函数的单调性-课件

1函数的单调性函数1函数的单调性函数2

1．设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1＜x2时，（1）若

，则f（x）在

上是增函数；Df（x1）＜f（x2）21．设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域内某个区3（2）若

，则f（x）在

上是减函数.

2．若函数f（x）在区间D上是

或

，则称函数f（x）在这一区间上具有单调性，

叫做f（x）的单调区间.f（x1）＞f（x2）D增函数减函数D3（2）若，则f（x）在上是减4

1.设函数f（x）是R上的单调递减函数，且f（m2）>f（-m），则实数m的取值范围为（）

A.（0,+∞）B.（-∞,-1）

C.（-∞,-1）∪（0,+∞）

D.（-1,0）依题意得m2<-m，解得-1<m<0，

故选D.41.设函数f（x）是R上的单调递减函数，且f（m2）>5

2.若函数h′（x）=2x+

+

在（1,+∞）上是增函数，则实数k的取值范围是（

）

A.［0,2］

B.［2,+∞）

C.（0,2］

D.（-∞,2］

依题意知h′（x）=2-

>0对

x∈（1,+∞）恒成立，则k<2x2（x>1）,所以k≤2,故选D.52.若函数h′（x）=2x++在（1,+∞）上是增6

3.若函数y=|x|（1-x）在区间A上是增函数，那么区间A是（）

A.（-∞，0）B.［0，］

C.［0,+∞）D.（，+∞）

63.若函数y=|x|（1-x）在区间A上是增函数，那么7

由图象可知，该函数在［0，］上单调递增.

答案：B

78

4.已知是R上的增函数，那么实数a的取值范围是

.

由题意知解得1＜a＜3.（1，3）84.已知（1，3）9

5.若函数f（x）=-x2+2ax与ｇｓｆ在区间［1，2］上都是减函数，则a的取值范围是

.

f（x）=-x2+2ax=-（x-a）2+a2在区间［1，2］上是减函数，则a≤1;

在［1,2］上是减函数，则a>0.

综合得a∈（0,1］.（0,1］95.若函数f（x）=-x2+2ax与ｇｓｆ在区间［10

1.函数单调性的判断（1）函数f（x）定义在区间D上，当x1,x2∈D,x1≠x2时，恒有

，则函数f（x）是D上的单调

（增或减函数）.增函数101.函数单调性的判断增函数11（2）设函数f（x）是增函数，那么：（ⅰ）y=-f（x）为减函数；（ⅱ）y=（）f（x）为减函数；（ⅲ）y=tan［f（x）］为增函数；（ⅳ）

为增函数；（ⅴ）y=［f（x）］-1为减函数.其中正确判断的编号是

.（ⅰ）（ⅱ）11（2）设函数f（x）是增函数，那么：（ⅰ）y=-f（12

2.函数的单调区间（1）函数

的单调区间是

.（2）下列判断中，正确的序号是

.（ⅰ）函数y=sinx在（0,）上是增函数，那么该函数在第一象限是增函数；（ⅱ）函数f（x）分别在（-5,-1）和（1，5）上是减函数，所以函数f（x）的单调减区间是（-5,-1）∪（1,5）;（ⅲ）函数y=2-ax（a≠0）在R上是单调函数.（-∞,0）,（0,+∞）（ⅲ）122.函数的单调区间（-∞,0）,（0,+∞）（ⅲ）13

3.函数的最值（1）若函数f（x）=x2+x+a在区间［-3,1］上的最大值为4，则a=

.（2）若函数y=

的定义域和值域都是［-2,-1］，则a=

.-22133.函数的最值-2214

4.函数单调性的应用（1）若函数y=-loga（x+1）是（-1,0）上的减函数，则a的取值范围是

.（2）若函数f（x）在［a,b］上是单调函数，且f（a）·f（b）<0，则方程f（0）=0（x∈［a,b］）的根的个数是

.（3）若函数f（x）=|x-b|+1在［0,+∞）上是增函数，则b的取值范围是

.

（1,+∞）唯一一个（-∞,0］144.函数单调性的应用（1,+∞）唯一一个（-∞,0］15

题型1

函数单调性的判断与证明讨论函数f（x）=x+

（a>0）的单调性.

