万有引力与航天-杭州第十四中学

第七章 万有引力与航天第一节 行星的运动一、课后回顾1、地心说认为地球是

，是

，太阳、月亮以及其他行星都绕

运动，经过人们长期观察证明地心说是错误的。日心说认为太阳是

，地球和其他行星都绕

运动，实际上太阳也并非宇宙中心，并非静止不动。2、无论地心说还是日心说，古人都把天体的运动认为是最完美、最和谐的 。3、开普勒第一定律： 所有行星绕太阳运动的轨道都是

，太阳处在

。4、对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内

。5、第二定律告诉我们，当它离太阳较近时，运行的速率比较

，而离太阳较远时速率比较

。6、开普勒第三定律：所有行星的轨道的

的

次方跟它的公转的

次方的比值都相等，其表达式为

。二、研究方法通过开普勒对行星运动规律的得出过程，体会在客观事物的基础上通过分析、推理得出科学假设，再经过实验的验证正确认识事物本质的科学思维方法。三、典型例题【例1】已知地球绕太阳做椭圆运动，在地球远离太阳运动的过程中，其速度越来越小，请判断地球的向心力如何变化，若此向心力突然消失，则地球的运动情况如何？解析：由于地球在远离太阳运动的过程中，速率减小，根据牛顿第二定律有：F2向=mv/R，R增大，则 F向逐渐减小。若在地球运动过程中向心力突然消失，则地球应沿曲线的切线方向做离心运动。【例2】同步卫星是指相对于地面不动的人造地球卫星，设月球绕地球运转的周期为27天，则地球同步卫星和月球绕地球运动的轨道半径之比为（B）1111A、3B、9C、27D、81解析：同步卫星绕地球运转的周期为 1天，它与月球绕地球运动的轨道半径和周期之间满足开普勒第三定律：R132，T1=1天，T2=27天，R1=R2=(T12=(12=1。()=（T1/T2）T2)3)39R227【例3】如图7-1-1所示，A卫星绕地心做椭圆运动，轨道的近地点离地面很近，远地点离地心3R，R为地球半径，B卫星绕地心做圆周运动，两轨道相切，求两卫星周期之比 TA。TB解析：轨道A的长轴长3R+R=4R，半长轴2R，B卫星轨道半径为3R，则(TA)2=（2R）3，∴TA=(2)23=22TB3RTB333

2=96。图7-1-1【例4】彗星以太阳S为焦点做椭圆运动，近日点离太阳L1，远日点离太阳L2，求经过近日点的速率V1与经过远日点的速率V2之比V1。V2解析：取经过近日点及远日点的很短时间间隔t1和t2，做出与太阳的连线扫过的阴影面积，如图7-1-2所示，设转过的角度分别是11`2，1及2均很小，则左边的面积为2L1L11，右边的面积为1L2L22，2故L1L11L2L22图7-1-22t12t2L1·S1L2·S2式中S1及S2分别是两段扫过的弧长。t1=t2V1L2L1V1=L2V2V2=L1学能提升：1、揭示行星运动规律的科学家是（ D ）A、第谷 B、哥白尼 C、牛顿 D、开普勒2、下列说法中正确的是（ CD）、地球是宇宙的中心，太阳、月亮和其他行星都绕地球运动B、太阳是静止不动的，地球和其他行星绕太阳运动C、地球是绕太阳运动的一颗行星D、日心说、地球说都是错误的3、关于开普勒行星运动的公式a3=k，理解正确的是（AD）2TA、k是一个与行星无关的常量B、a代表行星运动的轨道半径C、T代表行星运动的自转周期D、T代表行星绕太阳运动的公转周期4、木星绕太阳运动的轨道是椭圆，那么木星在椭圆轨道上运行的速度的大小是（ B）A、恒定不变的 B、近日点大、远日点小C、近日点小、远日点大 D、无法判定5、某一人造卫星绕地球做匀速圆周运动， 其轨道半径为月球轨道半径的 1/3，则此卫星运行的周期大约是（d为“天”）（B）A、1d-4d之间B、4d-8d之间C、8d-16d之间D、16d-20d之间6、两颗人造地球卫星A、B绕地球做圆周运动，周期之比为TA：BB=1:8，则轨道半径之比为（B）RARA1RARA1A、RB=4B、RB=4C、RB=2D、RB=27、关于行星的运动，以下说法中正确的是：（B）、行星轨道的半长轴越长，自转周期就越大B、行星轨道的半长轴越长，公转周期就越大C、水星的半长轴最短，公转周期最大D、海王星离太阳“最远” ，绕太阳运动的公转周期最大8、飞船沿半径为 R的圆周绕地球运动， 如图7-1-3所示，其周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道上某一点 A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆和地球表面相切于B点，设地球半径为 RO，问飞船从 A点返回到地面上 B点所图7-1-3需时间为多少？提示：飞船从 A返回到B的时间与椭圆轨道的周期有关，而一涉及到周期就想到要用开普勒第三定律。答案：1(1R0)32T22R研究拓展：恒星静止不动吗？我们知道，在太阳周围有 8大行星绕其公转，太阳连同它的 8大行星和许许多多的小行星、彗星组成了一个比地球月球系统更高层次的天体系统——太阳系，其中太阳为恒星。像太阳这样，由炽热气体组成，发热、发光，近似球体的天体叫恒星，绕恒星运动的星体叫行星，而绕行星转动的星体叫卫星。古人认为恒星是静止不动的，所以称其为“恒星” 。其实恒星也是运动的，只是由于距离地球太远，不借助特殊的天文仪器是很难发现它们在天空中位置的变化， 所有的恒星都在宇宙空间中高速运动着。例如，太阳也在以 2.46×108年的周期绕银河系的中心运动。请思考：开普勒在行星运动规律的研究上的主要贡献是什么？解析：1、怀疑精神。、长久的努力和一丝不苟的治学精神。、总结出了规律。第二节 太阳与行星间的引力一、课后回顾1、太阳对不同行星的引力，与行星的 成正比，与 成反比。2、根据牛顿第三定律，行星对太阳引力大小应该与 成正比，与行星和太阳距离的二次方成

比，即

。3、太阳与行星间引力的大小与

、

成正比，与

成反比，写成等式就是

，太阳与行星间引力的方向

。二、研究方法m1、太阳对行星的引力F∝r2是利用引力为行星运动的向心力以及开普勒第三定律推导出来的，虽然是用行星的圆轨道推导出来的结论，但对椭圆轨道同样适用，牛顿就是用椭圆轨道推理的。2、行星对太阳的引力F′∝MF与F′平等地位推导证明的结r2是利用牛顿第三定律及论，这一思想很重要，也很有意义。3、太阳与行星间的力F∝MmmM概括出来的规律。2是由F∝2和F′∝2rrr三、典型例题【例1】关于太阳对行星的引力，下列说法中正确的是：

（

）A、太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力，因此有

F引

mv2

,由此可r知，太阳对行星的引力

F引与太阳到行星的距离

r成反比。B、太阳对行星的引力提供行星绕太阳运动的向心力，因此有

F引

mv2

，由此可知，r太阳对行星的引力 F引与行星运行速度的平方成正比。C、太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离的二次方成反比。D、以上说法均不对解析：由向心力表达F=mv2/r和v与T的关系式v=2лr/T得F=4л2mr/T2①根据开普勒第三定律r3/T2=k变形得T2＝r3/k②联立①②有F=4л2k·m/r2故太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比。[答案] C【例2】关于太阳与行星间的引力，下列说法中正确的是 （ ）、太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是一对平衡力B、太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是作用力与反作用力的关系C、太阳与行星间的引力大小与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者的距离的平方成反比D、以上说法均不对解析：一对平衡力是作用在同一物体上的，故 A错，太阳与行星的作用力是一对相互作用力，故B对。C是太阳对行星的引力规律是正确的。[答案] BC【例3】设地球E（质量为 M）是沿圆轨道绕太阳 S运动的，当地球运动到位置艘宇宙飞船（质量为 m）在太阳和地球连线上的 A处，从静止出发，在恒定的推进力 F的作用下，沿 AP方向做匀加速运动，如图 7-2-1所示，两年后在 P处（飞船之间的引力不计） ，根据以上条件，求地

