时候候相继两两个顾客客到达的的相隔时时间τ的分布函函数为：：例如：生生产线上上的产品品从传送送带过来来进入包包装箱的的情况（2）泊泊松输入入前面讲到到的定长长输入过过程是一一个确定定性过程程，更多多情况下下输入过过程是随随机的。。τ是随随机变量量。最常常见的顾顾客到来来规律按按照泊松松分布到到来，称称这样的的输入过过程为泊泊松输入入。泊松松输入满满足以下下条件：：1）平稳稳性：在在每个时时间段[a,a+t]内k个顾客到到达的概概率与a无关，只只与t,k有关；2）无后后效性：：不相交交的时间间段到达达的顾客客数相互互独立；；3）普通通性———在把时时间段分分的足够够小的话话，每个个时间段段最多到到达一个个顾客；；4）有限限性：任任意有限限区间到到达有限限个顾客客的概率率为1。。（k=0，1，2，…）在泊松输输入下，，在时间间长度为为t的时间段段里面到到达k个顾客的的概率被被定义为为泊松分分布：其分布函函数为负负指数分分布：这种输入入是应用用最广泛泛的，而而且是最最容易处处理的。。0-t这这个时间间段内顾顾客到达达的平均均数：因此，单单位时间间里面顾顾客到达达的平均均数为λ，称为平平均到达达率。平均到达达的时间间间隔为为：其它输入入（3）爱尔朗朗（Erlang）输入它的到达达间隔相相互独立立，具有有相同的的分布a(t)=λλ(λt)k-1e-λt/(k--1)!!,t≥0（4）一般独独立输入入到达间隔隔相互独独立、相相同分布布，其分分布函数数A(t)可以是任任意一个个函数，，上面的的几种输输入都可可看作是是它的特特例。（5）成批到到达的输输入每次到来来的不一一定是一一个顾客客，而可可能是一一批顾客客，数目目n是一个随随机变量量，分布布为p{n=k}==ak,k==0,1,2,,……到达时间间间隔则则可能是是上述几几类输入入中的一一种。2．排队规规则这是指服服务台从从队列中中选取顾顾客进行行服务的的顺序。。一般可可以分为为损失制制、等待待制和混混合制等等3大类。(1)损失制这是指如如果顾客客到达排排队系统统时，所所有服务务台都被被先到的的顾客占占用，那那么他们们就自动动离开系系统永不不再来。。典型例子子如电话话服务。。(2)等待制这是指当当顾客来来到系统统时，所所有服务务台都不不空，顾顾客加入入排队行行列等待待服务。。等待制制中，服服务台在在选择顾顾客进行行服务时时常有如下下四种规规则：1)先到先服服务。按按顾客到到达的先先后顺序序对顾客客进行服服务。最通常的的情况。。2)后到先服服务。堆栈3)随机服务务。即当当服务台台空闲时时，不按按照排队队序列而而随意指指定某个个顾客接接受服务务。每一顾客客被接待待的概率率相同4)优先权服服务。分轻重缓缓急，如如加急电电报5）多个服务务台情况况：可派派成几队队，或一一队。(3)混合制这是等待待制与损损失制相相结合的的一种服服务规则则，一般般是指允允许排队队，但又又不允许许队列无无限长下下去。具具体说来来，大致致有三种种：1)队长有限限。当排排队等待待服务的的顾客人人数超过过规定数数量时，，后来的的顾客就就自动离离去，另另求服务务，即系系统的等等待空间间是有限限的。2)等待时间间有限。。即顾客客在系统统中的等等待时间间不超过过某一给给定的长长度T，当等待时时间超过过T时，顾客客将自动动离去，，并不再再回来。。3)逗留时间间(等待时间间与服务务时间之之和)有限。3．服务机机理服务机理理是随机机服务系系统的第第三个要要素，包包括：服服务者的的个数、、单个服服务还是是成批服服务、以以及服务务的时间间分布(1)服务台数数量及构构成形式式。从数量上上说，服服务台有有单服务务台和多多服务台台之分。。从构成形形式上看看，服务务台有：：①单队—－单服务务台式；；②单队-－多服务务台并联联式；③多队—－多服务务台并联联式；④单队—－多服务务台串联联式；⑤单队—－多服务务台并串串联混合合式，以以及多队队多服务务台并串串联混合合式等等等。