例析勾股定理

1、PAGE5例析勾股定理勾股定理是揭示三角形三边之间特有的数量关系，在直角三角形中我们可以利用勾股定理解决以下问题：（1）已知两边求第三边；（2）已知一边求另外两边的关系；（3）关于线段平方的问题。下面我们就一起来来运用勾股定理解决一些常见的问题。例1：如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为_mm分析：通过图形可以知道ABC是直角三角形，AC，BC的长度分别为90mm和120mm，在RtABC中AB2=AC2BC2=9021202，所以AB=150答案：150。点拨：本题关键是构造出RtABC，再利用勾股定理即可求得AB的长。变式

2、练习1：如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草。例2：如图3，分别以RtABC的三边AB，BC，CA为直径向外作半圆设直线AB左边阴影部分的面积为S1，右边阴影部分的面积和为S2，则（）图3AS1=S2BS1S2CS1S2图3分析：在RtABC中，AB2=AC2BC2，而S1=，S2=，所以S1=S2。答案：A。点拨：本题利用圆的面积公式以及勾股定理解决问题。关键是能通过勾股定理弄清楚三个半圆的半径之间的关系。变式练习2：如图4，分别以三角形三边为边向外作三个正方形，如果较小的两个正方形面积之和等

3、于较大的正方形面积，则这个三角形为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D锐角三角形或钝角三角形例3：如图5，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）图5A4B6C16D图5分析：通过观察可以知道这三个正方形的三边可以放在同一个直角三角形中，通过勾股定理即可知道这三正方形的面积关系为ac=b，所以b=511=16。答案：C。点拨：本题将三个正方形的三边放到一个直角三角形中，从而解决问题。变式练习3：如图6，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是a，则图中四个小正方形A，B，C，D的面积之和是图6例4:如图7，已知RtA

4、BC中，C=90，AC=4cm，BC=3cm。现将进行折叠，使顶点A，B重合，则折痕DE=cm。图7分析：C=90，AC=4 cm，BC=3 cm，AB=5cm，由折叠得AE=BE=cm，AD=BD，设AD=，则CD=4-，在RtBCD中，BD2=CD2BC2，即2=4-232，解得=cm，在RtADE中，AD2=AE2DE2，即=DE2，所以DE图6图7答案：DE=cm。点拨：由折叠可以得到图形的全等，从而得到线段的相等以及角的关系。本题将线段放在RtADE中，通过勾股定理求出AD的长，进而求出DE的长。变式练习4：如图8所示，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于

5、E，交BC于F，边AB折叠后与BC交于点G。如果M为CD中点，试说明DE：DM：EM=3：4：5。图8例5：如图9，滑杆在机械槽内运动，ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？图9分析：图8图9答案：设AE的长为米，依题意得CE=AC-。AB=DE=，BC=，C=90，AC=2。BD=，在RtECD中，=。2-=,=。即AE=。即梯子下滑0.5米点拨：在梯子滑动的过程始终保持长度不变是解决本题的关键。变式练习5：如图10一架长5米的梯子AB，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底3米。如果梯子的顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米图101、42、B3、a24、解：由折叠可知：A、M关于EF对称，所以EM=AE=ADDE，又因为M是CD中点，CD=AD，所以DM=AD。在RtDEM中，DE2DM2=EM2，所以DE2AD2=（ADDE）2，所以DE=AD，EM=ADDE=AD，所以DE：DM：EM=AD