(新高考)高考数学一轮复习课件第5章§5.3《平面向量的数量积》(含解析)

1、第五章考试要求1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.落实主干知识课时精练探究核心题型LUOSHIZHUGANZHISHI 落实主干知识1.向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作 则_(0)叫做向量a与b的夹角.2.平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把数量_叫做向量a与b的数量积，记作_.AOB|a|b|cos ab投影投影向量|a|

2、cos e4.向量数量积的运算律(1)abba.(2)(a)b(ab)a(b).(3)(ab)c_.acbc几何表示坐标表示数量积ab|a|b|cos ab_模|a|_|a|_夹角cos _cos _ab的充要条件ab0_5.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.x1x2y1y2x1x2y1y20ab的充要条件ab(R)_|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)x1y2x2y10常用结论1.平面向量数量积运算的常用公式(1)(ab)(ab)a2b2；(2)(ab)2a22abb2.2.有关向量夹角的两个结论已知向量a

3、，b.(1)若a与b的夹角为锐角，则ab0；若ab0，则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则ab0；若ab0，则a和b的夹角为锐角.()(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量.()(4)(ab)ca(bc).()1.(多选)(2022海南省临高二中模拟)设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论正确的是A.0a0B.abbc，则acC.ab0abD.(ab)(ab)|a|2|b|2设a，b的夹角为，依题意，(a2b)(2ab)0，则2a23ab2b20，故24323cos 2320，2.已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_

4、.3.已知向量a，b满足3|a|2|b|6，且(a2b)(2ab)，则a，b夹角的余弦值为_.TANJIUHEXINTIXING探究核心题型例1(1)(2021北京)a(2,1)，b(2，1)，c(0,1)，则(ab)c_；ab_.题型一平面向量数量积的基本运算0 3a(2,1)，b(2，1)，c(0,1)，ab(4,0)，(ab)c40010，ab221(1)3.2如图所示，四边形ABCD为平行四边形，教师备选解得t3，1M是BC的中点，D是AM的中点，ABC是边长为2的正三角形，M是BC的中点，AMBC，且BM1，思维升华计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：ab|a|b|cos.(

5、2)利用坐标运算，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义.跟踪训练1(1)(2021新高考全国)已知向量abc0，|a|1，|b|c|2，abbcca_.由已知可得(abc)2a2b2c22(abbcca)92(abbcca)0，1建立如图所示的平面直角坐标系，P为BC的中点.点P的坐标为(2,1)，点D的坐标为(0,2)，点B的坐标为(2,0)，例2已知向量a，b满足|a|6，|b|4，且a与b的夹角为60，则|ab|_，|a3b|_.题型二平面向量数量积的应用命题点1向量的模因为|a|6，|b|4，a与b的夹角为60，(ab)2

6、a22abb236241676，(a3b)2a26ab9b23672144108，例3(2020全国)已知向量a，b满足|a|5，|b|6，ab6，则cosa，ab等于命题点2向量的夹角|ab|2(ab)2a22abb225123649，|ab|7，例4(2021全国乙卷)已知向量a(1,3)，b(3,4)，若(ab)b，则_.命题点3向量的垂直方法一ab(13，34)，(ab)b，(ab)b0，即(13，34)(3,4)0，方法二由(ab)b可知，(ab)b0，即abb20，1.已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为教师备选设a与b的夹角为，(ab)b，(ab)

7、b0，abb2，|a|b|cos |b|2，又|a|2|b|，2.已知e1，e2是两个单位向量，且|e1e2| ，则|e1e2|_.1所以2e1e21，所以|e1e2|1.思维升华(1)求平面向量的模的方法公式法：利用|a| 及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解.思维升华(2)求平面向量的夹角的方法定义法：cos ，求解时应求出ab，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系；坐标法.(3)两个向量垂直的充要条件abab0|ab|ab|(其中a0，b

8、0).方法一设a(1,0)，b(0,1)，(2)(多选)(2021新高考全国)已知O为坐标原点，点P1(cos ，sin )，P2(cos ，sin )，P3(cos()，sin()，A(1,0)，则由题意可知，cos(2)，例5(多选)(2022东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示).假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|F1|F2|，且F1与F2的夹角为，则以下结论正确的是题型三平面向量的实际应用由题意知，F1F2G0，可得F1F2G，两边同时平方得|G|2|F1|2|F2|22|F1|F2|cos 2|F1|22|F1|2cos

9、，当时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以0，)，故B错误.若平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F1|1 N，|F2| ，F1与F2的夹角为45，求：(1)F3的大小；教师备选三个力平衡，F1F2F30，(2)F3与F1夹角的大小.方法一设F3与F1的夹角为，0，方法二设F3与F1的夹角为，由余弦定理得思维升华用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3(2022沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|1|10 km/h，水流速度的大小为|2|6 km/h.设1与2的夹角为120，北岸的