P时，有一图7-2-1球与太阳之间的引力。解析：设半年时间为t，地球绕太阳运行的半径为R，则飞船由A到P点的时间为4t，到Q点的时间为5t，P、Q两点的距离为2R,据牛顿第二定律和运动学公式，得1F2－1F29Ft2①2R=(5t)(4t)=2m2m2m地球绕太阳运行的周期为一年，即T=2t，其向心力由地球与太阳间的引力来提供，所以：4л24л2MRл2MR②F引＝F向=MR2=2=2T(2t)t9 2mF将①代入②得 F引4m9 2mF答案：。F引4m学能提升：1、地球的质量是月球的质量的 81倍，若地球吸引月球的力的大小为 F，则月球吸引地球的力的大小为（B）。1A、81FB、FC、9FD、81F2、两个质量均匀的球体，相距r,它们之间的万有引力为-810N,若它们的质量、距离都增加为原来的2倍，则它们间的万有引力为：（B）A、4×10-8NB、10-8NC、2×10-8ND、8×10-8N3、下列说法中正确的是： （CD ）、太阳对地球有引力，太阳对其他行星也有引力，它们大小相等B、若没有其他行星的存在，太阳对地球的引力要大些C、太阳对地球有引力，其他行星对地球也有引力D、若太阳对地球的引力增大，地球将向心运动Mm4、太阳与行星间的引力大小为F=Gr2，其中G为比例系数，由此关系式可知G的单位是（A）A、N·m2/kg2B、N·kg2/m2C、m3/kg·s2D、kg·m/s25、某行星的质量是地球质量的10倍，公转的轨道半径是地球的轨道半径的3倍，则太阳对该行星的引力是太阳对地球引力的几倍：（D）1010A、10倍B、3倍C、3倍D、9倍6、两个行星的质量分别是m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2,如果它们只受到太阳引力的作用，那么，这两个行星的向心加速度之比为r22:r12，已知地球的质量为5.89×1024kg，太阳的质量为2.0×1030kg，地球绕太阳公转的轨道半径是1.5×1011m，则太阳对地球的吸引力为22-323.49×10N，地球绕太阳运转的向心加速度为6×10m/s.（已知G=6.67×10-11N·m2/kg2）.7、把太阳系各行星的运行近似看作匀速圆周运动，则离太阳越远的行星：（BCD）A、周期越小B、线速度越小C、角速度越小D、加速度越小8、万有引力定律的发现是十七世纪最伟大的物理成就之一，牛顿通过下述两个步骤完成了万有引力定律的数学推导，①在前人研究的基础上，牛顿证明了“行星和太阳之间的引力跟行星的质量成正比，跟行星到太阳之间的距离的二次方成反比”；②根据牛顿第三定律，牛顿提出：既然这个引力与行星的质量成正比，当然也应该和太阳的质量成正比，在此基础上，牛顿第一步完成了万有引力定律的推导。请你根据上述推导思路，完成太阳与行星间引力大小数学表达式的推导；研究拓展：据美联社2002年10月7日报道，天文学家在太阳系的几大行星之外， 又发现了一颗比地球小得多的新行星， 而且还测得它绕太阳公转的周期约为 288年。若把它和地球绕太阳公转的轨道都看作圆，问行星与太阳的距离约是地球与太阳距离的多少倍。 （最后结果可用根式表示）[答案]

32882

r

地第三节 万有引力定律一、课后回顾1、牛顿从苹果落地联想到月球，把（填“地上”或“天上”）（苹果受力）与（月球受力）联系在一起，进一步把引力推广到，从而发现万有引力定律。2、自然界中两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成，与它们之间的距离r的二次方成，即，式中G=。3、万有引力定律适用于间的相互作用，若两物体间的距离远远大于物体本身的线度，两物体可视为，两个均匀球体间，其距离是两间的距离。4、万有引力常量-1122，这一常量在牛顿发现万有引力定律的一百多G=6.67×10N·m/kg年后由英国物理学家 利用扭秤实验第一次比较准确测出。5、月—地检验说明了 。二、研究方法：牛顿由理想实验结合有关数据进行计算、 检验牛顿根据月球的周期和轨道半径， 计算了月球围绕地球做圆周运动的向心加速度为：4л2r-32a=T2=2.74×10m/s.一个物体在地球表面的重力加速度g=9.8m/s2，若把这个物体移到月球轨道的高度，其1加速度也应是月球的向心加速度之值，根据开普勒行星运动定律可以导出a∝r2（因为rr31a,而2=k，所以a∝2）.T2Tr因为月心到地心的距离为地球半径的60倍，即：1-32a=602g=2.72×10m/s。两个结果十分接近，这个重要的发现为牛顿发现万有引力定律提供了有力的论据，即地球对地面物体的引力与天体间的引力，本质上是同一种力，遵循同一规律。三、典型例题：【例1】两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起时，它们之间的万有引力为

F，若两个半径是小球半径2倍的实心小铁球靠一起，则它们之间的万有引力为：（）A、2FB、4FC、8FD、16F解析：两个紧靠在一起的均匀球体间的万有引力的引力距离是两个球心间的距离，这是对称性的应用，若不是均匀的球体，两个靠在一起的物体间的万有引力就不能应用万有引力定律公式。设小球的半径为R，质量为m，大球的半径为R′，质量为m′,由题意知m′mR′3= 3 =8,由万有引力定律公式可知：RF′2m′·（2R）2=82·（1）2=16。F=2m2R′2[答案]D【例2】设地球表面的重力加速度为go，物体在距地心4R0（R0是地球半径）处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则g为（D）。g0111A、1B、9C、4D、16解析：质量为m的物体的重力等于地球对它的万有引力，即：MmMmg0=GR02∴g0=GR02①同理：物体在距地心4R0处mg=GMmg=GM②比较①②式得：(4R0)2(4R0)2gR02=1=(4R0)16g0[答案]D【例3】已知地球的半径为R，质量为m地，月球球心到地球球心的距离r月地=60R，r月地=3.8×108m，月球绕地球运行周期T=27.3天，地球表面物体的重力加速度g0=9.8m/s2.试证明地球对月球的引力和地球对其附近物体的引力是同一性质的力，都是万有引力。解析：月球绕地球做半径为 r月地的匀速圆周运动，如果提供月球做匀速圆周运动的向心力与地球对物体的引力是同性质的万有引力， 则由牛顿第二定律可得月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月为：Gm地·m月Gm地=Gm地Gm地a月=2=2（60R）2=2。r月地·m月r月地3600RGm地·mGm地地球上物体的重力加速度g为：g=R2·m=R2。那么：a月1g=3600.由月球绕地球做匀速圆周运动所需的向心加速度公式可知：22л）282×3.1422×10-32。a′月=r月地·ω=r月地·（T=3.8×10×(3600)m/s=2.69644m/s27.3×24×已知地球表面物体的重力加速度02则：g=9.8m/s,a′月-31a月a′月2.69644×10g0＝9.8＝3634，即g≈g0由此可知，由月球以及地球附近的物体绕地球做匀速圆周运动所需的向心加速度之比，跟由同性质的万有引力对它们提供向心力所获得的向心加速度之比近似相等， 所以，地球对月球的引力跟地球对其附近的物体的引力是同一性质的力，而且都是万有引力。变式1：设想把一物体放在某行星的中心位置，则此物体与该行星的万有引力是：（A、零B、无穷大C、无穷小D、无法确定

