数学分析课本数分9到22补充包

1、第十八章 极值与条件1 极值与最小二乘（1）f(x,y)(xy1)2（2）f(x,y)3axyx3 y3 (a1xya1xyabf(x,y)e2x(x y2 2y)f(x,y)sinxcosycos(xx2 yf (x,y) x2 yfx(x,y) 2(x y1) （0 x, y 2解（1）由 解得稳定点为 y x(x,y) 2(x y1)0 fxx 2fxy 2fyy 2 f(xy0y x1f(xy0y x1f(xy取极小值也是最小值0 （2）由(x,y) 3ay3x2 0解出稳定点为(0,0), (aafy(x,y)3ax3y2 0在点(0,0)a11 fxx(0,00a12 fxy(0,

2、0)3aa22 fyy(0,00Da11a22 a2 9a2 0，故(0,0) 不是极值点在点(aa) ，a11 fxx(a,a)6a，a12 fxy(a,a) 3a，a22 fyy(a,a)6aDa11a22 a2 27a2 0a11 6a 0，故 f (x, y在(aa取极大值 f (aa) a3x2y（3）令fx(x,y) x(1 a2 （3）令0fy(x,y) y(1 a2 b2 0P1 ， , b ， P3 ( a 3， 3( a , b 3333335P ( a , b )3333335P1 (0,0) P1 333333a3333a3333333333333323 4a 0, ,

3、 4b 0且Da a2 402311 f(xy a , b 3ab3933f (x,y) e2x(12x4y2y2) 033（4）令 解得稳定点fy(x,y)2e2x(1 y)0a11 fxx(2,1)2e0,a22 fyy(2,1)2e0,a12 fxy(2,1)0Da a2 4e2 0f(xy在(1,1) 1e11 fx(x,y)cosxsin( x y)0 f（5）令f 解得稳定点为)(x,y)sin ysin( x y)03 3a113fxx(, ) 60,a22 fyy(, ) 630,a12 fxy(, ) D2 9 0f(xy在 (,取极大值3 3 x2 yx2 yf (x,yx

4、2 yx2 yx2 yx2 yx2 yx2 y0 1由于 f (xyx2 y2 1上的点取值 0，而 f (xy) 0，故 f (xy) 在圆周x2 y2 1上的点取极小值也是最小值0P1(0,0 x2 yx2 f (x, y) (1)2 1 f (0,0)x2 yx2 y ax2 bxc，观测得一组数据(ix iy ), i 1, 2, n，利用最小二乘法，求系数 a,b, c 所满足的三元一次方程组解 f(a,bc) n (ax2 bx c y )2 a,bc并令它们等于0 bxi c yi)xi 0bxi c yi)xi 0bxi c yi) 0 x xi yi a x3 b x2 c

5、n x n x y n n i n i n i i ax2 bx cn y 已知n 个点的坐标分别A1(x1y1), A2x2y2, An(xnyn，试求一点，使它与这 n 个点距离的平方和最小解 f (x,y) (x x )2 (y y )2 2(x xi) 0 2(y yi) 01 1 得稳定点xi yi)(x, y)由于实际问题有最小值，而稳定点又唯一，故稳点即为最小值点因而点(xyn（1）f(x,y) x2 y2 , D (x,y)x2 y2 （2）f (x,y) x2 xy y2 , D (x,y) x y （3）f (x, y,z) fx(x,y) 2x 解（1）令 (xy) 2y

6、 0解得 D 内的唯一稳定点(0,0) 又a11fxx(0,0)20,a22 fyy(0,0)20,a12 fxy(0,0)0且D 2 40，故在(0,0)点，f(x,y)达不到极值，在边界x2 y2 4上f(x,y) x2 y2 x2 (4x2) 2(x2 2)(x), x 2令(x4x0 x 0，且(x40，故(xx 0取极小值，这就是函数 f (x, y) 的最小值， 其值为 f (0,2) 4 ， 在边界点 x f (x,y,z) a2x(axbycz)e(x2y2z2 ) 0 x2 2 fy(x,y,z)b2y(axbycz)e(x y z ) 02y2z2fz(x,y,z)c2z(

7、axby 0c2(a2c2(a2 b2 c22(a2 b2 c2(a2 b2 c22(a2 b2 c2a2(a2 b2 c2a2(a2 b2 c2b2(a2 b2 c2c2(a2 b2 c2a2 b2 c2a2b2a2 b2 c2a2b2 c2e 2，最小值为f(P2)e 2f(xyAx22BxyCy22Dx2EyFR2有最小值，无最大值其A 0, B2 AC ；f(xy xy 在0 x, yfx(x,y) 2Ax2By 2D 0证明（1）令fy(x,y) 2Bx 2Cy2E 0 BB ACB2 0C故以上方程组有唯一一组解，即有唯一稳定点 P0 x0 y0又因a11 fxx(P0) 2A0,