(2)服务方式式。这是指在在某一时时刻接受受服务的的顾客数数，它有有单个服服务和成成批服务务两种。。(3)服务时间间的分布布。服务时间间分为确确定型和和随机型型。在多数情情况下，，对每一一个顾客客的服务务时间是是一随机机变量。。1定定长长分布：：每一个个顾客服服务时间间都是常常数。类类似于输输入过程程的定长长分布情情况。2负负指指数分布布：各顾顾客的服服务时间间相互独独立，具具有相同同分布。。同样类似似于泊松松输入的的分析，，平均服服务时间间为1//μ。3爱尔尔朗分布布：平均服务务时间为为1/μ。当k=1时就转化化为负指指数分布布，k→∞时就得到到长度为为1/μ的定长分分布。4一般般服务分分布：服服务时间间相互独独立，分分布相同同，分布布函数可可能是任任意函数数。5多服服务台情情况。6服务务时间依依赖于队队长的情情况。第3节随机机服务系系统的一一般描述述从一般意意义上讲讲，随机机服务系系统可以以采用如如下符号号表示：：①/②/③③/④//⑤/⑥（A/B//C/K/m//Z)①代表输入入过程（（时间分分布）、、②代表服务务时间分分布、③是服务者者数目、、④是系统中中允许的的最大顾顾客数、、⑤是能够到到来的顾顾客数、、⑥是排队规规则。各符号的的具体内内涵：①——表示顾客客相继到到达间隔隔时间分分布，常常用下列列符号：：M——表示到达达的过程程为泊松松过程或或负指数数分布；；D——表示定长长输入；；EK——表示K阶爱尔朗朗分布；；G——表示一般般相互独独立的随随机分布布。②——表示服务务时间分分布，所所用符号号与表示示顾客到到达间隔隔时间分分布相同同。③——表示服务务台(员)个数：““1”表示单个个服务台台，“s”(s>1))表示多个个服务台台。④——表示系统统中顾客客容量限限额，或或称等待待空间容容量。如如系统有有K个等待位位子，则则，0<K<<∞，当K=0时，说明明系统不不允许等等待，即即为损失失制。K=∞时为等待待制系统统，此时时一般∞省略不写写。K为有限整整数时，，表示为为混合制制系统。。⑤——表示顾客客源限额额，分有有限与无无限两种种，∞表示顾客客源无限限，一般般∞也可省略略不写。。⑥——表示服务务规则，，常用下下列符号号FCFS：表示先先到先服服务的排排队规则则；LCFS：表示后后到先服服务的排排队规则则；PR：表示优优先权服服务的排排队规则则。举例：某排队问问题为M／M／S／∞／∞/FCFS，则表示顾顾客到达达间隔时时间为负负指数分分布(泊松流)；服务时时间为负负指数分分布；有有s(s>>1)个服务台台；系统统等待空空间容量量无限(等待制)；顾客源源无限；；采用先先到先服服务规则则。一般情况况下不限限制顾客客数，采采用先到到先服务务排队规规则，这这样系统统可简写写为前三三项①/②/③③（A/B/C））。M/M//s即Poisson输入、、负指数数服务时时间分布布、S个个服务台台的等待待制排队队模型。。M/M//1表示示指数输输入和指指数服务务分布、、一个服服务者。。M/G//n表示示指数输输入、一一般服务务分布、、n个服服务者。。M/G//1即Poisson输入，，一般服服务时间间分布，，单个服服务台的的等待制制排队模模型。其他模型型M/M//c/K/K顾客来源源是有限限的服务务系统..例如如：一个饭店店有X张桌桌子和Y个服服务生服服务来源源有限的的顾客..M/D//1服务时间间不变的的服务系系统.D/M//1确定性到到达模式式,及及指数分分布服务务时间.例如如：医生生赴约治治病的时时间表.M/Ek/1服务服从从Erlang分分布..例如如：用相相同平均均时间去去完成一一些程序序。随机服务务系统的的主要数数量指标标描述一个个排队系系统运行行状况的的主要数数量指标标有：1．