《矩形的性质与判定》

矩形的判定和性质（一）学习目标：1、掌握矩形的定义和性质；2、学会判定矩形；3、平行四边形和矩形的区别和联系；新知学习复习；菱形的性质和判定性质：判定：矩形的定义如图，如果一个平行四边形有一个角是直角，那么这个平行四边形会有怎样的变化？定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。二、矩形的性质。矩形具有平行四边形的所有性质。请结合着平行四边形的性质请你探索矩形的性质，你可以写出几条，会证明吗？边的性质：对边平行且相等．角的性质：四个角都是直角．矩形的性质：③对角线性质：对角线互相平分且相等．④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线。练习：(1)下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（）

A、对边相等B、对角相等C、对角线相等D、对边平行(2)矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝___________cm，BC＝___________cm．(3)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝___________．(4)矩形的对角线长为两条邻边之比是2∶3，则矩形的周长是___________．(5)如图，E为矩形纸片ABCD的BC边上一点，将纸片沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F点处．若△AFD的周长为9，△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为___________．(6)矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线是13cm，那么矩形的周长是____________．(7)如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，且∠AED=90°．当AD=10cm时，AB等于()(8)如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点R分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMRP的面积S1，与矩形QCNR的面积S2的大小关系是()A.S1>S2B.S1=S2C.S1<S2D.不能确定例题精讲【例1】、1、如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F．

（1）线段BE与CF相等吗？请说明理由；

（2）当AB=2，∠AOB=60°时，求BE的值．2.已知：如图，矩形ABCD，AB长8cm，对角线比AD边长4cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．3.如图，点E是矩形ABCD中BC边上一点，AE=AD，过点D作DF⊥AE于F，连接DE，求证：DF=DC.4如图，四边形ABCD为矩形，F为BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于点G，DE⊥AG，垂足为E，DE＝DC．求证：AF=BCAABCDGFE课后练习课后练习1、已知矩形的一条对角线长是8cm，两条对角线的一个交角为60°，则矩形的周长为______2、矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________.3、形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.4、一个矩形周长是12cm，对角线长是5cm，那么它的面积为_______________5、在△ABC中，AM是中线,BAC=，AB=6cm，AC=8cm，那么AM的长为____________.6、如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件______，使四边形ABCD为矩形。第6题第7题第9题7、（2022江西）如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM，CN，MN，若AB=4，BC=，则图中阴影部分的面积为___________。8、如图所示，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为若，则（）A、B、C、D、9、（黑龙江）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是___________。10、菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A、对角线互相垂直B、对角线相等C、对角线互相平分D、对角互补第11题第12题11、如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为___________。12、图所示，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠BAE=30°，BE=1cm，那么DE的长为_____矩形的判定和性质（二）【旧知复习】1、平行四边形与菱形的判定平行四边形的判定｛菱形的判定｛2、矩形的性质矩形具有平行四边形的所有性质。①边的性质：对边平行且相等．②角的性质：四个角都是直角．矩形的性质：③对角线性质：对角线互相平分且相等．④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半【新知学习】矩形的判定1.定义：叫做矩形。即：□ABCD＋____________=矩形ABCD2.猜想1有三个角是直角的四边形是矩形．已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求证:四边形ABCD是矩形.3.猜想2：对角线相等的平行四边形是矩形已知：四边形ABCD是平行四边形,AC=BD求证：四边形ABCD是矩形4.猜想3：对角线互相平分且相等的四边形是矩形。已知：四边形ABCD是平行四边形,AC=BD，OA=OC,OB=OD求证：四边形ABCD是矩形总结：矩形的判定定理：矩形的判定方法分两类：从四边形来判定和从平行四边形来判定．常用的判定方法有三种：定义和三个判定定理．遇到具体题目，可根据条件灵活选用恰当的方法．判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．判定④：对角线相等且平分的四边形是矩形．四边形四边形平行四边形矩形有（）个角为直角①有（）个角为直角②两条对角线（）①两组对边分别（）③一组对边（）②两组对边分别（）⑤两条对角线（）④两组对角分别（）【例题精讲】【例1】如图，在四边形中，，，求证：四边形是矩形．证明：∵，∴∥在和中∴≌()∵，∴四边形是平行四边形∵，∴四边形是矩形【例2】如图，已知在四边形中，交于，、、、分别是四边的中点，求证四边形是矩形．【例3】已知，如图，在中，，是边上的高，是的外角平分线，∥交于，试说明四边形是矩形．FEDPCBA【例4】已知：如图，△ABC中，AB=AC，P是底边BC上的任一点（不与B、C重合），CD⊥AB于D，PEFEDPCBA当堂检测：1、练习：下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（）（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（）（3）四个角都相等的四边形是矩形；（）（4）对角线相等的四边形是矩形；（）(5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（）（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（）（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．()2、平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）A．AB=BC B．AC=BDC．AC⊥BD D．AB⊥BD3、已知为矩形的对角线，则图中与一定不相等的是（）4、在矩形ABCD中，A（4，1），B（0，1），C（0，3），则点D的坐标为