8、a22 fyy(P0)2C,a12 fxy(P0)2BDa11a22 a2 4B2 4AC 0f(xyP f(xyR2令f(x,y) y x10fy(x,y) x y2 0 a11 fxx(P0)20,a22 fyy(P0)20,a12 fxy(P0)1且Da a2 30，所以f (x,y) xy 1 在P (1,1)取极小值，又极小值11 f(xy在0 xy, F(x0,y0,z0) 0，Fz(x0,y0,z0) 0F(xyz0确定的隐函z f(xy在(x0y0由x2 y2 z2 2x2y4z10z f(xy解 取极值的必要条件为在(x0y0 f(x0,y0) Fx(x0,y0,z0) 0

9、x (x ,y F (x , y ,z 0 f(x ,y F (x ,y ,z 0 0 0(x ,y 0 Fz(x0, y0,z0Fx(x0y0z00Fy(x0y0z00为在(x0y0F(xyz0两边x, y二次求导，F F z 0 Fy 0z 2Fxx Fxy x Fzx x Fzz(x) Fz x2 0z 2Fxy Fxz y Fzy x Fzz x y Fz xy 0z 2Fyy Fyz y Fzy y Fzz(y并利用在(x y z 0z 0Fz y2 02(x ,2 0 Fxy(x0,y0,z022F (x ,y ,z F (x ,y ,z (x0,y0(x0,y02(x2Fyy(x

10、0,y0,z0)Fz(x0, y0,z0因此在(x0 y0 z f (xy(Fxx(x0,y0,z0 )( Fyy(x0,y0,z0)( Fxy(x0,y0,z0Fz(x0, y0,z0Fz(x0, y0,z0Fz(x0, y0,z0,z0)F 00000000 F 00000000,y ,z (x , ,z ) 0即F (x ,y ,z (x ,y ,z ) F2(x ,y ,z ) 0 且当 Fxx (x0,y0,z0 ) 0 （FFz, ,z0Fyy (x0y0z0 ) 0 Fxx (x0y0z0) 0（或 Fyy (x0y0z0) 0Fz(x0, y0,z0Fz(x0, y0,z0Fz

11、(x0, y0,z0Fxx(x0y0z0Fyy (x0y0z0F2x0y0z00取极值，为0 F(xyz x2 y2 z2 2x2y4z10，则Fx(x,y,z) 2x2 0(x,y,z) 2y2 0y Fxx 2, Fxy 0, Fyy 2因 为 D F F2 4 0 （在 P 与 ）， 且 F (P) (2z4)| 8 xx 2Fz(P22z4)|P 82由于Fxx (P1) 2 0P11P25226p(p(px)(p y)(p(2px p(px)(p y)(x y 解得稳定点2p, 2p由于驻点唯一，实际问题又有最大值，故最大值点为2p, 2p2p 这时z ，即在已知周长为 2 p 的一

12、切三角形中，面积最大的为等边三角形3911y由前两式得xy，代入最后一式解得稳定点P ( 22)与P 2 2)F(xy) x2 y2 1F (xy) 2yP , P 22222222所以函数 g x 1 取极小值， 这等价于 1 2 x2 y2 2处取得条件极小值f) 12P0(2, LagrangeL(xyz) x2y2z(x2 y2 z2 1)Lx 12x 0LL 22y 022z 0 x2y2z2 1yz 2xP(12,)，P (121 3 3 F(xyzx2y2 z2 1F (xyz 2z P P 均不等0 ，故方x2 y2 z2 1P P z z(xy，g(x,y) x2y2z(x,

13、y) g 12z 1 2x ，g 22z 2 2y 2g 2z 2x x 2(x2 z222x 2xy zz2z2y ，xy z z2g y 2(y2 z2) g在(1,2yzz 32 180 15 0 ，因此 g(xy) 4( , ) f (xyz) 1 22f(1, 22) 3P1( 3 1 3 函数g在( 3 a12 2 180621 1 且 0，故g(x,y)在, )处取极小值，这等价于f (x,y,z)在P , 3 1 3 处取得条件极小值f) 33 (x y2)，x L xx 0Ly 02yx y2 01由前两式得 1 1 x2 y2yxx y1（yx y2F(xy x y2Fy(

14、xy) 1 0 x y201一确定可微函数y y(x)，令g(x,y) 1x 1d2g 2 dy 2 2 y2(x) yy3 ，yx 1d2d240g(xx1f(xy在(1,1)Lagrange L(xyz) xyz (x2 y2 z2 1) (x y z)Lx yz21x2 0L xz21y2 0L x2 y2 z2 1xy zx y 21x z 21y z 21x y z不x y 21x z 21y z 21，这时，x y ，z 或61x z ，y 61或61y z ，x6116f(xyz) xyz,x2 y2 z2 1x y z 0 x, y, z161, 1 . 2 P2262666若

15、记 F(xyz x2 y2 z2 1G(xyz x yz66(F,G) 22z 2(y z)(y,x2 y2 z2 P2 点均不等于0 ，故方程组x y z y y(x), z z(xg(x) xy(x)z(x，由约束条件dy yz xz ，dz yxz z dg yzxdy z xydz yz2 y2zx2zxz2 xy2 x2，z d2g 4(xz3 yz3 y3zxy3 x2y2)2(y4 z4)12xyz(y166, 1 66x 1 26626(z 660gx 6d2d2x 6f1) 626626dd2 6在P2)对应x ，6x 66 0g x f同样函数f (x,y,z)在与) 6