）提示：由于物体放在该行星的中心位置，我们可以设想，该行星分割成无穷多个质点，每个质点与该物体之间的引力，都可以找到其对称点，故合力为零。[答案]

A变式

2：如图

7-3-1所示，在与一质量为

M，半径为

R，密度均匀的球体距离为

R处有一质量为

m的质点，此时

M对

m的万有引力为

F1，当从球

M中挖去一个半径为

R/2

的小球体时，剩下部分对

m的万有引力为

F2，则

F1与

F2的比是多少？提示：这是一个不规则物体对质点的万有引力，但由于挖去部分为一匀质实心球， 所以可先计算挖去部分对质点的万有引力，用F1减去挖去部分的万有引力即可得 F2.

然后根据力的叠加原理F1

25[答案]F2

=23【例4】月球质量是地球质量的1/81，月球半径是地球半径的1/3.8，如果分别在地球上和月球上都用同一初速度竖直向上抛出一个物体（阻力不计），求：（1）两者上升高度的比；（2）两者从抛出到落地时间的比；解析：设质量为m的物体在月球上的重力加速度为g′,则有：GM月mGM月mg′=2,g′=2①R月R月物体在地球上的重力加速度为g，则有mg=GM地mGM地②R2,g′=R2地地M月R2地1×3.82①÷②得g′=·g=2×9.8m/s2=1.75m/s2。281×1M地R月设在地球上上抛的高度为h，在月球上上抛的高度为h′,根据运动学公式可得：2 '2h=v0 , h=v02g 2g

hg′1.75h′=g=9.8=0.178.设在地球上抛出到落地需要的时间为t，在月球上所需的时间为t′,根据运动学公式可得。t=2v0,t'=2v0t=g=0.178gg'tg【例5】卡文迪许扭秤是用来测定引力常量的重要仪器，为了观察悬挂着的石英丝发生的微小扭转形变，卡文迪许采用了光放大的原理，图 7-3-2 中悬挂在石英丝下端的T形架的竖直杆上装有一块小平面镜M，M可将由光源S射来的光线反射到弧形的刻度尺上（圆弧的圆心在M处），已知刻度尺距M2m，若反射光斑在尺上移动2cm，则平面镜M转过的角度约为：（）图7-3-2A、0.005radB、0.01radC、0.02rdaD、0.05rad解析：如图7-3-3所示，反射光线转过的角度为ABAB2×10-2-2rad（因为θ角较小故AB=AB）θ=OA=OA=2=10根据反射光线转过θ角平面镜转过角可知，2平面镜转过的角度为=5×10-3rad，故选A。2[答案]A图7-3-3变式4：某宇航员来到某天体，他想估测天体的质量，他使用一个弹射器和一个电子计时器，若弹射器的出口速度为v，竖直向上弹出后再回落到弹射点的时间为t，天体的半径为R，那么天体的质量是多大？（答案为：2vR2）Gt学能提升：1、对于万有引力定律的表达式F=Gm1m2的理解，下面说法中正确的是：（B）r2A、当r趋近于零时，m1和m2之间的引力趋近于无穷大B、m和m之间的引力大小总是相等，与mm是否相等无关1212C、m1和m2之间的引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力D、m1和m2之间的引力将随它们之间的距离减小而增大，直至无穷大2、已知地球半径为 R，将一物体从地面移到离地面离 h处时，物体受万有引力减少到原来的一半，则h为（D）A、RB、2RC、2RD、（2-1）R3、地球绕太阳公转周期为T1，公转半长轴为R1，月球（月球是地球的卫星）绕地球运转周33期为T2，运转半径为R2，若月球有一卫星的运转周期为T3，公转半径为R3，令R1=k,R2T2T2112=k2,R33>k2>k3。2=k3，试比较k1T34、以下说法中正确的是： （BD）A、质量为 m的物体放在地球上任何地方其重力均相等B、把质量为 m的物体从地面移到高空上，其重力变小了C、同一物体在赤道处的重力比在两极处重力大D、同一物体在任何地方其质量是相同的5、一个半径比地球大两倍， 质量是地球质量 36倍的行星，同一物体在它表面的重力是在地球表面的重力的 4 倍。6、地球质量约为月球质量的 81倍，在登月飞船通过月地之间引力 F地船=F月船的位置时，飞船离月亮中心和地球中心的距离比为： （B ）A、1：27 B 、1：9 C 、1：3 D 、3：17、设想人类开发月球，不断地把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比： （BD ）A、月球与月球间的万有引力将变大 B 、地球与月球间的万有引力将变小C、月球绕地球运动的周期将变长 D 、月球绕地球运动的周期将变短8、一个质子由两个u夸克，一个d夸克组成，一个夸克的质量为7.1×10-30kg，求两个夸克相距1.0×10-18m时的万有引力。（F=3.4×10-37N）9、地球半径为 R，密度为ρ，地球表面重力加速度为 g，试由以上三个量表示万有引力常量G.(G=3g/4πRρ)10、扭秤的关键是在石英丝上装一个平面镜，显示石英丝极微小的扭转角，从而测出极微小的万有引力。假设大球质量为m′=10kg，小球质量m=1kg，测得r=0.1m，已知石英丝扭转角与受力大小关系式为F=kθ,其中k的数值大小为2×10-5牛/度，测得θ=3×10-3度，试求万有引力常量G的大小？Fr2-1122）（答案：G==6×10N·m/kgMm11、宇航员站在一星球表面上某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L，若抛出时的初速度增大到原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力恒量为G，求该星球的质量M。23LR（答案：M=3Gt2）研究拓展：卡文迪许及万有引力常量卡文迪许（