方法1：定义法：函数的定义域为（-∞,0）∪（0,+∞）.（1）当x>0时，设0<x1<x2，则15题型1函数单调性的判断与证明16于是当0<x1<x2≤时，x1x2<a，则f（x2）<f（x1）.所以f（x）在（0,］上是减函数；当

≤x1<x2时，x1x2>a，则f（x2）>f（x1）.所以f（x）在［

,+∞）上是增函数.（2）当x<0时，设x1<x2<0.则

16于是当0<x1<x2≤时，x1x2<a，则f17于是当≤x1<x2<0时，x1x2<a，则f（x2）<f（x1）.所以f（x）在［,0）上是减函数；当x1<x2≤时，x1x2>a，则f（x2）>f（x1）.所以f（x）在（-∞,］上是增函数.综上，函数f（x）在［,0）,（0,

］上是减函数，在（-∞,］,［

,+∞）上是增函数.（由于函数是奇函数，其实只需讨论x>0的情况即可.）17于是当≤x1<x2<0时，x1x2<a，则18方法2：导数法：当x>0时，

令f′（x）≥0，得a≤x2,则x≥

.于是f（x）在［

,+∞）上是增函数；同理可得f（x）在（0,

］上是减函数.当x<0时，由奇函数的性质知函数f（x）在（-∞,］上是增函数，在［,0）上是减函数.综上，函数f（x）在［,0）,（0,］上是减函数，在（-∞,］,［,+∞）上是增函数.18方法2：导数法：当x>0时，19

【评注】研究函数的单调性一般有两种方法，即定义法和导数法.定义法是基础，掌握定义法的关键是作差（f（x2）-f（x1）），运算的结果可以判断正、负.本题判断正、负的依据是代数式“x1x2-a”，处理这个代数式的符号是一个难点，要有一定的数学功底作基础.把x1、x2看成自变量，则转化为判断“x2-a”的符号，于是转化为判断“x”的符号，自然过渡到x=

是函数单调区间的分界点.19【评注】研究函数的单调性一般有两种方法，即定义法和导20第二种方法是导数法.导数是研究函数图象上某点的切线斜率的变化大小的，当某点的导数为0时，斜率为0，所以导数为0是函数单调区间的分界点，用导数法可以克服推理运算中的难点.掌握导数法在函数单调性研究中的运用，能收到事半功倍的效果.20第二种方法是导数法.导数是研究函数图象上某点的切线斜21

判断函数

（a,b＞0，a≠b）的单调性.

原函数化为

设

=c，得

且c＞0且c≠1.21判断函数22

设x1＜x2，则

因为当c＞1时，

则

当0＜c＜1时，

则

所以不论c＞1还是0＜c＜1，恒有f（x2）＞f（x1）.

故f（x）是R上的增函数.22设x1＜x2，则23

题型2复合函数的单调区间求函数

的单调区间.

由4+3x-x2>0，得-1<x<4.令u（x）=4+3x-x2=则原函数化为易知，当x∈（-1,］时，u（x）是增函数；23题型2复合函数的单调区间24

当x∈［

,4）时,u（x）是减函数.

故当-1<x1<x2≤

时，因为u（x）是增函数，所以0<u（x1）<u（x2），所以y1>y2;当

≤x1<x2<4时,因为u（x）是减函数，所以u（x1）>u（x2）>0，所以y1<y2.

故函数

在（-1,

］上是减函数，在［

,4）上是增函数.24当x∈［,4）时,u（x）是减函数.25

【评注】复合函数的单调区间的求解可分为四步：①求函数的定义域；②把复合函数分解成两个常见函数，本题中，u（x）=4+3x-x2是二次函数，

是对数函数；③分别求各函数的单调区间.本题中，u（x）的单调递减区间为［,4），单调递增区间为（-1,］，是（0,+∞）上的减函数；④根据复合函数单调性的判断法则写出单调区间.25【评注】复合函数的单调区间的求解可分为四步：①求函数26

求函数f（x）=loga（3-2x-x2）（0<a<1）的单调区间.

设u=3-2x-x2>0，则x∈（-3,1）.由于函数u的图象的对称轴为直线x=-1,

所以函数u在［-1,1）上是减函数，在

（-3,-1］上是增函数.又因为函数y=logau（0<a<1）是减函数,

所以函数f（x）=loga（3-2x-x2）（0<a<1）的单调递减区间为（-3,-1］，单调递增区间是［-1,1）.26求函数f（x）=loga（3-2x-x2）（27

题型3

利用单调性讨论参数的值若函数y=log2（x2-ax+3a）在［2,+∞）上是增函数，求实数a的取值范围.