16、66)两点取条件极小66662616)与)两点取条件极大662616Lagrange函数L(xyax2by2 2hxy(x2 y2 1)，Lx 2ax2hy2x 0Ly 2by2hx2y 0 x2 y2 1x2 y2 1xy不全为0 xy的线性方程组的系数矩阵必等于0 即aAh 2 (ab)abh2 0当(ab)2 4h2 0 ，即当a b 且h 0 时，所研究的函数为常数，h ( 221(ab)24h20时方程（*）必有两个不等的实根，记为1,2 (1 h ( 221x1,2 x3,4 (1(2，y1,2 h ( h ( 222(1h h ( 221(2h h ( 222相应地，有f(xy

17、ax2 by2 2hx y ax hy )x hx byy ，由方程可1 ax1 hy1 1x1 , hx1 by1 1y1f(x ,y ) x 2 y 2 1 1 同理可得 fx2y2 1 ，而f(x3y3 f(x4y42f 在单位圆上连续且不为常数，故必取得最大值和最小值且不相等这里稳定点取四个(xi, yi) (i 1, 2, 3, 4) ，而且f (x1, y1) f (x2, y2) 1，f (x3,y3) f(x4,y4)2xx1,2 , y y1,2f ax2 by2 2hxy取最小值1，因而也是极小值；x x3,4 , y y3,4时，函数 f (xy取最大值 2，因而也是极大

18、值L(x,y,z)x2 y2 z2 1(x2 y2 z2)2 a2x2 b2y2 c2z22(lx my1aa2x2 b2y2 c2z求f xmynzp在条xyza，a0，m0，n0，p0，x0，y0z 0解 Lagrange L(xyz) xmynzp (x yzamxm1ynzp 0nxmyn1zp 0 pxmynzp1 0 x y z a xmynzp x y z x y z ka x y z k(mn p)，kmn ，故xmn ，y mn ，zmn 记对应点为P0 P0f x yz ax y a z 0 x z a y 0y z ax mn mm nn ppamn mn mn f f(

19、P0 (mn p)mnp z 1(xn ynx y l （l 0n 1）2a0b0n1 an 2解 L(xy 1(xn yn(x yl，2nxny2 0l2 0 x y 2lx y l fx0y0，故而将点l 2较l ) 与边界点(0,l), (l,0) 2f(0,l) f(l,0) 1ln (l)2 f(l ,l)（n 1 f z(xy12yn x y l)2， 即有xn (l（x y lx 0y 0时ab an 下面证明（a0b 0n 1时2ab 0a 0b 0且a,b不同时为0ab l ,，则l 0an (l(ab)n设长方体的长、宽、高分别为x,y,z，则体积V xyz，而设其表面积为

20、s，2(xyxz yz) s（常数L(xyz) xyz2(xy xz yzs，从方程Lx yz2(y z) 0 xz2(x z) 0 xy2(x y) 02(xyxzyz)ss6x y z s6解 xyzs2(xyxz 其体积为V （常数xyzV LagrangeL(x,y,z)2(xyxz yz)(xyzV)Lx 2(y z)yz 0 2(x z)xz 0 2(x y)xy 03 x y z 3 解 设未知量圆的半径为r（常数外切三角形面积为SS r(x yz)满足条件作Lagrange函数L(x,y,z)r(x yz)arctan L r x2r0 L r y2 r0 r 0z2rarct

21、anr arctan r arctan 由前三个方程得x y z，代入第四个方程解得x y z 3r长为 的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆这两段的长各为多少时解 xyx y aA x2 y L(x,y) x2 y2 a)LL x 0, y0, x4，y 4x y P04 , 4 ) 为唯一稳定点，实际问题有最小值，因此稳定点就是最小切成的两段的长度比为4，且其中长是一段围成正方形，短的一段围成圆时，所围正方求原点到两平面a1xb1yc1zd1 0a2xb2yc2zd2 0的交线的最短解 设二平面交线上的点为(xyz，则原点到该点的距离x2 yx2 y2 zdda1xb1yc1zd1

22、 0，a2xb2yc2zd2 0下的最小值点与 2 x2 y2 zL(x,y,z) 1(a1xb1yc1zd1)2(a2xb2yc2zd2)2令Lx xa11a22 0L yb b 0 1 2 Lz zc11c22 0a xb yc zd 0 a2xb2yc2zd2 01, 2，因此得x,y,z的唯一值a2 b2 c2 A a2 b2 c2 A a a bb c c B1 1 1 x x (a1d2 a2d1)Ba1d1A2 a2x x A A B1 y y (b1d2 b2d1)Bb1d1A2 b2y y A A B1 A A z(c1d2 c2d1)Bc1d1A2 c2d2A1 zA A 1 x2 y2x2 y2 zyx2x y 1解 设抛物线上的点为(x ,y ) ，直线上的点为(x ,y )，则y x2，