(新高考)高考数学一轮复习讲与练第6章§6.1《数列的概念》(含详解)

1、6.1数列的概念考试要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数知识梳理1数列的定义按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项2数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an1an其中nN*递减数列an1an常数列an1an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的通项公式如果数列an的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式4数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多

2、项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式常用结论1已知数列an的前n项和Sn，则aneq blcrc (avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2.)2在数列an中，若an最大，则eq blcrc (avs4alco1(anan1，,anan1)(n2，nN*)；若an最小，则eq blcrc (avs4alco1(anan1，,anan1)(n2，nN*)思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列()(2)1,1,1,1，不能构成一个数列()(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列()(4)

3、如果数列an的前n项和为Sn，则对任意nN*，都有an1Sn1Sn.()教材改编题1若数列an满足a12，an1eq f(1an,1an)，则a2 023的值为()A2 B3 Ceq f(1,2) D.eq f(1,3)答案C解析因为a12，an1eq f(1an,1an)，所以a2eq f(1a1,1a1)3，同理可得a3eq f(1,2)，a4eq f(1,3)，a52，可得an4an，则a2 023a50543a3eq f(1,2).2数列eq f(1,3)，eq f(1,8)，eq f(1,15)，eq f(1,24)，eq f(1,35)，的通项公式是an_.答案eq f(1,nn2

4、)，nN*解析a1eq f(1,112)eq f(1,3)，a2eq f(1,222)eq f(1,8)，a3eq f(1,332)eq f(1,15)，a4eq f(1,442)eq f(1,24)，a5eq f(1,552)eq f(1,35)，通过观察，我们可以得到如上的规律，则aneq f(1,nn2)，nN*.3已知数列an的前n项和Sn2n23n，则数列an的通项公式an_.答案4n5解析a1S1231，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，因为a1也适合上式，所以an4n5.题型一由an与Sn的关系求通项公式例1(1)设Sn为数列an的前n项和，若2

5、Sn3an3，则a4等于()A27 B81C93 D243答案B解析根据2Sn3an3，可得2Sn13an13，两式相减得2an13an13an，即an13an，当n1时，2S13a13，解得a13，所以数列an是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a4a1q33481.(2)设数列an满足a13a2(2n1)an2n，则an_.答案eq blcrc (avs4alco1(2，n1，,f(2n1,2n1)，n2)解析当n1时，a1212.a13a2(2n1)an2n，a13a2(2n3)an12n1(n2)，由得，(2n1)an2n2n12n1，aneq f(2n1,2n1)(n2)显然n1时

6、不满足上式，aneq blcrc (avs4alco1(2，n1，,f(2n1,2n1)，n2.)教师备选1已知数列an的前n项和Snn22n，则an_.答案2n1解析当n1时，a1S13.当n2时，anSnSn1n22n(n1)22(n1)2n1.由于a13适合上式，an2n1.2已知数列an中，Sn是其前n项和，且Sn2an1，则数列的通项公式an_.答案2n1解析当n1时，a1S12a11，a11.当n2时，Sn2an1，Sn12an11.得SnSn12an2an1，即an2an2an1，即an2an1(n2)，an是首项为a11，公比为q2的等比数列ana1qn12n1.思维升华(1)

7、已知Sn求an的常用方法是利用aneq blcrc (avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2)转化为关于an的关系式，再求通项公式(2)Sn与an关系问题的求解思路方向1：利用anSnSn1(n2)转化为只含Sn，Sn1的关系式，再求解方向2：利用SnSn1an(n2)转化为只含an，an1的关系式，再求解跟踪训练1(1)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2n2n1，nN*，则an_.答案eq blcrc (avs4alco1(4，n1，,4n1，n2)解析根据题意，可得Sn12(n1)2(n1)1.由通项公式与求和公式的关系，可得anSnSn1，代入化简得an2n2n12(n1

8、)2(n1)14n1.经检验，当n1时，S14，a13，所以S1a1，所以aneq blcrc (avs4alco1(4，n1，,4n1，n2.)(2)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则an_.答案eq blcrc (avs4alco1(1，n1，,f(1,nn1)，n2)解析由已知得an1Sn1SnSn1Sn，两边同时除以Sn1Sn，得eq f(1,Sn1)eq f(1,Sn)1.故数列eq blcrc(avs4alco1(f(1,Sn)是以1为首项，1为公差的等差数列，则eq f(1,Sn)1(n1)n.所以Sneq f(1,n).当n2时，anSnSn1eq f(