队长和和排队长长(队列长)队长是指指系统中中的顾客客数(排队等待待的顾客客数与正正在接受受服务的的顾客数数之和)。排队长是是指系统统中正在在排队等等待服务务的顾客客数。队队长和排排队长一一般都是是随机变变量。这是双方方都关心心的，也也是系统统设计者者关心的的。2．等待时时间和逗逗留时间间从顾客到到达时刻刻起到他他开始接接受服务务止这段段时间称称为等待待时间。。等待时时间是个个随机变变量。从顾客到到达时刻刻起到他他接受服服务完成成止这段段时间称称为逗留留时间，，也是随随机变量量。这是顾客客最关心心的，希希望越短短越好。。3.忙期和闲闲期忙期是指指从顾客客到达空空闲着的的服务机机构起，，到服务务机构再再次成为为空闲止止的这段段时间，，即服务务机构连连续忙的的时间。。这是个个随机变变量，是是服务员员最为关关心的指指标，因因为它关关系到服服务员的的服务强强度。与忙期相相对的是是闲期,即服务机机构连续续保持空空闲的时时间。在在排队系系统中，，忙期和和闲期总总是交替替出现的的。这些量都都是随机机变量，，常常要要求取它它们的分分布及平平均值。。4．数量指指标的常常用记号号(1)主要数量量指标L——平均队长长，即稳稳态系统统任一时时刻的所所有顾客客数的的期期望值；；Lq——平均等待待队长，，即稳态态系统任任一时刻刻等待服服务的顾顾客数的的期望值值；W——平均逗留留时间，，即(在任意时时刻)进入稳态态系统的的顾客逗逗留时间间的期望望值；Wq——平均等待待时间，，即(在任意时时刻)进入稳态态系统的的顾客等等待时间间的期望望值。(2)其他常用用数量指指标s——系统中并并联服务务台的数数目；λ——平均到达达率；1／λ——平均到达达间隔；；μ——平均服务务率；1/μ——平均服务务时间；；N――稳态系统统任一时时刻的状状态（即即系统中中所有顾顾客数））；U――任一顾客客在稳态态系统中中的逗留留时间；；Q――任一顾客客在稳态态系统中中的等待待时间；；系统状态态=排队系统统顾客的的数量。。N(t))==在时间t排队系统统中顾客客的数量量。队列长度度=等待服务务的顾客客的数量量。Pn(t)==在时间t,排队系统统中恰好好有n个顾客的概概率。s==服务台的的数目。。

ρ——服务强度度，即每每个服务务台单位位时间内内的平均均服务时时间，—般有ρ=λ／(sμ)。这是衡衡量排队队系统繁繁忙程度度的重要要尺度。。当ρ趋近于0时，表明明对期望望服务的的数量来来说，服服务能力力相对地地说是很很大的，，这时，，等待时时间一定定很短，，服务台台有大量量的空闲闲时间。。如服务强强度ρ趋近于1，那么服服务台空空闲时间间较少而而顾客等等待时间间较多。。一般都假假定平均均服务率率μ大于平均均到达率率λ，即λ/μ<<1,否则排队队的人数数会越来来越多。。排队系统统运行情情况的分分析排队系统统运行情情况的分分析，就就是在给给定输入入与服务务条件下下，通过过求解系系统状态态为n(有n个顾客)的概率Pn，再进行计计算其主主要的运运行指标标：①系统中中顾客数数(队长)的期望值值L；②排队等待待的顾客客数(排队长)的期望值值Lq；③顾客在系系统中全全部时间间(逗留时间间)的期望值值W；④顾客排队队等待时时间的期期望值Wq。第4节分分析随随机服务务系统的的数学工工具———随机过过程理论论一般的随随机过程程在数学学上采用用随机过过程理论论进行研研究；这这里讨论论的随机机服务系系统通常常表现为为有限记记忆的随随机过程程，可以以采用随随机过程程理论中中的马尔尔科夫过过程进行行分析。。随机过程程假设一个个系统的的状态变变量是一一个随机机变量。。该随机机变量随随时间演演化的过过程是一一个随机机过程。。对称随机变变量族｛｛X(t))}为随机过过程若T是连续区区间，为为连续过过程；若T是离散区区间，则则为离散散过程。。