HenryCavendish）英国物理学家和化学家，

1731年

10月

10日生于法国尼斯，1749年考入剑桥大学， 1753年尚未毕业就去巴黎留学，后回伦敦定居，在他父亲的实验室中做了许多电学和化学方面的研究工作， 1760年被选为英国皇家学会会员， 1803年当选为法国科学院外国院士，卡文迪许毕生致力于科学研究，从事实验研究达 50年之久，性格孤僻，很少与外界来往，卡文迪许的主要贡献有： 1781年首先制得氢气，并研究了其性质，用实验证明它燃烧后生成水，但他曾把发现的氢气误认为燃素，不能不说是一大憾事，他在化学、热学、电学、万有引力等方面进行了许多成功的实验研究，但很少发表，过了一个世纪后，麦克斯韦整理了他的实验论文，并于1879年出版了名为《尊敬的享利·卡文迪许的电学研究》一书，此后人们才知道卡文迪许做了许多电学实验，麦克斯韦说：“这些论文证明卡文迪许几乎预料到电学上所有的伟大事实，这些伟大的事实后来通过库仑和法国哲学家们的著作而闻名于科学界。”在1766年发表了《论人工空气》的论文并获皇家学会科普利奖章，他制出纯氧，并确定了空气中氧、氮的含量，证明水不是元素而是化合物，他被称为“化学中的牛顿”。卡文迪许的重大贡献之一是1798年完成了测量万有引力的扭秤实验，后世称为卡文迪许实验，他改进了英国机械师米歇米（JohnMichell,1724-1793）设计的扭秤，在其悬线系统上附加小平面镜，利用望远镜在室外远距离操纵和测量，防止了空气的扰动（当时还没有真空设备），他用一根39英寸的镀银铜丝吊一6英尺木杆，杆的两端各固定一个直径2英寸的小铅球，另用两颗直径12英寸的固定着的大铅球吸引它们，测出铅球间引力引起的摆动周期，由此计算出两个铅球的引力，由计算得到的引力再推算出地球的质量和密度，他算出的地球密度为水密度的5.481倍（地球密度的现代数值为5.517g/cm3）,由此可推算出万有引力常量G的数值为6.754×10-1122（现代值前四位数为6.672）。这一实验的构思、N·m/kg设计与操作十分精巧，英国物理学家，J.H.坡印廷曾对这个实验下过这样的评语：“开创了弱力测量的新时代”。卡文迪许一生在自己的实验室中工作，被称为“最富有的学者，最有学问的富翁”，卡文迪许于1810年2月24日去世。第四节 万有引力理论的成就一、课后回顾1、我们解决天体运动问题时，通常把一个天体绕另一个天体的运动看作天体运动所需的向心力是由圆心处的天体对它的 提供的。

，2、计算中心天体的质量，首先观测围绕中心天体运动的行星（卫星）的轨道半径

r和运动周期

T，然后根据万有引力提供向心力的道理计算出

，如果围绕中心天体运动的轨道半径

r很小，与中心天体自身的半径

R相差无几，即

，则可进一步估算出中心天体的平均密度：

ρ=

.二、典型例题【例1】应用万有引力定律和向心力的公式证明：对于所有在圆周轨道上运动的地球卫星，其周期的二次方与轨道半径的三次方之比为一常量，即 T2/R3=常量。[证明]设地球的质量为 M，卫星的质量为 m，轨道半径为 R，周期为T，因为卫星绕地球作圆周运动的向心力为万有引力。故：Mm24л2F=GR2=mRω=mRT2T24л2R3=GM=常量可见，这一常量只与中心天体（地球）的质量有关，也适用于绕某一中心天体运动的天体系统。【例 2】月亮绕地球转动的周期为 T，轨道半径为 r，则由此可得地球质量表达式为（引力常量为 G） ，若地球半径为 R，则其密度表达式是 。解析：月亮绕地球可看成作匀速圆周运动，且 F向=F引，M地m月22G=r2=m月ωr=m月（T

2r故M4л2r3地2233лr3而ρ=M=4r/(43лR)=23V体GT23GTR【例3】利用下列哪组数据，可以计算出地球的质量(G为已知量)（）A、已知地球的半径 R地和地面重力加速度 gB、已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和周期TC、已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度vD、已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T解析：选项A：设相对地面静止的某一物体的质量为m，根据万有引力等于重力的关系GM地m2解得M地=gR地.得R2=mg地G选项B：设卫星质量为m，根据万有引力等于向心力的关系得，GM地m4л2r2地=mrT223解得M4лr。地=2GT选项C：设卫星质量为m，根据万有引力等于向心力的关系可得GM地mv2r2=mr解得M地=rv2G.选项D：设卫星质量为m，根据万有引力等于向心力的关系可得GM地m=mv2，r2T2=mv2GM地mrrv3T以上两式消去r解得M地=2лG综上所述：该题的四个选项都是正确的。[答案]ABCD【例4】继神秘的火星之后，今年土星也成了全世界关注的焦点！经过近 7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后， 美航空航天局和欧航空航天局合作研究的 “卡西尼”号土星探测器于美国东部时间

6月

30日（北京时间

7月

1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其

31颗已知卫星最详尽的探测！若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，

在半径为

R的土星上空离土星表面高

h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕 n周飞行时间为 t，试计算土星的质量和平均密度。[解析]设“卡西尼”号的质量为 m，土星的质量为 M,“卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供。GMm2=m(R+h)(2л)2,其中T=t.（R+h）Tn42n2(Rh)3所以：M=Gt2又V=43M3n2(Rh)33лR，p==2R3VGt天体运动问题无论多么复杂， 只要建立物理模型， 画出环绕天体绕中心天体运动的示意图，然后依据万有引力提供向心力求解，问题便可迎刃而解。变式1：若宇宙飞船沿地球表面上空的近地轨道飞行一周的时间为 T，试估算地球的平均密度。3л答案：ρ= 2GT变式2：如知道太阳的某一颗行星绕太阳运转的轨道半径为 r，周期为 T，引力常量 G，则可求得（ ）A、该行星的质量 B 、太阳的质量C、该行星的平均密度 D 、太阳的平均密度答案：B变式3：某个行星可视为半径为R的球体，它有一沿着半径为10R的轨道做匀速圆周运动的卫星，已知卫星的运动周期为T，求：（1）行星的平均密度；（2）卫星运动的加速度；（3）行星表面的“重力加速度”。32R323×10л40л(3)g行=4×10лR（答案：（1）ρ=2(2)a=22）GTTT变式4：质量分别为m1和m2的两个天体，相距r；其他的天体均离它们很远，以至可以认为这两个天体除相互吸引外不受其他外力作用，这样两个天体，被称作双星，双星能够保持距离r不变，是由于它们绕着共同的中心（质心）做匀速圆周运动，它们之间的万有引力作为做匀速圆周运动的向心力，试分析、计算：（1）共同中心（质心）在何处？两个天体到共同中心 O的距离r1、r2各多大？（2）两个天体绕共同中心 O转动的角速度、线速度、周期各多大？答案：（1）r1=(m2)rr2=(m1)rm1m2m1m2(2)ω=1G（m1m2）12GV21Grrr（m1r（m1m2）m2）rT=2πrG（m1 m2）学能提升：1、有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的：

（

D

）1A、4

B

、4倍

C

、16

倍

D

、64倍2、“双星”就是在太空中有两颗质量为

M1和

M2的恒星，相距为

d，且离其他星球很远，它们之间的距离保持不变，并都围绕两星连线上的一点做周期相同的匀速圆周运动。则：1）二者轨道半径之比是M2：M12）二者线速度之比是M2：M13、设行星 a和行星 b是两个均匀球体，两行星的质量之比 ma:mb=2:1，半径之比为Ra:Rb=1:2。行星a的卫星绕着a做圆周运动的周期为Ta，行星b的卫星绕b做圆周运动的周期为Tb，且两个卫星的轨迹都接近各自行星的表面，则它们的运行周期之比Ta:Tb为：（ A ）A、1：4

B、1：2

C、2：1

D、4：14、下列说法中正确的是（

AC

）A、海王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的B、天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的C、天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是由天王星受到轨道外面其他行星的引力作用D、以上说法均不正确5、1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第 2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为 16km，若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同，已知地球半径 R=6400km，地球表面重力加速度为 g，这个小行星表面的重力加速度为：（B）A、400gB、11400gC、20gD、20g6、海王星是绕太阳运动的一颗行星，它有一颗卫星叫海卫 1.若将海王星绕太阳的运动和海卫

