2020年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷（解析版）

第22页（共22页）2020年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共计30分）1．（3分）的倒数是A． B． C．8 D．【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．【解答】解：的倒数是，故选：．【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．2．（3分）下列运算一定正确的是A． B． C． D．【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则以及完全平方公式逐一计算判断即可．【解答】解：、，原计算错误，故此选项不合题意；、，原计算错误，故此选项不合题意；、，原计算正确，故此选项合题意；、，原计算错误，故此选项不合题意．故选：．【点评】本题主要考查了完全平方公式，同底数幂的乘法，幂的乘方以及合并同类项的法则，熟记公式和运算法则是解答本题的关键．3．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是A．扇形 B．正方形 C．等腰直角三角形 D．正五边形【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．（3分）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是A． B． C． D．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层右边一个小正方形，故选：．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．5．（3分）如图，为的切线，点为切点，交于点，点在上，连接、，，若，则的度数为A． B． C． D．【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论．【解答】解：为圆的切线，，即，，，．故选：．【点评】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．6．（3分）将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为A． B． C． D．【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：；由“左加右减”的原则可知，将抛物线向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：；故选：．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．7．（3分）如图，在中，，，，垂足为，与关于直线对称，点的对称点是点，则的度数为A． B． C． D．【分析】由余角的性质可求，由轴对称的性质可得，由外角性质可求解．【解答】解：，，，与关于直线对称，点的对称点是点，，，故选：．【点评】本题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的性质是本题的关键．8．（3分）方程的解为A． B． C． D．【分析】根据解分式方程的步骤解答即可．【解答】解：方程的两边同乘得：，解得，经检验，是原方程的解．故选：．【点评】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键．9．（3分）一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球．则摸出的小球是红球的概率是A． B． C． D．【分析】用红球的个数除以球的总个数即可得．【解答】解：袋子中一共有9个除颜色不同外其它均相同的小球，其中红球有6个，摸出的小球是红球的概率是，故选：．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．10．（3分）如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是A． B． C． D．【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可．【解答】解：，，，，，故选：．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例性质，关键是熟记定理，找准对应线段．二、填空题（每小题3分，共计30分）11．（3分）将数4790000用科学记数法表示为．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．【解答】解：，故答案为：．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．12．（3分）在函数中，自变量的取值范围是．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，解得．故答案为：．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．13．（3分）已知反比例函数的图象经过点，则的值为．【分析】把代入函数解析式即可求的值．【解答】解：反比例函数的图象经过点，，故答案为：．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数，是中学阶段的重点．14．（3分）计算的结果是．【分析】根据二次根式的性质化简二次根式后，再合并同类二次根式即可．【解答】解：原式．故答案为：．【点评】本题主要考查了二次根式的加减，熟记二次根式的性质是解答本题的关键．15．（3分）把多项式分解因式的结果是．【分析】直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：原式．故答案为：．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．16．（3分）抛物线的顶点坐标为．【分析】已知抛物线顶点式，顶点坐标是．【解答】解：抛物线是顶点式，顶点坐标是．故答案为：．【点评】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．17．（3分）不等式组的解集是．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：，由①得，；由②得，，故此不等式组的解集为：．故答案为：．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18．