拓展资料：怎样学好组合

1、PAGE12怎样学好组合组合与排列是计算有关完成某项工作的方法种数的知识，是当今快速发展着的组合数学的最初步、最基本的知识。它不仅应用广泛，也是学习概率统计知识以及进一步学习高等数学有关分支的预备知识，而且由于其思维方法的新颖性与独特性，也是培养思维能力的不可多得的好素材。一、掌握正确的学习方法1这一部分内容的概念性强、灵活性强、抽象性强，思想方法独特，解题过程出现“重复”“遗漏”现象难以觉察。针对这一问题，首先要系统、准确地掌握知识方法，在此基础上，要通过大量具体、形象的事例进行比较、分析、归纳、总结，要做到抽象问题具体化，困难问题简单化，通过分门别类，建构好数学模型，使思维有据可依，做到更

2、系统、更富有逻辑性。2、在学习了排列之后，再学习组合时，要注意对易混淆的知识如排列与组合、组合与组合数等进行类比，应着眼于搞清它们之间的区别与联系；要注意公式的特征和运用的前提条件；要注意体会解决应用题的思考方法：分类讨论、等价转换、整体思想、正难则反等数学思想的运用；3、关于组合的应用题，初学的同学常常会感到困难，其主要原因是：（1）不易分清具体问题是排列问题还是组合问题；（2）具体问题如何归结为组合问题，具体问题中的“元素”指的是什么m和n各是什么学习时，要立足于基础知识、基本方法、基本问题的学习，抓住典型例题，从不同角度、不同侧面对题目进行全面分析，认真思考、研究，搞深搞透，进行多种解法

3、训练，结合典型的错解分析，查找思维的缺陷，提高分析解决问题的能力。二、理解组合及组合数的定义1、组合的定义：一般地说，从n个不同的元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。对组合定义的理解应搞清以下几点：（1）从定义中可以看出，我们只研究取出的m个元素是互不相同的情况，也就是只研究相异元素不许重复的组合。（2）当两个组合中的元素完全相同时，不论它们的顺序如何都是相同的组合。（3）当两个组合具备下列之一时，就是不同的组合：元素完全不同，如abc；def；元素不完全相同（即使只有一个元素不同），如abc，abd。2、组合数的定义：从n个不同的元素中取出mmn个元素

4、的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数，用符号表示。三、区分排列与组合、组合与组合数1、排列与组合组合与排列的共同点：都是“从n个不同元素中，任取m个元素”。不同点：组合是“不管顺序并成一组”，只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合；排列是“按照一定顺序排成一列”，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的。由排列、组合的定义可知，区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看选出的元素是否与顺序有关。若交换两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题。先取后排（按一定顺序）者是排列问题，只取不排者是组

5、合问题，简言之，有序排列，无序组合。如：在数的运算中，加、乘运算是组合问题，减、除运算是排列问题；相互寄信、相互赠物是排列问题，相互握手是组合问题；过两点作线段是组合问题，作射线、向量则是排列问题等等。2、组合与组合数组合与组合数是两个不同的概念。这里的组合是名词，而不是动词。一个组合是指“从n个不同的元素中取出mmn个元素并成一组”，它不是一个数，是具体的一件事，是一种形式；组合数是指“从n个不同的元素中取出mmn个元素的所有组合的个数”，它是一个数。如：从3个不同元素a，b，c中任取两个的组合为ab，bc，ca，其中每一种都叫一个组合，一共有3种组合，因此组合数是3。四、掌握组合数公式及其

6、性质1、组合数公式：（n，mN且mn）对组合数公式的理解应搞清以下几点：（1）组合数公式的推导思路是根据排列与组合的关系，依据乘法原理，将求从n个不同元素中任取m个的排列数分成先求“任取m个元素分组的组数”，后求“各组元素的全排列数”两步来完成，从而将未知的组合数公式问题化归为已经解决的排列数公式问题。组合数公式的推导思路，在解某些应用题时经常用到，要注意认真体会并能灵活应用。（2）使用组合数公式时，要注意中n，mN且mn等限制条件。（3）与排列数公式类似，组合数也有两个公式。第一个公式中的分子是m个连续正整数的乘积，最大的因数是n，最小的因数是n-m1，分母是m!。当m、n为较小的正整数时，

7、用此公式计算组合数较为方便。第二个公式是用阶乘的形式给出的，当m、n的数值较大时，借助科学计算器，利用公式计算较为方便；当对含有字母的组合数的式子进行变形、讨论或证明时，常常利用此公式进行沟通、变形和论证。2、组合数的性质：性质1：性质2：对两个性质的几点说明：（1）性质1体现了从n个不同元素中取m个元素与从n个元素取出n-m个元素是一一对应关系。当时，一般情况下，不计算而改为计算较方便。（2）为使性质1在m=n时也能成立，规定。（3）注意性质2的各种变形：，以及在解题中的灵活应用。（4）组合数的两个性质在有关组合数的计算、化简、证明以及后面将要学习的二项式定理中有着广泛的应用。3、常用的组合

8、数公式（1）。（2）。五、掌握常用的解题方法1、有关组合问题的题目的背景常以“几何问题”、“产品质量抽样检测问题”、“集合问题”、“人或物的有关分配问题”等形式出现。处理问题时常常利用分类思想。在解组合问题及组合与排列的综合问题时，要注意准确地应用两个基本原理；要注意准确区分是排列问题还是组合问题；要注意在利用直接法解题的同时，也要根据问题的实际恰当地利用间接法解题。2、（1）排列数与组合数都是自然数n的函数，由它们的等量或不等量求n，就是求方程（组）或不等式（组）的正整数解的问题，其中上下标含有未知数时要考虑是否有意义。（2）排列数公式与组合数公式都有两种形式：连乘积形式和阶乘形式。前者多用

