(新高考)高考数学一轮复习课件第5章§5.5《复　数》(含解析)

1、第五章考试要求1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.落实主干知识课时精练探究核心题型LUOSHIZHUGANZHISHI 落实主干知识1.复数的有关概念(1)复数的定义：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中 是实部， 是虚部，i为虚数单位.(2)复数的分类：复数zabi(a，bR)实数(b 0)，虚数(b 0)(其中，当a 0时为纯虚数).ab(3)复数相等：abicdi (a，b，c，dR).(4)共轭复数：abi与cdi互为共轭复数 (a，b，c，dR).(5)复数的模：向量 的模叫

2、做复数zabi的模或绝对值，记作 或 ，即|z|abi| (a，bR).ac且bdac，bd|abi|z|2.复数的几何意义(1)复数zabi(a，bR) 复平面内的点Z(a，b).(2)复数zabi(a，bR) 平面向量 .3.复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则：设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi) ；减法：z1z2(abi)(cdi) ；乘法：z1z2(abi)(cdi) ；(ac)(bd)i(ac)(bd)i(acbd)(adbc)i(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.2.baii(abi)(a，b

3、R).3.i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN).4.i4ni4n1i4n2i4n30(nN).5.复数z的方程在复平面上表示的图形(1)a|z|b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；(2)|z(abi)|r(r0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆.常用结论判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)复数zabi(a，bR)中，虚部为b.()(2)复数可以比较大小.()(3)已知zabi(a，bR)，当a0时，复数z为纯虚数.()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()1.已知复数z满足(2i)z1i，其

4、中i是虚数单位，则z在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.复数z(3i)(14i)，则复数z的实部与虚部之和是_.4z(3i)(14i)312ii4711i，故实部和虚部之和为7114.3.若z(m2m6)(m2)i为纯虚数，则实数m的值为_.3TANJIUHEXINTIXING探究核心题型例1 (1)(2021浙江)已知aR，(1ai)i3i(i为虚数单位)，则a等于A.1 B.1 C.3 D.3方法一因为(1ai)iai3i，所以a3，解得a3.题型一复数的概念A.i B.i C.1 D.1z(1i)(2i)(1i)，z2i，1.(2020全国)若

5、(1i)1i，则z等于A.1i B.1i C.i D.i教师备选2.(2020全国)若z1i，则|z22z|等于A.0 B.1 C. D.2方法一z22z(1i)22(1i)2，|z22z|2|2.方法二|z22z|(1i)22(1i)|(1i)(1i)|1i|1i|2.思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部.跟踪训练1(1)(2022衡水中学模拟)已知 1yi，其中x，y

6、是实数，i是虚数单位，则xyi的共轭复数为A.2i B.2iC.12i D.12ixyi2i，其共轭复数为2i.例2(1)(2021新高考全国)已知z2i，则z( i)等于A.62i B.42iC.62i D.42i因为z2i，题型二复数的四则运算(2)(多选)设z1，z2，z3为复数，z10.下列命题中正确的是A.若|z2|z3|，则z2z3B.若z1z2z1z3，则z2z3C.若 2z3，则|z1z2|z1z3|D.若z1z2|z1|2，则z1z2由|i|1|，知A错误；z1z2z1z3，则z1(z2z3)0，又z10，所以z2z3，故B正确；|z1z2|z1|z2|，|z1z3|z1|z

7、3|，又 2z3，所以|z2| 2|z3|，故C正确，令z1i，z2i，满足z1z2|z1|2，不满足z1z2，故D错误.(2020新高考全国) 等于A.1 B.1 C.i D.i教师备选2所以z4的虚部是2.思维升华(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算.(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.跟踪训练2(1)(2021全国乙卷)设iz43i，则z等于A.34i B.34i C.34i D.34i方法一(转化为复数除法运算)因为iz43i，方法二(利用复数的代数形式)设zabi(a，bR)，则由iz43i，可得i(abi)43i，即bai43i，方法三(巧用同乘

8、技巧)因为iz43i，所以izi(43i)i，所以z4i3，所以z34i.1例3(1)(2021新高考全国)复数 在复平面内对应的点所在的象限为A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限题型三复数的几何意义(2)(2020全国)设复数z1，z2满足|z1|z2|2，z1z2 i，则|z1z2|_.方法一设z1z2abi，a，bR，因为|z1|z2|2，所以|2z1|2z2|4，22，得a2b212.如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，1.(2020北京)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则iz等于A.12i B.2i C.12i D.2i教师备选由题意知，z

