(新高考)高考数学一轮复习课件第8章§8.7《双曲线》(含解析)

1、第八章考试要求1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简单应用.落实主干知识探究核心题型课时精练LUOSHIZHUGANZHISHI 落实主干知识1.双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的 等于非零常数( |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.两个定点F1，F2叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 .绝对值小于焦点焦距标准方程 (a0，b0) (a0，b0)图形性质焦点_焦距_范围_或_，yRya或ya，xR对称性对称轴：_；对称中心：_2.双曲线的标准方程和简单几何性质F1(c，0)，F2(c

2、，0)F1(0，c)，F2(0，c)|F1F2|2cxaxa坐标轴原点性质顶点_轴实轴：线段_，长：_；虚轴：线段B1B2，长：_，实半轴长：_，虚半轴长：_离心率e _渐近线_a，b，c的关系c2_(ca0，cb0)A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)A1A22a2bab(1，)a2b2常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|minac，|PF2|minca.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为 .常用结论(4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，

3、F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则 ，其中为F1PF2.(5)与双曲线 (a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为 (t0).判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线.()(2)方程 (mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(3)双曲线 (m0，n0)的渐近线方程是 .()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 .()1.若双曲线 (a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为A. B.5C. D.2由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b2a，又a2b2c2，5a2c2.2.设P是双曲线 上一点，

4、F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|9，则|PF2|等于A.1 B.17C.1或17 D.以上均不对根据双曲线的定义得|PF1|PF2|8|PF2|等于1或17.又|PF2|ca2，故|PF2|17.3.(2022汕头模拟)写一个焦点在y轴上且离心率为 的双曲线方程_.(答案不唯一，符合要求就可以)因此，符合条件的双曲线方程为 (答案不唯一，符合要求就可以).TANJIUHEXINTIXING探究核心题型例1(1)已知定点F1(2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2y21上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是A.椭圆 B.

5、双曲线C.抛物线 D.圆题型一双曲线的定义及应用所以|PF2|PF1|PF2|PM|MF2|2|F1F2|，所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.如图，连接ON，由题意可得|ON|1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，所以|MF2|2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|PF1|，(2)已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则F1PF2的面积为_.不妨设点P在双曲线的右支上，在F1PF2中，由余弦定理，得|PF1|PF2|8，延伸探究在本例(2)中，若将

6、“F1PF260”改为“ ”，则F1PF2的面积为_.2不妨设点P在线的右支上，在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|216，|PF1|PF2|4， |PF1|PF2|2.1.已知圆C1：(x3)2y21，C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为教师备选设圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|1r，|MC2|3r，|MC2|MC1|2b0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为教师备

7、选2.经过点 的双曲线的标准方程为_.设双曲线方程为mx2ny21(mn0).思维升华求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为 (0)，再根据条件求的值.跟踪训练2(1)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为 ，则该双曲线的标准方程是命题点1渐近线例3(1)由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 (a0，b0)下支的一部

8、分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为题型三双曲线的几何性质由题意知，b2，(2)设O为坐标原点，直线xa与双曲线C： (a0，b0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为A.4 B.8 C.16 D.32因为D，E分别为直线xa与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，b)，所以c2a2b22ab16(当且仅当ab时等号成立)，所以c4，所以2c8，所以C的焦距的最小值为8.思维升华命题点2离心率例4(1)(2021全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且F1PF260，|PF1|3

9、|PF2|，则C的离心率为设|PF2|m，则|PF1|3m，在F1PF2中，已知双曲线 (a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线E的左支上，且F1AF2120，|AF2|2|AF1|，则双曲线E的离心率为高考改编点A在双曲线E的左支上，左、右焦点分别为F1，F2，设|AF1|m，由|AF2|2|AF1|知|AF2|2m，由双曲线定义得|AF2|AF1|2mmm2a，在AF1F2中，|AF1|2a，|AF2|4a，F1AF2120，由余弦定理知，|F1F2|2|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|cos 1204a216a28a228a2，又|F1F2|2c，(2)(202

10、2滨州模拟)已知F1，F2分别是双曲线 (a0，b0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sinPF2F13sinPF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为A.(1,2) B.(1,3)C.(3，) D.(2,3)在PF1F2中，sinPF2F13sinPF1F2，由正弦定理得，|PF1|3|PF2|，又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以|PF1|PF2|2a，所以|PF1|3a，|PF2|a，在PF1F2中，由|PF1|PF2|F1F2|，得3aa2c，即2ac，又e1，所以1e0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点.若|PQ|