9、1,n)eq f(1,n1)eq f(1,nn1)，故aneq blcrc (avs4alco1(1，n1，,f(1,nn1)，n2.)题型二由数列的递推关系求通项公式命题点1累加法例2在数列an中，a12，an1anlneq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,n)，则an等于()A2ln n B2(n1)ln nC2nln n D1nln n答案A解析因为an1anlneq f(n1,n)ln(n1)ln n，所以a2a1ln 2ln 1，a3a2ln 3ln 2，a4a3ln 4ln 3，anan1ln nln(n1)(n2)，把以上各式分别相加得ana1ln nln 1，则a

10、n2ln n(n2)，且a12也适合，因此an2ln n(nN*)命题点2累乘法例3若数列an满足a11，nan1(n1)an(n2)，则an_.答案eq f(2,n1)解析由nan1(n1)an(n2)，得eq f(an,an1)eq f(n,n1)(n2)所以aneq f(an,an1)eq f(an1,an2)eq f(an2,an3)eq f(a3,a2)eq f(a2,a1)a1eq f(n,n1)eq f(n1,n)eq f(n2,n1)eq f(3,4)eq f(2,3)1eq f(2,n1)，又a11满足上式，所以aneq f(2,n1).教师备选1在数列an中，a13，an1

11、aneq f(1,nn1)，则通项公式an_.答案4eq f(1,n)解析an1aneq f(1,nn1)eq f(1,n)eq f(1,n1)，当n2时，anan1eq f(1,n1)eq f(1,n)，an1an2eq f(1,n2)eq f(1,n1)，a2a11eq f(1,2)，以上各式相加得，ana11eq f(1,n)，an4eq f(1,n)，a13适合上式，an4eq f(1,n).2若an满足2(n1)aeq oal(2,n)(n2)anan1naeq oal(2,n1)0，且an0，a11，则an_.答案n2n1解析由2(n1)aeq oal(2,n)(n2)anan1n

12、aeq oal(2,n1)0得n(2aeq oal(2,n)anan1aeq oal(2,n1)2an(anan1)0，n(anan1)(2anan1)2an(anan1)0，(anan1)(2anan1)n2an0，又an0，2nan2annan10，eq f(an1,an)eq f(2n1,n)，又a11，当n2时，aneq f(an,an1)eq f(an1,an2)eq f(a3,a2)eq f(a2,a1)a1eq f(2n,n1)eq f(2n1,n2)eq f(2n2,n3)eq f(23,2)eq f(22,1)12n1n.又n1时，a11适合上式，ann2n1.思维升华(1)

13、形如an1anf(n)的数列，利用累加法，即利用公式an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)，即可求数列an的通项公式(2)形如eq f(an1,an)f(n)的数列，常令n分别为1,2,3，n1，代入eq f(an1,an)f(n)，再把所得的(n1)个等式相乘，利用ana1eq f(a2,a1)eq f(a3,a2)eq f(an,an1)(n2)即可求数列an的通项公式跟踪训练2(1)已知数列an的前n项和为Sn，若a12，an1an2n11，则an_.答案2n1n解析an1an2n11，an1an2n11，当n2时，an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2

14、a1)a12n22n321a1n1eq f(12n1,12)2n12n1n.又a12满足上式，an2n1n.(2)(2022莆田模拟)已知数列an的前n项和为Sn，a11，Snn2an(nN*)，则数列an的通项公式为_答案aneq f(2,nn1)解析由Snn2an，可得当n2时，Sn1(n1)2an1，则anSnSn1n2an(n1)2an1，即(n21)an(n1)2an1，易知an0，故eq f(an,an1)eq f(n1,n1)(n2)所以当n2时，aneq f(an,an1)eq f(an1,an2)eq f(an2,an3)eq f(a3,a2)eq f(a2,a1)a1eq

15、f(n1,n1)eq f(n2,n)eq f(n3,n1)eq f(2,4)eq f(1,3)1eq f(2,nn1).当n1时，a11满足aneq f(2,nn1).故数列an的通项公式为aneq f(2,nn1).题型三数列的性质命题点1数列的单调性例4已知数列an的通项公式为ann22n(nN*)，则“0，(n1)22(n1)n22n2n120，即2n12对任意的nN*都成立，于是有eq blc(rc)(avs4alco1(f(2n1,2)mineq f(3,2)，由1可推得eq f(3,2)，但反过来，由eq f(3,2)不能得到1，因此“1”是“数列an为递增数列”的充分不必要条件命