在离散情情况下，，随机过过程表现现为一个个随机序序列：｛x(t1),x(t2),x(t3),……}随机过程程考虑离散散随机过过程｛x(t1),x(t2),x(t3),……}一个重要要研究课课题是在在一系列列相邻时时间点之之间状态态的变化化过程和和规律。。x(t1)x(t2)x((t3))x((t4))…需要用多多个时间间联合分分布函数数加以描描述f(x1,t1;x2,t2;x3,t3…)独立随机机过程：：当后一一个时间间点发生生的随机机事件与与之前的的所有时时间点的的事件都都无关的的情况下下，这个个随机过过程为独独立事件件随机过过程，或或“白噪噪声过程程”（WhiteNoiseProcess）。在这种情情况下，，n时间联合合分布可可以分解解为单时时间分布布函数的的乘积。。马尔科夫夫过程称可以用用双时间间联合分分布完全全表示的的随机过过程为马马尔科夫夫过程（（MarkovProcess)，即：马尔可夫夫过程是是一种有有限记忆忆随机系系统：只对最近近的历史史数据有有记忆称之为跃迁概率率随机服务务系统相相关的随随机过程程通常可可以使用用马尔科科夫过程程进行描描述。一类特殊殊的马尔尔可夫过过程。当顾客到到达时间间间隔为为负指数数分布((即输入入过程具具有Poisson特特征，N(t))服从Poisson分布))，服务务时间为为负指数数分布，，则系统统的排队队过程是是Markov过程，，而且它它具有一一类特殊殊Markov过程的的特征，，通常称称这类随随机过程程为生灭灭过程。。生灭过程程的直观观描述：：1KK-1320生灭过程程1.生灭过程程的定义义设有一个个系统，，具有有有限个状状态，其其状态集集s={0，1，2…k}或有可数数个状态态，状态态集s={0，1，2…}，令X(t)为系统在在时刻t所处的状状态，若若在某一一时刻t系统的状状态数为为n，如果对对△t>0有：(1)到达(生)：在(t，t+△t)内系统出出现一个个新的到到达的概概率为的常数；；没有发发生新的的到达的的概率为为；出现多多于一个个以上的的新的到到达概率率为0(△t)。。的常数，，没有消消失的概概率为消失多于于一个以以上的概概率为0(△t)。则称系统统状态随随时间而而变化的的过程X(t)为一个生生灭过程程。(2)消消失(灭灭)：在在(t，，t+△△t)内内，系统统消失一一个的概概率为2.生灭过程程微分差差分方程程组设表示系统统在时刻刻t的状态X(t)=n的概率即即

，状态为n的概率近近似于以以下四个个概率之之和：(1)P{系统在时时刻t时为n，而在△t内没有到到达也没没有消失}=(2)P{系统在t时为n-1而在△t内有一个个到达并并且没有有一个消失}=(3)P{系统在t时为n+1，而在△t内没有到到达而有有一个消失}=则系统在在时刻t+△t的(4)P{系统在△t内发生多多于一个个的到达达或消失失}=0((△t)应用全概概率公式式有当时时

类似地，，当S为为有限集集时，对对有有令△t→→0得当系统状状态S为为有限集集时，生生灭过程程的微分分差分方方程组为当系统状状态S为为可数集集时，生生灭过程程微分差差分方程程组为若能求解解这组方方程，则则可得到到在时刻刻t系统统状态概概率分布布称称为为生灭过过程的瞬瞬时解，，一般这这种瞬时时解是难难以求得得的。可以证明明，前述述的生灭灭过程存存在统计计平衡态态，即系系统各个个状态（（K＋1个）的概概率分布布:pi=常数（i=0,,1,……,K))即：3.统计计平衡下下的极限限解实际应用用中，关关心的是是时时方程程的解，，称为生生灭过程程微分差差分方程程组的极极限解。。令得得当S为为有限状状态集时时：当S为可可数状态态集时：：从而可以以求得概概率分布布列第5节典典型随随机服务务系统模模型和和理论结结果1、M//M/1系统分分析通过分析析排队队队长无限限、泊松松输入、、指数服服务分布布的随机机服务系系统来了了解随机机服务系系统分析析的基本本方法。。