设u=x2-ax+3a>0，则函数u在［

,+∞）上是增函数.又y=log2u是增函数，27题型3利用单调性讨论参数的值28根据复合函数的单调性，要使函数y=log2（x2-ax+3a）在［2,+∞）上是增函数，只需即

即解得-4<a≤4.所以实数a的取值范围是（-4,4］.28根据复合函数的单调性，要使函数y=log2（x2-a29

【评注】利用函数单调性讨论参数的取值范围是高考试题考查能力的知识结合点，一般要弄清三个环节：（1）考虑函数的定义域，保证研究过程有意义.本题中，不能忽视u=x2-ax+3a>0;（2）保证常见函数的单调区间与题目给出的单调区间的同一性.本题中，［

,+∞）上是单调增区间与［2,+∞）一致；（3）注意防止扩大参数的取值范围，本题中，u（2）>0.29【评注】利用函数单调性讨论参数的取值范围是高考试题考30

已知函数y=loga（2-ax）在［0,1］上是x的减函数，求实数a的取值范围.

设u=2-ax>0.因为a>0,所以u=2-ax为减函数.要使函数y=loga（2-ax）在［0,1］上是减函

解得1<a<2.

故实数a的取值范围是（1,2）.数，只需30已知函数y=loga（2-ax）在［0,31

题型4

函数的值域与最值

已知a是实数，函数f（x）=x2+2ax-3-a.如果函数y=f（x）在区间［-1,1］上有最大值4，求a的值.

二次函数f（x）的图象的对称轴方程为x=-a.（1）当-a≤0，即a≥0时，［f（x）］max=f（1）=a-2=4,得a=6；（2）当-a>0，即a<0时，

［f（x）］max=f（-1）=-3a-2=4，所以a=-2.

综上，得a=-2或a=6.31题型4函数的值域与最值32

【评注】函数是否存在最值，取决于函数的特征和函数的定义域.本题是二次函数，在全体实数上，存在最大或最小值；单调函数在定义域的子闭区间上一定存在最值，且最值在闭区间的端点处取得.如果函数中出现了参数，应当对参数进行分类讨论.32【评注】函数是否存在最值，取决于函数的特征和函数的定33

函数f（x）=ax+loga（x+1）在［0，1］上的最大与最小值的和为a，求a的值.

若a>1，则f（x）为增函数，所以［f（x）］max=a+loga2,［f（x）］min=1.依题意,得a+loga2+1=a,即loga2=-1,解得a=

，矛盾.当0<a<1时，则f（x）为减函数，所以［f（x）］min=a+loga2,［f（x）］max=1.依题意，得a+loga2+1=a,于是a=

.33函数f（x）=ax+loga（x+1）在［34

题型5

抽象函数的单调性

已知函数f（x）的定义域为

（0，+∞），当x>1时，f（x）>0，且对于任意的正数x,y都有f（xy）=f（x）+f（y）.

（1）证明：函数f（x）在定义域上是增函数；

（2）如果f（2）=1且f（x）+f（8x-4）≥2，求x的取值范围.34题型5抽象函数的单调性35（1）证明：设0<x1<x2.则f（x2）-f（x1）=f（

·x1）-f（x1）=

f（

）+f（x1）-f（x1）=f（

）.因为

>1，所以f（

）>0,所以f（x2）－f（x1）>0.故f（x）在定义域上是增函数.35（1）证明：设0<x1<x2.36

（2）因为f（x）+f（8x-4）=f（8x2-4x）≥2

=f（2）+f（2）

=f（4）,所以x满足

解得x≥1.故实数x的取值范围是［1,+∞）.36（2）因为f（x）+f（8x-4）=f（8x2-4x）37

【评注】抽象函数单调性问题的特点是：（1）给出定义域；（2）给出满足函数意义的表达式（本题是f（xy）=f（x）+f（y））；（3）讨论函数的单调性和不等式求解等问题.处理方法：（1）在定义域内任意取值，找出某些具体的函数值，如f（1）等；（2）抓住关系式，如f（xy）=f（x）+f（y），进行适当的赋值和配凑；（3）从函数值的大小关系中，根据单调性，脱掉函数符号，转化为自变量间的大小关系，但要注意自变量的取值必须在定义域内，最后通过解不等式（组）来完成.37【评注】抽象函数单调性问题的特点是：（1）给出定义域38