1绕海王星的运动均看作匀速圆周运动，

则要计算海王星的质量， 需要知道的量是（引力常量

G为已知量）（

A

）A、海卫

1绕海王星运动的周期和半径B、海王星绕太阳运动的周期和半径C、海卫1绕海王星运动的周期和海卫 1的质量D、海王星绕太阳运动的周期和太阳的质量7、土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等，线度从1um到10m的岩石，尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从41.4×57.3×10km延伸到10km，已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14h，引力常量为6.67×10-1122,则土星N·m/kg的质量约为（估算时不考虑环中颗粒间的相互作用）（D）A、9.0×1016kgB、6.4×1017kgC、9.0×1025kgD、6.4×1026kg8、若地球绕太阳公转周期及公转的轨道半径分别为T和R，月球绕地球的公转周期和公转的轨道半径分别为t和r，则太阳和地球质量之比M日）为：（AM地R3t2R3t2CR3t2DR2T3A、3T2B、3t2、33、r2t3rrrT9、已知地球绕太阳做匀速圆周运动的周期为365天，地球到太阳的距离为1.5×1011m，取G=6.67×10-11N·m2/kg2，求太阳的质量。M太＝1.95×1030kg）10、火星的半径是地球半径的一半， 其质量是地球质量的 1/9，一宇航员的质量是 72kg，则他在火星上所受的重力是多大？这个宇航员在地球上最多能举起 100kg的物体，那么他在火星上最多能举起质量为多大的物体？（ 320N，2251kg）11、中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大，现有一中子星，它的自转1周期为 T=30s，该中子星的最小密度应该是多少才难维持该星体的稳定因自转而瓦解，计算时星体可视为均匀球体，（引力常数G=6.67×10-1122）N·m/kg3л143(P<GT2=1.3×10kg/m)12、美国于2005年1月12日升空的“深度撞击”号探测器，在2005年7月4日与“坦普尔一号”彗星相撞，产生4.5吨TNT当量爆炸威力，这是美国独自搞的科学实验，可谓前所未有。我们国家也有自己的“深度撞击”计划，这一计划目前已列入了“十一·五”规划之中，在探月成功后，便将付诸实施。假设“坦普尔一号”彗星上用弹簧秤称得质量 m的砝码重力为 G0，撞击器在靠近彗星表面运行时，其测得环绕周期得 T0，试根据上述数据求该“坦普尔一号”彗星的质量。M=G03T04）3416Gm研究拓展：在21世纪，我国有一宇航员踏上一半径为 R的球状星体，该宇航员在该星体上能否用常规方法测量出该星球的质量？如果能，需要何种常用器材？你能设想出几种方法？解析：根据在星球表面星球与宇航员的万有引力近似等于宇航员的重力，有：m′mGR2 =mg2gR可得m′=G .只要测出该星球表面的重力加速度，即可测出星球的质量。方法一：在星球表面用天平称量某物体A的质量m，再用弹簧测力计悬吊物体A处于平F衡状态，读出弹簧测力计的示数F，则有：F=mg，即g=m。FR2所以，该星球的质量为：m′=mG方法二：使一物体由静止开始自由下落，用米尺测量落下的高度h，用秒表测量落下的122h时间t，则有：h=gt,即g=2.2t2所以，该星球的质量为：m′=2hR2.Gt方法三：在星球表面上，两次用相同的力竖直上抛和平抛同一物体，使两次抛出时的初速率相等，用秒表测出从竖直上抛到落回抛出点的总时间t，再用卷尺测出平抛的水平射程os和下落高度 h，即可求 g值。由平抛运动知识知：s=vot,h=1gt2.22消去t,得：g=v0·2h.2s由竖直上抛运动知识有： vo=g·t022将②代入①，消去vo得：g=2s2ht02 22sR故该星球的质量可表示为： m′= 2第五节 宇宙航行一、课后回顾1、物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有速度，叫km/s,也叫做 。2、第二宇宙速度的大小为 km/s,也叫 ，如果物体的速度

，其大小为第二宇宙速度时，它就会克服地球的引力，不再绕地球运行，永远离开地球。3、第三宇宙速度的大小为 ，如果物体的速度 第三宇宙速度，它将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去。二、典型例题【例1】我国航天局宣布， 我国于2004年启动“绕月工程”，2007年之前将发射绕月飞行的飞船。已知月球半径为 R，月球表面的重力加速度为 g月，如果飞船关闭发动机后绕月球做匀速圆周运动，距离月球表面的高度为 h，求飞船速度的大小。解析：飞船环绕月球做匀速圆周运动，向心力由月球和飞船间的万有引力提供，即：2mv =GMm2∴v= GMR+h又∵月球表面的重力由万有引力提供，所以 mg月=GMmR22GM=g月R把②式代入①式得g月R2v=R+hg月R2∴飞船速度的大小为R+hg月R2答案：R+h【例2】两颗人造地球卫星，其轨道半径之比为：r12，求：（1）向心加速度之比；r2（2）线速度之比；（3）角速度之比；（4）运动周期之比解析：由于卫星绕地球做匀速圆周运动时，地球对卫星的万有引力提供向心力，由此可得出以下各种形式的表达式：Mmv222л2G2=ma=m=mrω=mr()rrTMmGMa12r(1)由G,∴=r2,又∵1=2，2=ma得a=2a22rrrr12a1=（12）2=14。a2Mmv2GMv1=r2,（2）由G2=m得：v=,∴rrrv2r1又∵r1=2,∴v1=1=2.r2v222MmGM32,∴1=r2(3)由Gr2=mrω得：ω=r332r1又∵r1=2，∴1=(1)3=2。4r222Mm2лr3T13（4）由2得：T=2л=r2G2=mr(),∴3.rTGMT2r1又∵r1=2，∴T1= 23=2 2。r2 T2【例3】同步卫星是指与地球相对静止的卫星，这种卫星绕地球转动的角速度与地球自转的角速度相同，做匀速圆周运动的圆心就是地心，因此，它的轨道平面必须与赤道平面重合，并且它必须位于赤道上空一定的高度上，请计算同步卫星离地面的高度。解析：已知地球的质量M=5.89×1024kg,半径R=6.37×106m，自转周期T=24h,G=6.67×10-11N·m2/kg2.设同步卫星离地面的高度为h，质量为m，则由向心力公式可得GMm2л2(R+h)2=m(T)(R+h)3GMT2化简后可得h=4л2-R将以上数值代入可解得h=3.6×107m答案：3.6×107m【例4】1999年11月21日，我国“神舟”号宇宙飞船成功发射并收回，这是我国航天史上重要的里程碑，新型“长征”运载火箭，将重达8.4吨的飞船向上送至近地轨道1，如图7-5-1所示。飞船与火箭分离后，在轨道1上以速度7.2km/s绕地球作匀速圆周运动，下列说法正确的是：A、飞船在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B、飞船在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度C、飞船在轨道1上经过Q点的加速度大于它在轨道2上经过Q点的加速度D、飞船在轨道2上经过p点的加速度等于它在轨道3上经过p点的加速度Mmv21解析：由G2=m得v∝,故r越大，v越小，∴飞船在轨道3上的速率小于在rrrMm 2轨道1上的速率，故 A错；由Gr2 =mrω得，r越大，ω越小，故飞船在 3轨道上的角速度小于在 1轨道上的角速度，故 B错；飞船在 Q点、P点时，不管在哪个轨道上，只要点固定，其加速度为定值，故 C错D正确，本题正确选项为 D。变式1：宇航员在月球表面以速率 v竖直上抛一个小球，经过 t秒落回原地，已知月球半径为 R，如果要在月球上发射一颗绕月球表面运行的人造卫星，则卫星的线速度为：2vR（ ）t变式2：如图7-5-2 所示，a、b、c是大气层外圆形轨道上运行的三颗人造地球卫星，a、b质量相同小于c的质量，下面说法中正确的是（）A、b、c的线速度大小相等且大于a的线速度B、b、c的向心加速度相等且大于a的向心加速度C、b、c的周期相等且大于a的周期图7-5-2D、b、c的向心力相等且大于a的向心力答案：C3 a2b2c变式3：地球同步卫星到地心的距离 r可由r=4л2求出，已知式中 a的单位是 m，b的单位是 s，c的单位是 m/s2，则：（ ）A、a是地球的半径， b是地球自传的周期， c是地球表面处的重力加速度B、a是地球的半径， b是同步卫星绕地心运动的周期， c是同步卫星的加速度C、a是赤道的周长， b是地球自转周期， c是同步卫星的加速度D、a是地球的半径， b是同步卫星绕地心运动的周期， c是地球表面处的重力加速度答案：AD变式4：如图7-5-3所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从1地面起动后，以加速度2g竖直向上做匀加速运协， 升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为起动前压力的 1718，已知地球半径为 R，求火箭此时离地面的高度 h（g为地面附近的重力加速度） 。R 图7-5-3答案：h2学能提升：1、人造卫星以地心为圆心，做匀速圆周运动，下列说法正确的是： （B ）A、半径越大，速度越小，周期越小B、半径越大，速度越小，周期越大C、所有卫星的速度均是相同的，与半径无半D、所有卫星角速度都相同的，与半径无关2、人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为 r，则卫星的线速度 v与r的关系和周斯T与r的关系分别是：（B ）A、v与r成正比，T与r成正比 B 、v与 r 成反比，T与 r3成正比C、v与r成反比，T与r成反比 D 、v与r成反比，T与r成正比3、地球同步卫星相对地面不动，这种现象表明： （ C ）A、同步卫星处于平衡状态B、同步卫星绕地球旋转的线速度和地球表面上物体的线速度相等C、所有同步卫星离地面高度相同D、同步卫星运行的轨道平面不一定在赤道平面上4、某一颗同步卫星距地面高度为 h，设地球半径为 R，自转周期为 T，地面处的重力加速度大于g，则该同步卫星线速度大小为：（BC）A、（R+h）gB、2л（R+h）/TC、R2g/(R+h)D、Rg5、有m1和m2两颗人造卫星，已知m1m2，如果m1和m2在同一轨道上运行，则它们的线速度之比v1:v2=;如果m1的运行轨道半径是m22的运行轨道半径的2倍，则它们的线速度之比v1:v2=.6、如图7-5-4所示，有A、B、C三颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，A和B质量相同，C的质量比 A和B要大，根据万有引力定律可以判定它们线速度的大小关系是：vA v B v C；周期大小关系为： TA T