11、OF|，则C的离心率为如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设垂足为M，连接OP，由|OM|2|MP|2|OP|2，思维升华求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2a2b2和e 转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围).跟踪训练3(1)(多选)已知双曲线 (a0，b0)的离心率e2，C上的点到其焦点的最短距离为1，则A.双曲线C的焦点坐标为(0，2)B.双曲线C的渐近线方程为y xC.点(2,3)在双曲线C上D.直线mxym0(mR)与双曲线C恒

12、有两个交点直线mxym0即ym(x1)，恒过点(1,0)，当m 时，直线与双曲线C的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，D错误.KESHIJINGLIAN 课时精练1.双曲线9x216y21的焦点坐标为基础保分练12345678910111213141516123456789101112131415162.已知双曲线 (m0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为123456789101112131415163.若双曲线 的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于A.11 B.9 C.5 D.312345678910111213141516

13、方法一依题意知，点P在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得|PF2|PF1|236，所以|PF2|639.方法二根据双曲线的定义，得|PF2|PF1|236，所以|PF2|3|6，所以|PF2|9或|PF2|3(舍去).123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516A.双曲线C的实轴长为8B.双曲线C的渐近线方程为yC.双曲线C的焦点到渐近线的距离为3D.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为12345678910111213141516因为a216，所以a4,2a8，故A正确；因为a4，b3，所以双曲线C

14、的渐近线方程为双曲线C上的点到焦点距离的最小值为ca1，故D错误.123456789101112131415166.(多选)(2022潍坊模拟)已知双曲线C： 1(a0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为y x，P为C上一点，则以下说法正确的是A.C的实轴长为8B.C的离心率为C.|PF1|PF2|8D.C的焦距为1012345678910111213141516双曲线实轴长为2a8，12345678910111213141516由于P可能在C不同分支上，则有|PF1|PF2|8，12345678910111213141516A，D正确，B，C错误.7.(2021新高考全国)已知双

15、曲线C： 1(a0，b0)的离心率e2，则该双曲线C的渐近线方程为_.123456789101112131415168.设双曲线 的右顶点为A，右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_.1234567891011121314151612345678910111213141516因为a29，b216，所以c5.所以A(3,0)，F(5,0)，12345678910111213141516不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，MF1MF2.设|MF1|m，|MF2|n，由双曲线的定义知mn2a8.在RtF1MF2中，由勾股定理得m2n2(2c

16、)280，由得mn8.1234567891011121314151612345678910111213141516解得4或14(舍去)，1234567891011121314151612345678910111213141516(1)求双曲线C的标准方程；a2b2c2，由可得a25，b24，1234567891011121314151612345678910111213141516(2)直线l：ykxm(k0，m0)与双曲线C交于不同的两点P，Q，若|AP|AQ|，求实数m的取值范围.由题意知直线l不过点A.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点为D(x0，y0)，连接AD(图略

17、).12345678910111213141516整理得(45k2)x210kmx5m2200，12345678910111213141516由|AP|AQ|知，ADPQ，又A(0,2)，化简得10k289m，1234567891011121314151611.(多选)双曲线C： 1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是12345678910111213141516D.|PF|的最小值为2技能提升练故A正确；12345678910111213141516故C正确；|PF|的最小值即为点F到渐近线的距离，1234567891011121314151612.(

18、2022湖南师大附中模拟)已知双曲线C: 1(b0)，以C的焦点为圆心，3为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是12345678910111213141516又该圆的圆心为(c，0)，又b2c2a2c24，则(c24)c22，n0)，12345678910111213141516由A，B分l别为双曲线的左、右顶点，可得k1k2，则k1k21.14.已知双曲线C： 1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为原点，若以F1F2为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，且|F1P| |OP|，则C的渐近线方程为_.12345678910111213141516根据双曲线C： 1(a0，b0)的左、右焦点为F1，F2，O为原点，以F1F2为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，如图所示，12345678910111213141516所以在POF1中，由余弦定理可得12345678910111213141516拓展冲刺练12345678910111213141516A.双曲线C的一条渐近线方程为3x2y0D.OMN的面积为6如图，123456789101112131415161234567891011121314151616.双曲线C： 1(a0，b0)