9、12i，izi(12i)2i.2.(2019全国)设复数z满足|zi|1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A.(x1)2y21 B.(x1)2y21C.x2(y1)21 D.x2(y1)21z在复平面内对应的点为(x，y)，zxyi(x，yR).|zi|1，|x(y1)i|1，x2(y1)21.思维升华由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.跟踪训练3(1)如图，若向量 对应的复数为z，则z表示的复数为A.13i B.3iC.3i D.3i由题图可得Z(1，1)，即z1i，任何一个复数zabi都可

10、以表示成zr(cos isin )的形式.其中，r是复数z的模；是以x轴的非负半轴为始边，向量 所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数zabi的辐角.拓展视野复数的三角形式我们把r(cos isin )叫做复数的三角形式.对应于复数的三角形式，把zabi叫做复数的代数形式.复数乘、除运算的三角表示：已知复数z1r1(cos 1isin 1)，z2r2(cos 2isin 2)，则z1z2r1r2cos(12)isin(12).例2(多选)已知i为虚数单位，z1 (cos 60isin 60)，z22 (sin 30icos 30)，则z1z2的三角形式不为下列选项的有A.4(cos 90is

11、in 90)B.4(cos 30isin 30)C.4(cos 30isin 30)D.4(cos 0isin 0)4(cos 360isin 360).KESHIJINGLIAN 课时精练1.(2022福州模拟)已知i是虚数单位，则“ai”是“a21”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件基础保分练12345678910111213141516i是虚数单位，则i21，“ai”是“a21”的充分条件；由a21，得ai，故“ai”是“a21”的不必要条件；故“ai”是“a21”的充分不必要条件.2.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z13i，则z

12、1z2等于A.10 B.10 C.8 D.8z13i，z1，z2在复平面内所对应的点关于虚轴对称，z23i，z1z29110.12345678910111213141516123456789101112131415164.已知i是虚数单位，则复数zi2 023i(i1)在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限因为zi2 023i(i1)i1i12i，所以复数z在复平面内对应的点是(1，2)，位于第三象限.123456789101112131415165.(2022潍坊模拟)在复数范围内，已知p，q为实数，1i是关于x的方程x2pxq0的一个根，则pq等于A.2

13、 B.1 C.0 D.1因为1i是关于x的方程x2pxq0的一个根，则1i是方程x2pxq0的另一根，12345678910111213141516解得p2，q2，所以pq0.6.(多选)(2022苏州模拟)若复数z满足(1i)z53i(其中i是虚数单位)，则A.z的虚部为iB.z的模为C.z的共轭复数为4iD.z在复平面内对应的点位于第四象限1234567891011121314151612345678910111213141516z的共轭复数为4i，C错误；z在复平面内对应的点为(4，1)，位于第四象限，D正确.12345678910111213141516i8.(2022温州模拟)已知复

14、数zabi(a，bR，i为虚数单位)，且 32i，则a_，b_.123456789101112131415161512345678910111213141516即m2时，复数z是实数.12345678910111213141516虚数；当m22m0，且m0，即m0且m2时，复数z是虚数.12345678910111213141516纯虚数.即m3时，复数z是纯虚数.10.如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,32i，24i，试求：1234567891011121314151612345678910111213141516(3)B点对应的复数.123456789101112

15、13141516B所对应的复数为16i.11.(多选)欧拉公式exicos xisin x是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是A.复数e2i对应的点位于第二象限 B. 为纯虚数12345678910111213141516技能提升练对于A，e2icos 2isin 2，123456789101112131415161234567891011121314151612.(多选)(2022武汉模拟)下列说法正确的是A.若|z|2，则z 4B.若复数z1，z

16、2满足|z1z2|z1z2|，则z1z20C.若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等D.“a1”是“复数z(a1)(a21)i(aR)是虚数”的必要不充分 条件12345678910111213141516若|z|2，则z |z|24，故A正确；设z1a1b1i(a1，b1R)，z2a2b2i(a2，b2R)，由|z1z2|z1z2|，可得|z1z2|2(a1a2)2(b1b2)2|z1z2|2(a1a2)2(b1b2)2则a1a2b1b20，而z1z2(a1b1i)(a2b2i)a1a2b1b2a1b2ib1a2i2a1a2a1b2ib1a2i不一定为0，故B错误；12345678

17、910111213141516当z1i时，z22i为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C错误；若复数z(a1)(a21)i(aR)是虚数，则a210，即a1，所以“a1”是“复数z(a1)(a21)i(aR)是虚数”的必要不充分条件，故D正确.1234567891011121314151612345678910111213141516112345678910111213141516(ai)(1i)(b2i)aaii1b2i(a1b)(a1)i，a2b21.14.(2022上海市静安区模拟)投掷两颗六个面上分别刻有1到6的点数的均匀的骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数为 虚数的概率为_.1234567891011121314151612345678910111213141516即mn，故有66630(种)情况，15.(2022青岛模拟)已知