导数与函数的极值最值课件

1、第三节导数与函数的极值、最值一、函数的极值1定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值f(x0)；如果对x0附近所有的点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值f(x0)极大值和极小值统称为极值2求函数yf(x)在某个区间上的极值的步骤：(1)求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根x0；(3)检查f(x)在方程f(x)0的根x0的左右的符号；“左正右负”f(x)在x0处取极大值；“左负右正”f(x)在x0处取极小值(注：导数为零的点未必是极值点)3特别

2、提醒：(1)x0是极值点的充要条件是x0点两侧导数异号，而不仅是f(x0)0，f(x0)0是x0为极值点的必要而不充分条件(2)给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f(x0)0，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，这一点一定要切记！(3)在求函数极值的步骤中，第二步，蕴含着比较根的大小问题，第三步，通常总结成表二、函数的最大值和最小值1定义：函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”2求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤：求函数yf(x)在(a

3、，b)内的极值(极大值或极小值)；将yf(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值(注：第一步中其实不必求出极值，只要找到导数为零点处的函数值即可；闭区间上的连续函数必有最值)3特别提醒：利用导数研究函数的单调性与最值(极值)时，要注意列表！要善于应用函数的导数，考察函数单调性、最值(极值)，研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等相关问题三、解决优化问题的基本思路1函数f(x)x33x23x5的极值点的个数是()A0 B1 C2 D3解析：f(x)3x26x33(x1)20对xR都成立，f(x)在R上是增函数，故无极值答案：A2函数f(x)的定义域为(

4、a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为()A1B2C3D4解析：极值点在f(x)的图象上应是f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，且极小值点的左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方，故函数f(x)只有一个极小值点(图中B点)答案：A答案：D4函数f(x) x34x4的极大值点是_解析：f(x)x24(x2)(x2)，令f(x)0得，x12，x22.当x2时，f(x)0，2x2时，f(x)0，f(x)在x2处取得极大值答案：2答案：3利用导数求函数极值、最值【例1】已知x3是f(x)x3ax23x的极值点，求f(x)在x1，a上的最

5、小值和最大值【思路点拨】利用x3是极值点进行求解x1,3)3(3,4f(x)0f(x)单调递减极值单调递增解：因f(x)x24ax3a2，且0a1，当f(x)0时，得ax3a；当f(x)0时得xa或x3a.f(x)的单调递增区间为(a,3a)，单调递减区间为(，a)和(3a，)故当x3a时，f(x)有极大值，其极大值为f(3a)1.方法技巧：（1）熟悉函数极值点叙述中的隐含条件.如“f(x)在x=a时取得极大值b”即“f(a)=0，f(a)=b”；“x=a是函数f(x)的极值点”也即“f(a)=0”；“x=a是f(x)在m，n上的极值点，”也即“f(a)=0，或x=a是方程f(x)=0在m，n

6、上的一个根”等.（2）求f(x)=0的根，列表呈现x在不同区间变化时，f(x)的符号与函数f(x)的函数值变化情况是求函数极值、最值的基本步骤，也是关键步骤；当方程f(x)=0的根中含有字母或给定区间端点处含有字母时，求解的基本步骤不变，只是增添了讨论或运算量增大了.可化为讨论一元二次方程解的问题【例2】已知函数f(x)x33ax23x1.(1)设a2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围【思路点拨】求函数的单调区间和极值，都应从研究函数的导函数入手【变式探究】2.已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)在区间(1,1)上有

7、极值，求a的取值范围方法技巧：函数的导函数是二次函数时，函数的单调性，极值问题，常化为二次函数的根的讨论问题，如“函数有无极值或有极值时应满足的条件”化为“二次函数有无实根或有实根时应满足的条件”；也有化为“二次函数的根的分布问题”.解题时应注意，当导函数的判别式等于零时，导函数虽然有根，但导函数在除该点外的其他点函数值是同号的，则函数在该点处仍无极值.导数与函数的最值【思路点拨】(1)求f(x)；(2)转化为求f(x)在1，e1的最大值；(3)转化为f(x)x2xa恰有两根问题求解【变式探究】3.设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值(1)求a、b的值；(2)若对任意的

8、x0,3，都有f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0.所以，当x1时，f(x)取得极大值f(1)58c.又f(0)8c，f(3)98c，则当x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c.因为对于任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，所以98cc2，解得c9.因此c的取值范围为(，1)(9，)方法技巧：(1)不等式恒成立问题可转化为函数的最值问题求解；(2)方程的解可转化为图象交点问题，图象零点问题也可转化为方程解的个数问题，这些问题可利用导数，通过研究函数的极值或最值求解生活中的优化问题【思路点拨】(1)易知QPSt，根据函数Q(t)的解析式，用适当的方法求Q(t)的最大值(2)将甲方净收入

9、表示成S的函数，再用求函数最值的方法解决【变式探究】4.(2011年江苏卷)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值方法技巧：利用导数解决生活中的优化问题时：(1)认真审题,构建函数模型,并确定

10、函数的定义域;(2)注意求得结果的实际意义,不符合实际的值应舍去；(3)如果目标函数在定义域内只有一个极值点,那么根据实际意义该极值点就是最值点.类型误认为导数为零的点就是极值点【例】已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，求f(2)的值【分析】本题求出a,b的值后,如不对点x=1两侧导数符号进行检验,就易出现增根,导致解答看似完美,实则错误.因此,在求出导数为0的点后,一定要对该点(驻点)两侧导数符号作进一步研究,才能确定是否是极值点. 因此,导数为0的点不一定是极值点,可导函数在某点处取得极值的充要条件是其导数在极值点的两侧异号.一、选择题1(2011年重庆卷改编)函数yx3

11、3x2的极小值为() A0B4 C4 D2解析：f(x)3x26x3x(x2)，f(x)在(，0)和(2，)递减，在(0,2)递增f(x)极小值f(0)0.答案：A2(2011年浙江卷)设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)，若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为yf(x)的图象是()解析：令g(x)f(x)ex，则g(x)f(x)exf(x)ex，x1为函数g(x)的一个极值点，g(1)f(1)e1f(1)e10.f(1)f(1)D选项中，f(1)0，f(1)f(1)0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于() A2 B3 C6 D9答案：D答案：C二、填空题答案：27f(x)x(xc)2在x2处有极大值，则常数c的值为_答案：6三、解答题8.如图所示，三次函数f(x)x3ax2x在区间(1,1)内有极大值和极小值，求实数a的取值范围是(2)y6x266x1086(x211x18)6(x2)(x9)令y0得x2(x6，舍去)或x9.显然，当x(6,9)时，y0，当x(9，)时，y0.函数y2x333x2108x108在(6,9)上是关于x的增函数，在(9，)上是关于x的减函数当x9时，y取最大值，且ymax135.售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元11(20