9、于数字计算，后者多用于证明恒等式和变形。要注意公式的逆用，即由写出。3、组合常见的问题及对策（1）在解组合应用题时，常会遇到“至少”“最多”“含”等词，要仔细审题，理解其含义。（2）有几何图形的题目，一定要注意图形自身对其构成元素的限制，解决这类问题常用间接法（或说排除法）。（3）分组分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不可区分的，而后者则即使两组元素个数相同，但因排列顺序不同，仍然是可区分的。对于这类问题必须遵循先分组后排列，若平均分m组，则分法=4若干集合中选取元素问题：对比较复杂的在若干集合中选取元素的问题，一般需分类求解，只要能运用分类思想正确地对所

10、有选法分类，又能正确地根据题目要求合理地考察步骤，就可以顺利地求得解答。在分类时，要注意做到既不重复也不遗漏。4、解答组合应用题的总体思路是：（1）整体分类。对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不重复，计算其结果时，使用分类计数原理。（2）局部分步。整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，使用分步计数原理。（3）考察顺序。区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题用组合解答，有序的问题属于排列问题。（4）辩证的看待“元素”与“位置”。排列、组合

11、问题中的元素与位置，没有严格的界定标准，哪些事物看成元素或位置，随解题者的思维方式的变化而变化，要视具体情况而定。有时“元素选位置”，问题解决得简捷，有时“位置选元素”，效果会更好。5、排列、组合应用题的题型（1）简单的排列或组合问题（不含限制条件即元素或位置一律平等）。（2）附有某些限制条件的排列或组合问题（或限定元素的选择，或是限定元素的位置）。（3）排列与组合的混合型应用题。6、解排列、组合应用题的一般步骤（1）分析题意认清应把问题中的哪些具体对象看作元素（如人、物、数、图形等）。分析是排列问题还是组合问题，还是排列、组合综合题（若是综合题一般需要先组合后排列，俗称先“C”后“A”）。分

12、析完成这件事需有几类办法，找到分类标准，做到不重不漏；执行各类办法时又分别需要进行几步才能完成事件。（2）选定解法通常不含限制条件的排列、组合问题都可以直接求解；含有限制条件的排列、组合问题有直接解法（合理分类）或间接解法（逆向思维）两种解法（其中分类法和排除法最为常用）。但无论是用直接法还是间接法，都要注意从不同角度，正、反两个方面考虑同一问题，复习中要注意一题多解的训练。（3）列式求解。7、解排列、组合题的方法解排列、组合混合应用题一般是“先组后排”或“充分利用元素的性质进行分类、分步”，再利用两个计数原理作最后处理。在近几年的高考试题中，经常出现用排列、组合定义列举求解的应用题，这是一种

13、“返璞归真”的解法。在涉及数目不是很大的排列、组合问题中，列举是一种不可忽视的有效解法，列举一定要按照一定的原则，遵循一定的规律，不重复、不遗漏的进行。在复习中，要掌握树图、框图及坐标图象法等常用的方法。另外还有如下几种常用的方法：（1）直接法：把符合条件的排列数直接列式计算。以元素为主考虑问题，先满足特殊元素的要求，再考虑其它元素。以位置为主考虑问题，先满足特殊位置的要求，再考虑其它位置。（2）排除法:先求出不考虑限制条件的排列、组合数，再由限制条件算出不符合条件的排列或组合数，然后两数相减即可。（3）捆绑法：在待定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“内

14、部”的排列，它主要用于解决相邻或不相邻的问题。一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某mmn个元素两两相邻的排列有个。（4）插空法：先把一般的、不受限制的元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用。（5）特殊元素、位置优先安排法：对问题中的特殊元素或位置首先考虑排列，然后再排列其它一般元素或位置。（6）分类法：将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类计数原理求出排列总数。（7）集合法：将排列作为集合的元素，那么排列数就是集合的基数。（8）调序法（某些元素次序一定的一种排列题型）：先将n个元素进行全排列有种，mmn个元素的全排列有种，由于

15、要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有种排列方法。8、解排列、组合问题的思路与途径排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题。解排列组合的综合应用题，可从以下几个方面探寻解题途径：（1）要弄清问题中“事件”的含义；（2）所给的元素是不是各不相同所选的元素是否“无重复”（3）题中有什么“条件”相当于“顺序”要求对选出的元素要不要按先后顺序排列也即元素是“有序”还是“无序”，以确定是排列问题还是组合问题，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题。（4）有什么附加条件促使我们把问题分几个步骤来考虑是分类解决还是分步解决以确定是应用加法原理还是应用乘法原理；（5）如何建立分类标准。对既要分类又要分步的问题，建立分类标准的关键在于每一类分步解决的问题中，每两步之间必须是独立的，即后一步的方法数不受前一步的影响。反之，若某类分步计算过程中后一步的方法数由于前一步解决方式不同而不同，则此分类标准应当拆细或以其它形式重新分类；（6）各个步骤所得到的排列数、组合数之间是按“加法原理”，还是按“乘法原理”再进行计算（7）对有多个约束条件的问题，可以通过分析每个约束条件，然后再综合考虑是分类还是分步，或交替使用两个原理