定义在R上的函数y=f（x）,

f（0）≠0.当x>0时，f（x）>1，且对任意的x,y∈R都有f（x+y）=f（x）·f（y）.（1）证明：对任意的x∈R，f（x）>0；（2）证明：f（x）是R上的增函数；（3）若f（x）·f（x2+x）<1，求x的取值范围.

（1）证明：令x=y=0，

得f（0）=f（0）·f（0），所以f（0）=1.38定义在R上的函数y=f（x）,f（0）39令y=-x，得f（x）·f（-x）=1，所以f（x）=

.设x<0，则-x>0，所以由f（-x）>1,得f（x）=

>0.故对任意的x∈R，f（x）＞0.（2）证明：设x1<x2,39令y=-x，得f（x）·f（-x）=1，所以f（40则f（x2）-f（x1）=f（x2-x1+x1）-f（x1）

=f（x2-x1）f（x1）-f（x1）

=［f（x2-x1）-1］f（x1）.因为x2-x1>0，所以f（x2-x1）>1,且f（x1）>0,所以f（x2）-f（x1）>0，故函数f（x）在R上是增函数.（3）由f（x）·f（x2+x）=f（x2+2x）<1

=

f（0），得x2+2x<0，解得-2<x<0.所以x的取值范围是（-2,0）.40则f（x2）-f（x1）=f（x2-x1+x1）-f（x41

1.判断函数的单调性（1）定义法：给定区间D上的函数f（x），若对x1,x2∈D且x1<x2，都有f（x2）>

f（x1）（或f（x2）<f（x1）），则函数f（x）在D上是增函数（或减函数）.与定义等价的判断，如对x1,x2∈D，若

（或［f（x2）-f（x1）］（x2-x1）>0），则函数f（x）在D上是增函数；411.判断函数的单调性42（2）导数法：设f（x）定义在区间D上，求f′（x），对x∈D，若f′（x）>0（<0），则函数f（x）在D上是增函数（减函数）.注意若已知函数的单调性，用导数法求参数的取值范围时，应令f′（x）≥0或f′（x）≤0，否则极可能漏解.42（2）导数法：设f（x）定义在区间D上，求f′（x）43

2.函数的单调区间函数的单调区间可能是连续的，也可能是离散的，离散的单调区间中间分别用“，”分开，如f（x）=，有两段离散的减区间（-∞,0）,（0,+∞），不能表示成（-∞,0）∪（0,+∞）.单调函数的单调性是一个局部概念，定义域整体上可能并不具有单调性，所以，单调性只是函数在某一区间上的“整体”性质的表现.432.函数的单调区间44

3.函数的最值函数的最值问题与函数的值域问题既相近，也有区别.一个函数可能有最值，也可能没有最值，但函数的值域是一定存在的.设函数f（x）的定义域为D，若存在实数m，满足对任意的x∈D，有f（x）≤M，且存在x0∈D使得f（x0）=M，则M是函数f（x）的最大值.如果没有x0∈D，使得f（x0）=M，则函数f（x）无最大值，此时，M称为函数值域的上界.如严格单调函数在开区间上是没有最值的.443.函数的最值45

4.复合函数的单调性函数y=f［u（x）］称为复合函数，其中u（x）称为“内层函数”，y=f（u）称为“外层函数”.“内、外层函数”的单调性相同时，函数y=f［u（x）］是增函数，相反时，函数y=f［u（x）］是减函数.简称为“同增异减”.在讨论复合函数的单调性时，定义域是不能忽视的，要注意内层函数的值域是外层函数的定义域.454.复合函数的单调性46在复合函数单调性问题中，对参数的讨论是一个难点，因为参数所具有的性质与单调区间有直接关系，因此要注意两点：一是确保单调区间上函数有意义；二是根据单调性，转化为不等式（组）问题求解.46在复合函数单调性问题中，对参数的讨论是一个难点，因为47

1.（2009·辽宁