下面介绍绍满足生生灭过程程典型排排队M//M/1与M//M/S的结果果1）在时时间区段段(t,,t+Δt)内，当系系统在t时刻的状状态为i（已经有有i人在系统统中，包包括排队队的和接接受服务务的）又又有一个个新的顾顾客到来来的概率率为λiΔt；2）在时间区区段(t,t++Δt)内内，当系系统在t时刻的的状态为为i而有一个个顾客离离去的概概率为μiΔt；3)两个以上上顾客同同时到来来或者离离去的概概率为高高阶无穷穷小可忽忽略这一情况况与生灭灭过程一一致，可可以用生生灭过程程进行分分析。M／M／1模型一个基本本的排列列模型。。一个服务务台,到到达率率和服服务率都服从指指数分布布。模型的条条件是：：1、输入过过程――顾客源是是无限的的，顾客客到达完完全是随随机的，，单个到到来，到到达过程程服从普普阿松分分布，且且是平稳稳的；2、排队规规则――单队，且且队长没没有限制制，先到到先服务务；3、服务机机构――单服务台台，服务务时间的的长短是是随机的的，服从从相同的的指数分分布。。M/M//1系统统分析假定：对于所有有状态i而言，，到达率率为常数数，即i=对所有状状态i而言，服服务率为为常数，，即i=(3)<,保证队列列不会越越排越长长。单位时间间内平均均到达顾顾客数（即到到达率）），即顾顾客平均均到达时时间1/服务率：单位时时间平均均服务完完的顾客客数，每个顾顾客平均均服务时时间1/。定义为为服服务强度度。

对于M//M/1系统，，其平衡衡点的主主要指标标有：系统中有有n个顾顾客的概概率：平均队长长（系统统中平均均顾客数数）：平均排队队长度：：每个顾客客在系统统中平均均所花时时间：每个顾客客排队所所花费的的平均时时间:M/M//1举例例1某医院急急诊室同同时只能能诊治一一个病人人，诊治治时间服服从指数数分布，，每个病病人平均均需要15分钟。病病人按泊泊松分布布到达，，平均每每小时到到达3人。试对对此排队队队系统统进行分分析。解:对此排队队队系统统分析如如下：（1）先确定参参数值：：这是单单服务台台系统，，有：故服务强强度为：：（2）计算稳态态概率：：这就是急急诊室空空闲的概概率，也也是病人人不必等等待立即即就能就就诊的概概率。而病人需需要等待待的概率率则为：：这也是急急诊室繁繁忙的概概率。（3）计算系统统主要工工作指标标。急诊室内内外的病病人平均均数：急诊室外外排队等等待的病病人平均均数：病人在急急诊室内内外平均均逗留时时间：病人平均均等候时时间：（4）为使病人人平均逗逗留时间间不超过过半小时时，那么么平均服服务时间间应减少少多少？？由于代入λ=3，解得μ≥5，平均服务务时间为为：15－12＝3min即平均服服务时间间至少应应减少3min(5)若医院希希望候诊诊的病人人90%以上都能能有座位位,则候诊室室至少应应安置多多少座位位?设应该安安置χ个座位,加上急诊诊室的一一个座位位,共有χ+1个。要使使90%以上的候候诊病人人有座位位，相当当于使““来诊的的病人数数不多于于χ+1个”的概概率不少少于90%，即两边取对对数（x＋2）lgρ≤lg0..1因ρ<1，故所以ⅹ≥6即候诊室室至少应应安置6个座位。。2、M/M//S模型此模型与与M/M/1模模型不同同之处在在于有S个服务务台，各各服务台台的工作作相互独独立，服服务率相相等，如如果顾客客到达时时，S个个服务台台都忙着着，则排排成一队队等待，，先到先先服务的的单队模模型。整个系统统的平均均服务率率为sμμ，ρ*＝λ/sμ，（（ρ*<1）为为该系统统的服务务强度。。1、状态态概率2、主要要运行指指标3、系统统状态N≥S的概率率M/M//s举例例2承承接接例1，，假设医医院增强强急