B T C.(填“<”、“=”、“>”)图7-5-47、关于人造地球卫星与宇宙飞船的下列说法中，正确的是： （ ）A、如果知道人造地球卫星的轨道半径和它的周期，再利用万有引力恒量，就可算出地球的质量B、两颗人造地球卫星，只要它们的绕行速率相等，不管它们的质量、形状差别有多大，它们的绕行半径和绕行周期就一定是相同的。C、原来在同一轨道上沿同一方向绕行的人造卫星一前一后，若要后一卫星追上前一卫星并发生碰撞，只要将后者速率增大一些即可。D、一只绕火星飞行的宇宙飞船，宇航员从舱内慢慢走出，并离开飞船，飞船因质量减小，所受万有引力减小，故飞行速度减小。8、人造卫星环绕地球运转的速率vgR2,其中g为地面处的重力加速度，R为地球半径，rr为卫星离地球中心的距离，下面哪些说法中正确的是：（A）A、从公式可见，环绕速度与轨道半径的平方根成反比B、从公式可见，把人造卫星发射到越远的地方越容易C、上面环绕速度的表达式是错误的D、以上说法都错9、若把地球看作是一个表面平整的球体，已知一颗沿着地球表面环绕运行的卫星的周期是85min，此时卫星轨道半径r=R地，则下列说法中正确的是：（BC）A、可以发射一颗周期小于85min的人造地球卫星B、可以发射一颗周期大于85min的人造地球卫星C、不能发射一颗周期小于85min的人造地球卫星D、不能发射一颗周期大于85min的人造地球卫星10、2004年10月19日，中国第一颗业务型同步气象卫星——“风云二号C”发射升空，并进入预定轨道，下列关于这颗卫星在轨道上运行的描述，正确的是：（C）A、速度介于7.9km/s与11.2km/s之间B、周期小于地球自转周期C、加速度小于地面重力加D、处于平衡状态11、关于第一宇宙速度，下列说法正确的是： （BC ）A、它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度B、它是近地圆轨道上人造地球卫星的运行速度C、它是使卫星进入近地圆轨道的最小发射速度D、它是卫星在椭圆轨道上运行时在远地点的速度研究拓展：普通的电话，是靠导线传送信号的有线电话， 发话人与通话人均处在固定的地点， 这种固定地点的通信方式很不适应现代生活，如果在行驶的车上、轮船里，也有电话该多好啊！1921年美国发明了供警察 、汽车通信用的移动电话，这种电话于 20世纪60年代以后在世界各地得到了较快的发展， 20世纪80年代以后，我国也有了这种轻巧、方便、可靠的通信工具——移动电话，俗称手机。读后一题：如果你用手机通过同步卫星转发的无线电信号与对方通话， 则在你讲完话后，至少要等多长时间才能听到对方的回话？山知地球的质量M=6.0××2024kg地球半径R=6.46-1122×10m,万有引力常量G=6.67×10N·m/kg.解析：同步卫星是相对地面静止的卫星， 它绕地球运动的周期 T=24×3600s=8.64×104s，设卫星距离地面的距离为 h,卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力是地球对卫星的万有引力，由牛顿运动定律和万有引力定律，可得：GMm2л2(R+h)2=m()(R+h)T解得h=3GMT2－R4л2代入数据，可解得 h=3.6×107m最短通信时间是发话人和受话人都在同步卫星的正下方， 这时无线信号传播到卫星上的最短距离为h，受话人听到发话人的信号后立即回话，信号又需传播2h距离后才能到达发话人，由此可知最短时间为：4h4×3.6×107t=c=3×108s=0.48s习题 课典型问题【例1】人造地球卫星由于受到大气的阻力影响，其轨道半径逐渐减小，相应的线速度和周期的变化情况是：（ ）A、线速度减小，周期增大 B、线速度减小，周期变小C、线速度增大，周期增大 D、线速度增大，周期减小[解析]首先确定线速度和周期的表达式，再根据题干给定的条件进行判断由GMm=mv2得：v=GM2rrr由T=2лrrv得：T=2лrGM上面两式中，G为万有引力常量，M为地球质量，均为恒量，可见，卫星轨道半径变小时，线速度v增大，周期T减少。[答案]D【例2】假如一颗做圆周运动的人造卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则：（）A、根据公式v=wr可知，卫星运动的线速度增大到原来的2倍B、根据公式F=mv21r可知，卫星所需的向心力将减小到原来的2倍。C、根据公式F=GMm1r2可知，地球所提供的向心力将减小到原来的4D、根据上述选项B和C中所提供的公式可知，卫星运动的线速度将减小到原来的22[解析]在公式中要其余各量不变时，才能讨论某两个变量之间的关系。如在公式F=mv21。r中，r变时，v和F都改变，就不能说F∝r在公式F=GMm中，G、M、m都是不变量，故r改变时，仅有F2F会变，故当r′=2r时，F′=，C项r4正确。Mmv2可知：v=GM2,D正确。由Gr2=mrr，G、M均不变，故当r′=2r时,v′=2[答案]CD【例3】天黑后4小时在赤道上的某人，在头顶上仍然可观察到一颗人造地球卫星的飞行，则这颗卫星距地的高度一定：（）A、等于地球半径B、大于地球半径C、小于地球半径D、不小于地球半径[解析]由题意画出如7-习-1所示的示意图，赤道上的某人在A点时刚好天黑，天黑后4小时，地球由于自转而转过的角度为600，此时A图7-习-1点转到A′点，某人若要在头顶上仍能观察到人造卫星，说明有光照在卫星上，则卫星应在B点或B点以上，由图所示的几何关系可知OB=2R，则BA′=R，所以某人要想观察到头顶上的卫星，卫星距地面的高度应不小于地球半径，所以应选D。[答案]D【例4】据报道，美国航天局已计划建造一座通向太空的升降机，传说中的通天塔即将成为现实，据航天局专家称这座升降机的主体是一根长长的管道，一端系在太空的一个巨大的人造卫星上，另一端一直垂到地面并固定在地面上，试估算管道的长度至少为（已知地球半径为 6400km）A、358km B、3580km C、35800km D、358000km[解析]本题隐含的条件是通天塔的一端必须安装到地球同步卫星上，否则，随着人造地球卫星围绕地球转动，通天塔就会缠绕在地球上，这样，求通天塔管道的长度也就转化为求地球同步卫星离地的高度，设该高度为h，则：GMm2=m(R+h)(2л)2（R+h）T在地球表面处的物体：GMm′=m′gR2所以有：h=3gR2T22-R4л39.8×(6.4×106)2×(24×3600)267=4×3.142-6.4×10=3.58×10m[答案]