（3分）一个扇形的面积是，半径是，则此扇形的圆心角是130度．【分析】根据扇形面积公式，即可求得这个扇形的圆心角的度数．【解答】解：设这个扇形的圆心角为，，解得，，故答案为：130．【点评】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确扇形面积计算公式．19．（3分）在中，，为边上的高，，，则的长为5或7．【分析】在中，利用锐角三角函数的意义，求出的长，再分类进行解答．【解答】解：在中，，，，如图1、图2所示：，，故答案为：7或5．【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提．20．（3分）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，连接，若，，，则线段的长为．【分析】设，则，根据菱形的性质得，，，再证明，所以，解得，然后利用勾股定理计算，再计算的长．【解答】解：设，则，四边形为菱形，，，，，，，，，，解得，即，，在中，，在中，．故答案为．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）21．（7分）先化简，再求代数式的值，其中．【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算，把的值代入得出答案．【解答】解：原式，，原式．【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确进行分式的混合运算是解题关键．22．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中画出以为边的正方形，点和点均在小正方形的顶点上；（2）在图中画出以为边的等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且的周长为．连接，请直接写出线段的长．【分析】（1）画出边长为的正方形即可．（2）画出两腰为10，底为的等腰三角形即可．【解答】解：（1）如图，正方形即为所求．（2）如图，即为所求．【点评】本题考查作图应用与设计，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．23．（8分）为了丰富同学们的课余生活，冬威中学开展以“我最喜欢的课外活动小组”为主题的调查活动，围绕“在绘画、剪纸、舞蹈、书法四类活动小组中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢绘画小组的学生人数占所调查人数的．请你根据图中提供的信息回答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）请通过计算补全条形统计图；（3）若冬威中学共有800名学生，请你估计该中学最喜欢剪纸小组的学生有多少名．【分析】（1）最喜欢绘画小组的学生人数15人，占所调查人数的．可求出调查人数；（2）求出“舞蹈”的人数，即可补全条形统计图；（3）样本估计总体，样本中“喜欢剪纸”占调查人数的，因此估计总体800名的是最喜欢“舞蹈”的人数．【解答】解：（1）（名，答：在这次调查中，一共抽取了50名学生；（2）（名，补全条形统计图如图所示：（3）（名，答：冬威中学800名学生中最喜欢剪纸小组的学生有320名．【点评】本题考查条形统计图的意义和制作方法，理解数量之间的关系是正确计算的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．24．（8分）已知：在中，，点、点在边上，，连接、．（1）如图1，求证：；（2）如图2，当时，过点作交的延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于．【分析】（1）根据可证，根据全等三角形的性质即可求解；（2）根据等腰三角形的判定即可求解．【解答】（1）证明：，，在和中，，，；（2），，，，，，，，，满足条件的等腰三角形有：，，，．【点评】考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，关键是熟练掌握它们的性质与定理．25．（10分）昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元．（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪？【分析】（1）设每个大地球仪元，每个小地球仪元，根据条件建立方程组求出其解即可；（2）设大地球仪为台，则每个小地球仪为台，根据要求购买的总费用不超过960元，列出不等式解答即可．【解答】解：（1）设每个大地球仪元，每个小地球仪元，根据题意可得：，解得：，答：每个大地球仪52元，每个小地球仪28元；（2）设大地球仪为台，则每个小地球仪为台，根据题意可得：，解得：，答：最多可以购买5个大地球仪．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，总价单价数量的运用，一元一次不等式的运用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．26．（10分）已知：是的外接圆，为的直径，，垂足为，连接，延长交于点．（1）如图1，求证：；（2）如图2，过点作交于点，点为的中点，连接，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，的面积为，求线段的长．【分析】（1）由垂径定理可得，由线段垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得结论；（2）由“”可证，可得；（3）过点作，交于，设，由全等三角形的性质可得，，勾股定理可求，由锐角三角函数可求，，可得，由三角形面积公式可求的长，可求，可得，，，勾股定理可求，连接，过点作，交的延长线于，通过证明，由相似三角形的性质可求，的长，由勾股定理可求的长，即可求解．【解答】证明：（1）为的直径，，，，又，，，，，，；（2）如图2，连接，是直径，，点是中点，，又，，，，，，又，，，；（3）如图3，过点作，交于，设，，，，，，，，，，，，，，，的面积为，，，，，，，，，如图3，连接，过点作，交的延长线于，由（2）可知：，四边形是圆内接四边形，，又，，，，，，，．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，求出的长是本题的关键．27．（10分）已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴的正半轴交于点，与轴的负半轴交于点，，过点作轴的垂线与过点的直线相交于点，直线的解析式为，过点作轴，垂足为，．（1）如图1，求直线的解析式；（2）如图2，点在线段上，连接，点