16、题点2数列的周期性例5(2022广州四校联考)数列an满足a12，an1eq f(1,1an)(nN*)，则a2 023等于()A2 B1C2 D.eq f(1,2)答案C解析数列an满足a12，an1eq f(1,1an)(nN*)，a2eq f(1,12)1，a3eq f(1,11)eq f(1,2)，a4eq f(1,1f(1,2)2，可知此数列有周期性，周期T3，即an3an，则a2 023a12.命题点3数列的最值例6已知数列an的通项公式an(n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(10,11)n，则数列an的最大项为()Aa8或a9 Ba9或a10Ca10或a11 D

17、a11或a12答案B解析结合f(x)(x1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(10,11)x的单调性，设数列an的最大项为an，所以eq blcrc (avs4alco1(anan1，,anan1，)所以eq blcrc (avs4alco1(n1blc(rc)(avs4alco1(f(10,11)nn2blc(rc)(avs4alco1(f(10,11)n1，,n1blc(rc)(avs4alco1(f(10,11)nnblc(rc)(avs4alco1(f(10,11)n1，)解不等式组可得9n10.所以数列an的最大项为a9或a10.教师备选1已知数列an的通项公式为aneq

18、 f(3nk,2n)，若数列an为递减数列，则实数k的取值范围为()A(3，) B(2，)C(1，) D(0，)答案D解析因为an1aneq f(3n3k,2n1)eq f(3nk,2n)eq f(33nk,2n1)，由数列an为递减数列知，对任意nN*，an1aneq f(33nk,2n1)33n对任意nN*恒成立，所以k(0，)2在数列an中，a11，anan31，则log5a1log5a2log5a2 023等于()A1 B0Clog53 D4答案B解析因为anan31，所以an3an61，所以an6an，所以an是周期为6的周期数列，所以log5a1log5a2log5a2 023lo

19、g5(a1a2a2 023)log5(a1a2a6)337a1，又因为a1a4a2a5a3a61，所以a1a2a61，所以原式log5(13371)log510.思维升华(1)解决数列的单调性问题的方法用作差比较法，根据an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列还是常数列(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值(3)求数列的最大项与最小项的常用方法函数法，利用函数的单调性求最值利用eq blcrc (avs4alco1(anan1，,anan1)(n2)确定最大项，利用eq blcrc (avs4alco1(anan1，,anan1)

20、(n2)确定最小项跟踪训练3(1)在数列an中，an1eq blcrc (avs4alco1(2an，aneq f(1,2)，a22a11eq f(3,5)eq f(1,2)，a32a21eq f(1,5)eq f(1,2)，a42a3eq f(2,5)5时，an0，且单调递减；当n5时，anan，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1)(*)因为nN*，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.9已知数列an中，a11，前n项和Sneq f(n2,3)an.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解(1)由S2eq f(4,3)a2得3(a1a2)4a2，解得a2

21、3a13，由S3eq f(5,3)a3，得3(a1a2a3)5a3，解得a3eq f(3,2)(a1a2)6.(2)由题设知当n1时，a11.当n2时，有anSnSn1eq f(n2,3)aneq f(n1,3)an1，整理得aneq f(n1,n1)an1，于是a2eq f(3,1)a1，a3eq f(4,2)a2，an1eq f(n,n2)an2，aneq f(n1,n1)an1，将以上n1个等式中等号两端分别相乘，整理得aneq f(nn1,2).当n1时，a11满足aneq f(nn1,2).综上可知，an的通项公式为aneq f(nn1,2).10求下列数列an的通项公式(1)a11

22、，an1an3n；(2)a11，an12nan.解(1)由an1an3n得an1an3n，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)13132333n1eq f(113n,13)eq f(3n1,2)，当n1时，a11eq f(311,2)，满足上式，aneq f(3n1,2)(nN*)(2)由an12nan得eq f(an1,an)2n，当n2时，ana1eq f(a2,a1)eq f(a3,a2)eq f(a4,a3)eq f(an,an1)1222232n12123(n1) SKIPIF 1 0 .当n1时，a11满足上式，an SKIPIF 1 6，)且an是递增数列，则实数a的取值范围是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(16,7)，3) B.eq blcrc)(avs4alco1(f(16,7)，3)C(1,3) D(2,3)答案D解析若an