C变式1：一个登月者，能否用一个弹簧秤和一个质量为估测方法并写出表达式（月球半径为R）.

m的砝码，估测出月球的质量？如果能，说明变式2：双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统来处理，现根据对某一双星系充的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕着两者连线的中点做圆周运动，试计算双星系统的运动周期T。23答案：T=2лLGM变式3：为了迎接太空时代的到来，美国国会通过一项计划：在2050年前将太空升降机造成，就是把长绳的一端搁置在地球的卫星上，另一端系住升降机，放开绳，升降机能到达地球上，人坐在升降机里，在卫星上通过电动机把升降机拉到卫星上。已知地球表面的重力加速度g=10m/s2，地球半径R=6400km。（1）某人在地球表面用弹簧测力计称得重W=800N，端在升降机中，当升降机以加速度a=4.6m/s2垂直地面上升，这时此人再一次用同一弹簧测力计称得视重为W′=880N，忽略地球公转的影响，求升降机此时距地面的高度。（2）如果把绳的一端搁置在同步卫星上，绳的长度L至少为多长？答案：（1）h=1400km（2）L=3222–R=3.67gRT/(4л)10×m变式4：2000年1月26日，我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经980的经线在同一平面内，若把甘肃省嘉曲峪关处的经度和纬度近似为东经980和北纬400。已知地球半径为R，地球自转周期为T，地球表面重力加速度为g(视为常量)，光速c，试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）(R2gT222-2R(R2gT2102)3+R2)3cos40答案：t=4лc24л学能提升：1、关于人造地球卫星，下列说法中正确的是：（）A、运行轨道半径越大，线速度也越大B、运行速度可以等于8km/sC、轨道半径越大，周期也越大D、运行周期可以等于80min2、用m表示地球同步卫星（通信卫星）的质量，h表示它离地面的高度，Ro表示地球半径，go表示地面的重力加速度，wo表示地球的自转角速度，则通信卫星受到地面对它的万有引力大小是：（）mR02go324m(Ro+h)2goA、0B、(Ro+h)2C、mR0gow0D、R023、两颗卫星绕同一行星运动，它们的质量之比是1：2，轨道半径之比是3：1,下述说法中正确的是（）A、它们的周期之比是3:1B、它们的线速度之比是1:3C、它们的向心加速度之比是1：9D、它们的向心力之比是1：94、土星外层上有一个环，为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以利用测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系来判断，下列说法正确的是：（）A、若v∝R，则该层是土星的一部分B、若v2∝R,则该层是土星的卫星群C、若v∝1，则该层是土星的一部分D、若v2∝1，则该层是土星的卫星群RR5、地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的：（）gg+ag－agA、a倍B、a倍C、a倍D、a倍6、一颗人造地球卫星以速度v发射后，可绕地球做匀速圆周运动，若使发射速度变为2v，则该卫星可能：（）、绕地球做匀速圆周运动，周期变大、绕地球运动，轨道变为椭圆C、不绕地球运动，成为绕太阳运动的人造卫星D、挣脱太阳引力的速缚，飞到太阳系以外的宇宙7、2003年10月15日09时，我国的“神舟五号”载人飞船发射成功，其返回舱于2003年10月16日06时23分按计划安全降落在内蒙古中部草原，对于宇航员所受到的重力G、支持力FN和万有引力F，下面的判断正确的是：（）A、载人飞船在发射架上等待发射FN≈G=FB、载人飞船发射离地竖直上升过程中FN>G=FC、载人飞船绕地球做圆周运动时F>G>FND、载人飞船返回舱在返回地面过程中FN>G>F8、星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2=2v1。已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的1/6，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为：（）111A、grB、6grC、3grD、3gr9、“神舟五号”飞船于2003年10月15日将我国首位宇航员杨利伟成功送入太空，并绕地球飞行了14圈，历时21h，若将飞船的运动看作匀速圆周运动，求其离需的高度。（地球半径为6.4×106m）10、北京时间2005年10月12日9时整，搭乘两名航天员费俊龙和聂海胜的中国第二艘载人飞船“神舟六号”，在甘肃省酒泉卫星发射中心由长征二号F运载火箭发射升空。航空航天是一个集物理、化学、生物、天文、地学、工程、气象等多学科的综合性工程，请解答：（1）半径R=6400km，地球表面重力加速度g=9.8m/s2，若使航天飞船在无推动力作用的情况下在离地h=140km的圆轨道上绕地球运行，则飞行速度应为。（2）吊在降落伞下的载人航天飞船返回舱下落速度仍达14m/s，为了实现软着陆，在返回舱离地面约1.5m时启动5个反推力小火箭，若返回舱重8t，则每支火箭的平均推力约为多大？11、1997年8月26日在日本举行的国际学术大会上，德国MaxPlanck学会的一个研究组宣布了他们的研究结果：银河系的中心可能存在一个大“黑洞”,所谓“黑洞”，它是某些天体的最后演变结果。（1）根据长期观测发现距离此2）以6“黑洞”6.0×102×10m/s的速度绕m的另一个星体（设其质量为m2“黑洞”旋转，求该“黑洞”的质量m1（结果要求二位有效数字）（2）根据天体物理学知识，物体从某天体上的逃逸速度公式为v=2GMR,其中引力常量G=6.67×10-11N·m2·kg-2，M为天体质量，R为天体半径，且已知逃逸的速度大于真空中光速的天体叫“黑洞”，请估算（1）中“黑洞”的可能最大半径。（结果只要求一位有效数字）研究拓展：自从1957年10月4日，苏联发射了世界上第一颗人造地球卫星以来，人类活动范围从陆地、海洋、大气层扩展到宇宙空间，宇宙空间成为人类的第四疆域，人类发展空间技术的最终目的是开发太空资源。1）宇航员在围绕地球做匀速圆周运动的航天飞机中，会处于完全失重的状态，下列说法中正确的是：（）A、宇航员仍受重力作用 B、宇航员受力平衡C、重力正好为向心力 D、宇航员不受任何力作用（2）宇宙飞船要与轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站： （ ）A、只能从较低轨道上加速