10、点A在码头A的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应A.在A东侧 B.在A西侧C.恰好与A重合 D.无法确定建立如图所示的平面直角坐标系，说明游船有x轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A东侧.拓展视野极化恒等式例1在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则16例2已知AB为圆x2y21的一条直径，点P为直线xy20上任意一点，则 的最小值是_.1如图所示，由极化恒等式易知，当OP垂直于直线xy20时，例3已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是如图所示，M为AB的中点，由极化恒等式有点C的轨迹是以AB为直径的圆

11、，且点O也在此圆上，KESHIJINGLIAN 课时精练1.(2020全国)已知单位向量a，b的夹角为60，则在下列向量中，与b垂直的是A.a2b B.2ab C.a2b D.2ab基础保分练12345678910111213141516由题意得|a|b|1，设a，b的夹角为60，对A项，(a2b)bab2b2对B项，(2ab)b2abb212345678910111213141516对C项，(a2b)bab2b212345678910111213141516因为bc，所以cb(2，)(R)，又ac4224，2.(2022石家庄模拟)已知向量a(2，2)，b(2,1)，bc，ac4，则|c|等

12、于123456789101112131415163.(2022沈阳模拟)若两个非零向量a，b满足|ab|ab|2|a|，则ab与b的夹角为12345678910111213141516|ab|ab|2|a|，等号左右同时平方，得|ab|2|ab|24|a|2，即|a|2|b|22ab|a|2|b|22ab4|a|2，所以ab0且|b|23|a|2，123456789101112131415164.已知a(2,1)，b(k，3)，c(1,2)，若(a2b)c，则与b共线的单位向量为12345678910111213141516由题意得a2b(22k,7)，(a2b)c，(a2b)c0，即(22k

13、,7)(1,2)0，22k140，解得k6，b(6，3)，123456789101112131415165.(多选)(2022盐城模拟)下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的有A.(ab)cacbcB.(ab)ca(bc)C.ab|a|b|D.|ab|a|b|12345678910111213141516根据数量积的分配律可知A正确；选项B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；根据数量积的定义，可知ab|a|b|cosa，b|a|b|，故C正确；|ab|2|a|2|b|22ab|a|2|b|22|a|b|cosa，b|a|2|b|22|a|b|(|a|b|)2，故|ab|a

14、|b|，故D正确.123456789101112131415166.(多选)已知向量a(2,1)，b(1，1)，c(m2，n)，其中m，n均为正数，且(ab)c，则下列说法正确的是A.a与b的夹角为钝角B.向量a在b上的投影向量为C.2mn4D.mn的最大值为212345678910111213141516对于A，向量a(2,1)，b(1，1)，则ab2110，又a，b不共线，所以a，b的夹角为锐角，故A错误；对于B，向量a在b上的投影向量为12345678910111213141516对于C，ab(1,2)，若(ab)c，则n2(m2)，变形可得2mn4，C正确；对于D，由2mn4，且m，n

15、均为正数，12345678910111213141516当且仅当m1，n2时，等号成立，即mn的最大值为2，D正确.123456789101112131415167.(2021全国甲卷)已知向量a(3,1)，b(1,0)，cakb.若ac，则k_.8.(2020全国)设a，b为单位向量，且|ab|1，则|ab|_.12345678910111213141516将|ab|1两边平方，得a22abb21.a2b21，12ab11，即2ab1.12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151610.(2022湛江

16、模拟)已知向量m( sin x，cos x1)，n(cos x，cos x1)，若f(x)mn.(1)求函数f(x)的单调递增区间；1234567891011121314151612345678910111213141516(2)在RtABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A90，f(C)0，c ，CD为BCA的角平分线，E为CD的中点，求BE的长.1234567891011121314151612345678910111213141516技能提升练11.(2022黄冈质检)圆内接四边形ABCD中，AD2，CD4，BD是圆的直径，则 等于A.12 B.12C.20 D.20如图所示，

17、由题知BADBCD90，AD2，CD4，12345678910111213141516A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.三边均不相等的三角形12345678910111213141516所以BAC的平分线垂直于BC，所以ABAC.12345678910111213141516所以ABC为等边三角形.1234567891011121314151613.(2022潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平夹角均为45，|F1|F2| 则物体的重力大小为_ N.1234567891011121314151620物

18、体的重力大小为20 N.12345678910111213141516123456789101112131415161ABC为边长为1的等边三角形，DEAB，DC12x，DFAB，DFC为边长为12x的等边三角形，DEDF，4x24x(12x)cos 0(12x)21，123456789101112131415161234567891011121314151615.(多选)定义一种向量运算“”：ab (a，b是任意的两个向量).对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论，正确的是A.abbaB.(ab)(a)b(R)C.(ab)cacbcD.若e是单位向量，则|ae|a|1拓展冲刺练12345678910111213141516当a，b共线时，ab|ab|ba|ba，当a，b不共线时，ababbaba