(新高考)高考数学一轮复习题型归纳学案专题07三角函数7.1《任意角的三角函数》（解析版）

专题七《三角函数》学案7.1任意角的三角函数知识梳理.任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(l表示弧长)角度与弧度的换算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧长公式l＝|α|r扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．4.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tan_α(α≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z)．5．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tanαtan_α－tan_α－tan_α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限题型一.同角之间的关系1．已知角α的终边经过点P（1，m），且sinα=−31010A．±1010 B．−1010 C．10【解答】解：因为角a的终边经过点P（1，m），所以OP=因为sinα=−31010所以m＝﹣3．（正值舍）故cosα=1故选：C．2．已知a是第二象限角，tanα=−13，则cosA．31010 B．−31010 【解答】解：∵α为第二象限角，tanα=−1∴cosα=−1故选：B．3．已知α∈(0，π2)，A．33 B．63 C．22【解答】解：∵α∈(0，π2∴sinαcosα=2cosα，即cos2又∵sin2α+cos2α＝1，∴sin2α+sinα2=1，即2sin2α+sin解得sinα=2故选：C．4．已知sinθ+cosθ=43（0＜θ＜π4），则sinθ﹣cosθ的值为【解答】解：∵sinθ+cosθ=43＞0，0＜∴（sinθ+cosθ）2＝sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＝1+2sinθcosθ=169，sinθ﹣cos∴2sinθcosθ=7∴（sinθ﹣cosθ）2＝sin2θ+cos2θ﹣2sinθcosθ＝1﹣2sinθcosθ=2则sinθ﹣cosθ=−2故答案为：−2题型二.齐次式1．已知tanα＝2，则2sinA．9 B．6 C．﹣2 D．﹣3【解答】解：因为tanα＝2，则2sin故选：A．2．已知tanα=−12，则A．−54 B．−58 C．【解答】解：1sin2α−co故选：B．3．已知tanα＝﹣1，则2sin2α﹣3cos2α＝（）A．−74 B．−12 C．【解答】解：因为tanα＝﹣1，则2sin2α﹣3cos2α=2si故选：B．4．已知2cos2α﹣3sin2α＝1，α∈（−3π2，﹣π），那么tanA．2 B．﹣2 C．12 D．【解答】解：因为2cos2α﹣3sin2α＝2（1﹣sin2α）﹣3sin2α＝1，可得sin2α=15，cos2α因为α∈（−3π2，﹣所以sinα=55，cosα=−25故选：D．题型三.asinx±bcosx1．已知cosα﹣3sinα＝0，则2cosα−sinαcosα+sinαA．−54 B．−45 C．【解答】解：因为cosα﹣3sinα＝0，所以cosα＝3sinα，则2cosα−sinαcosα+sinα故选：C．2．已知sinα+cosα=43，则sinα•cosA．−79 B．−718 C．【解答】解：已知sinα+cosα=4两边平方可得：sin2α+cos2α+2sinαcosα=169，整理得：1+2sinα•cosα解得：sinα•cosα=7故选：C．3．已知sinx+cosx=32，则A．﹣6 B．﹣7 C．﹣8 D．﹣9【解答】解：由sinx+cosx=32得到：得sinxcosx=−1所以tanx+1故选：C．4．若α∈（π2，π），2sinα+cosα=35A．﹣2 B．2 C．211 D．【解答】解：由2sinα+cosα=3两边平方，可得：（2sinα+cosα）2=95，即4sin2α+4sinαcosα+cos2α∴4sin∴4tan2α+4tanα+1tan2α+1解得：tanα＝﹣2或tanα=2∵α∈（π2，π∴tanα＝﹣2．故选：A．题型四.诱导公式1．已知sin（π+α）=35，则A．−45 B．45 C．−【解答】解：∵sin（π+α）=35=−sinα，∴sin∴sin(2π−α)cos(π−α)sin(π2−α)故选：C．2．已知sin（π2−α）=35，则cos（A．−35 B．35 C．4【解答】解：∵sin(π∴cosα=3∴cos（π+α）＝﹣cosα=−3故选：A．3．sin(π4+α)=32，则【解答】解：∵π4+α+3π4∴3π4−α＝π﹣（π即sin（3π4−α）＝sin[π﹣（π4+α）]＝sin（π故答案为：324．已知cos(π6−θ)=a(|a|≤1)，则【解答】解：∵（5π6+θ）+（2π3−∴2π3−θ=3π2∴cos（5π6+θ）+sin（2π＝cos（5π6+θ）+sin[3π2−＝cos（5π6+θ）﹣cos（5π＝0．故答案为：0．课后作业.任意角的三角函数1．已知角θ的终边上有一点P（﹣4a，3a）（a≠0），则2sinθ+cosθ的值是（）A．25 B．−25 C．25【解答】解：角α的终边经过点P（﹣4a，3a），故|OP|=(−4a)2+(3a)由三角函数的定义知当a＞0时，sinα=35，cosα=−45，得2sinα当a＜0时，sinα=−35，cosα=45，得2sinα故选：C．2．已知tanA＝2，则sin2A+cosA．32 B．52 C．38【解答】解：因为tanA＝2，所以sin2A+cos故选：D．3．已知A是三角形的内角，且sinA+cosA=52，则tanA等于4±【解答】解：A是三角形的内角，sinA+cosA=52，又因为sin2A+cos2所以2sinAcosA=14，所以tanAta所以tan2A﹣8tanA+1＝0，所以tanA＝4±15故答案为：4±154．已知2sinθ﹣cosθ＝1，则sinθ+cosθ+1sinθ−cosθ+1A．45 B．0 C．2 【解答】解：由题意可得2sinθ﹣1＝cosθ，两边同时平方可得，4sin2θ﹣4sinθ+1＝cos2θ＝1﹣sin2θ，则5sin2θ﹣4sinθ＝0，∴sinθ＝0，cosθ＝﹣1或sinθ=45，cos当sinθ＝0，cosθ＝﹣1时，则sinθ+cosθ+1sinθ−cosθ+1或sinθ=45，cosθ=3故选：D．5．已知：cos(π6−α)=33，则si【解答】解：∵sin∴sin2(α−π6故答案为2+36．已知f(