B、只能从较高轨道上加速C、只能从同空间站同一高度上加速 D、无论在什么轨道上，只要加速都行（3） 已知空间站周期约为 90min，地球半径约为 6400km，地面重力加速度约为

10m/s2，由此计算国际空间站离地面的高度？第六节 经典力学的局限性一、课堂回顾1、经典力学适用范围牛顿运动定律和万有引力定律在宏观、低速、弱引力的广阔领域，包括天体力学的研究中，经受了实践的检验，取得了巨大的成就，即经典力学只适用 、 、弱引力范围，不适用微观高速、强引力领域。2、低速与高速速度接近于的运动为高速运动，经典力学不适用于高速运动，能描述这一运动的理论为爱因斯坦的，光速在不同参考系里数值相同，是不变的。（1）质量：经典力学质量m与运动状态无关，相对论质量m要随物体运动速度的增大而增大；其公式m=mo2式中m0为物体静止时的质量，m为物体速度为u时的质量，c是真空中的光速。1-u2c（2）时间：经典理论认为时间是的，与参考系的选择无关，相对论认为时间是的，两事件的时间间隔在不同参考系中的观测是不相同的，运动时间变长。（3）空间：经典理论认为空间是 的，无论在哪一参考系中观测，物体的空间尺度是相同的。相对论认为空间是相对的，高速运动系统沿运动方向的尺度会变短。3、宏观与微观微观粒子的运动经典力学不能说明，能描述微观粒子运动规律性的是 。相对论、量子力学使人类对自然界的认识更加广泛、深入。4、弱引力与强引力万有引力规律使地面物体的运动规律与天上星体运动规律统一起来，但这一规律只在弱引力时才成立。强引力时，牛顿的引力理论不成立，爱因斯坦的广义相对论才能描述其规律性，如水星进运、光线经大质量天体时的偏转等。二、典型例题【例1】电子的静质量为.当电子以4的速度相对实验室运动时电子的质量是多少？5c解析：高速运动的物体，其质量不再是经典力学认为的不变，而是量发生变化。即：m=mou21-c2其中m0为物体的静质量，m为物体速度为v时的质量。故对电子mome5m=u2=422=3m1-c21－(5c)/c即实验室观测以455c运动的电子质量是其静质量的3倍。【例2】下列说法中正确的有： （ ）A、子弹以500m/s的速度从枪口射出，由于子弹速度太大，其运动规律不能用经典理论解释B、尘埃、油滴、细小雾滴不能用经典力学说明，而要由量子力学来描述C、光线在大质量天体附近要弯曲，可以由广义相对论解释D、水星的运动严格讲是闭合的椭圆轨道答案：C解析：子弹的速度v=500m/s相对于光速c=3×108m/s小得多，属于低速运动物体，经典力学能说明其运动规律，A错。尘埃、油滴、雾滴在宏观讲是微小物体，但它不是微观世界的微观粒子，故可以由经典理论说明，B错。光线的偏转在广义相对论中，可以很好地解释， C正确。水星的运动不是闭合的椭圆轨道，存在进动， D错。【例3】爱因斯坦相对论认为高速动动的物体沿运动方向观测的长度会变短，即u2l=l′1--c2,其中l′为物体相对实验室静止的长度，l为物体相对实验室以速度v沿l′方向运动的长度，那么一个静长为1m的直棒若沿棒方向相对实验室以45c的速度运动时，实验室观测该棒的长度为多少？4解析：直棒相对实验室静止时的长度l′=1m，直棒相对实验室运动的速度v=5c.v2得直棒高速运动时，实验室观测的长度为：由l=l′1--2c4223l=l′1-(5c)/c=5l′=0.6m4即直棒以 5c运动时，相对于静长缩短了。学能提升：1、下列说法中正确的是：（ ）、经典力学不适用高速运动、微观世界，所以经典力学不能指导我们实践、相对论只适用于高速运动，不适用于低速运动C、量子力学只能研究微观世界D、对于强引力和弱引力，广义相对论都适用2、相对参考系静止的微观粒子质量为 m，若相对参考系以速度 v=0.5c运动，该粒子的质量为多大 ?3、相对论认为时间在不同参考系观测是不同的，如相对地面高速运动系统（运动速度间隔为△t′，则在地面上观测其时间间隔为：

v）里两事件的时间△t=

△t′/

v1-（c

2）即地面观测的时间变长，那么相对于地面似

4v=5c运动的高速系统里两事件的时间间隔

△t′=1μs时，地面观测到的这两事件的时间间隔为多少？三、研究拓展：（一）爱因斯坦简介爱因斯坦1879年3月14日生于德国乌尔姆 （Ulm），因为当工程师的叔父的影响，早期教育。1896年入苏黎士联邦工业大学师范系学习物理学，表现出独立思考的能力，（Bern）瑞士专利局当技术员， 从事于发明专利的鉴定工作，他利用业余时间从事科学研究，

受到科学与哲学的1902年在伯尔尼1905年以“分子大小的新测定法 ”的论文获苏黎士大学博士学位，同年他在三个不同领域均取得历史性的突破。1905年3月发表论文“关于光的产生和转化的一个推测性的观点”，提出光量子假说，同年6月写出了“论动体的电动力学”，提出了狭义相对论，1905年9月写出短文“物体的惯性同它所含的能量有关吗？”提出质能关系式，这是原子核物理学和粒子物理学的理论基础，为原子能的利用开辟道路。爱因斯坦于1906年曾把量子的概念应用于固体内部的原子的振动，以说明低温条件下固体比热与温度的关系，1916年发表《关于辐射的量子理论》，提出原子受激幅射的概念，是后来激光技术的理论基础，20世纪20年代，他和印度物理学家玻色（S.Bose,1894-1974）提出单原子气体的量子统计理论，即玻色一爱因斯坦统计。在提出狭义相对论以后，爱因斯坦又进一步谋划将相对性原理推广于非惯性系，1907年提出等效原理，即认为引力和参考系的加速度导致的惯性力等效，1912年爱因斯坦回到苏黎士联邦工业大学工作，在数学家格罗斯曼的帮助下，学习了黎曼几何与张量分析。1913年终于发表了论文“广义相对论纲要和引力理论”，提出描述引力场需要用度规张量，后来曾走过一些弯路，直至1915年，根据新的引力场方程算出光线经太阳表面的偏折为1.75”，又得水星近日点轨迹的旋进为43///100年，与观测结果一致，1915年11月提出了“引力的场方程”，标志着广义相对论终于完成。此后，爱因斯坦通过对引力场方程的研究，预言引力波的存在。爱因斯坦还开创了宇宙学这个科学领域，大胆地提出宇宙究竟是有界的还是无界的问题，20世纪20年代，弗里德曼根据爱因斯坦的理论得出宇宙膨胀的理论，爱因斯坦不赞成，经过一年又撤回自己的意见，承认弗里德曼的理论，到1946年以后由伽莫夫发展为大爆炸宇宙学，在广义相对论之后，爱因斯坦力图推广广义相对论，把引力场和电磁场统一起来，把相对论和量子论统一起来，在统一场论方面，爱因斯坦离开了当时物理学发展的主流，并没有最后取得成功。自20世纪70至80年代，将电磁相互作用和弱相互作用统一起来取得成功，统一场论从另一条途径显示其发展前景。爱因斯坦具有高尚的道德和真、善、美