全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)教学教材

1、收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法（有答案）全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形角平分线在三种添辅助线垂直平分线联结线段两端用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形角度数为30、60度的作垂线法：遇

2、到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合

3、一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形3）遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4）过图形上某一点作特定的平分线，

4、构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6）已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是.ABDC例2、如图

5、，AABC中，E、F分别在AB、AC上,DE丄DF,D是中点，试比较ABE+CF与EF的大小.A例3、如图，ABC中，BD二DC二AC,E是DC的中点，求证：AD平分ZBAE.应用：1、(09崇文二模)以AABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtAABD和等腰RtAACE，/BAD=AE二90。,连接de，M.N分别是BC、DE的中点.探究：AM与DE的位置关系及数量关系.如图当AABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是;将图中的等腰RtAABD绕点A沿逆时针方向旋转6(0BA,AD=CD,BD平分ZABC,求证：ZA+ZC=18005、如图在5、如图在AB

6、C中，ABAC,Z1=Z2,上任意一点，求证；AB-ACPB-PC应用：C如圏，在四边乖4/JCZ）应用：C如圏，在四边乖4/JCZ）中心皿、点卫是门占上一亍励点.若上k匚DKC=闵“判斷AD+解就的关系井证明怵购解=6O/1W=BC,I-L三、平移变换例1ABC的角平分线，直线MN丄AD于A.E为MN上一点，AABC周精品文档精品文档精品文档精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除BEC收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除例2如图，在ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证：AB+AOAD+AE.四、借助角平分线

7、造全等1、如图，已知在厶ABC中，ZB=60,AABC的角平分线AD,CE相交于点0,求证：0E=0D2、如图，AABC中，AD平分ZBAC,DG丄BC且平分BC,DE丄AB于E,DF丄AC于F.(1)说明BE=CF的理由；(2)如果AB=a,AC=b，求AE、BE的长.应用：1、如图，0P是ZMON的平分线，请你利用该图形画一对以0P所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图，在ABC中，ZACB是直角，ZB=60,AD、CE分别是ZBAC、ZBCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；图(2)如图，在ABC中，如

8、果ZACB不是直角，而中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立；若不成立，请说明理由。图POAN图D图(第23POAN图D图(第23题图)五、旋转例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求ZEAF的度数.精品文档精品文档例2D为等腰RtAABC斜边AB的中点，DM丄DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。1）21）2）AN例3如图，AABC是边长为3的等边三角形，ABDC是等腰三角形，且ZBDC=1200，以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN，则AAMN的周长为；CC应用：1、已知四边形ABC

9、D中，AB丄AD，BC丄CD，AB二BC，ZABC=120。，ZMBN=60o，ZMBN绕B点旋转，它的两边分别交AD,DC（或它们的延长线）于E，F当ZMBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1）,易证AE+CF=EF.当ZMBN绕B点旋转到AE丰CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE,CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.精品文档精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除2、(西城09年一模)已知:PAr2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.如图，当

10、ZAPB=45。时，求AB及PD的长；(2)当ZAPB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值,及相应ZAPB的大小.3、在等边AABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为VABC外一点，且ZMDN=60。，ZBDC=120。，BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AAMN的周长Q与等边AABC的周长L的关系.图1图2rd图1图2rd（I）如图1,当点M、N边AB、AC上，且DM二DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时=（II）如图2,点M、N边AB、AC上，且当DM工DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以

11、证明；（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN二x，则Q二（用x、L表示）.参考答案与提示一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是.A解：延长AD至E使AE=2AD，连BE，由三角形性质知AAB-BE2ADAB+BE故AD的取值范围是1AD4例2、如图，AABC中，E、F分别在AB、AC上，DE丄DF,D是中点，试比较在厶EFG中，注意到DE丄DF，由等腰三角形的三线合一知EG=EF在厶BEG中，由三角形性质知EGBG+BE故：EFBA,AD=CD,BD平分ZABC,求证：AA+ZC=1800解：(

12、补短法)延长BA至F,使BF=BC，连FDBDF竺ABDC(SAS)故ZDFB=ZDCB,FD=DC又AD=CD故在等腰中ZDFB=ZDAF故有ZBAD+ZBCD=1805、如图在5、如图在ABC中，ABAC,Z1=Z2,P为AD上任意一点，求证；AB-ACABP竺AAFP(SAS)故BP=PF由三角形性质知PBPC=PFPCP.ABBA解：（镜面反射法）延长BA至F,使AF=AC,连FED精品文档精品文档AD为ABC的角平分线，MN丄AD知ZFAE=ZCAE故有FAECAE(SAS)故EF=CE在厶BEF中有：BE+EFBF=BA+AF=BA+AC从而PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+

13、AC+BC=PA例2如图，在ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证：AB+ACAD+AE.VBD=CE,.DM二EM,.DMN竺EMA(SAS),/.DN=AE,同理BN=CA.延长ND交AB于P,则BN+BPPN,DP+PAAD,相加得BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去DP,得BN+ABDN+AD,.AB+ACAD+AE。四、借助角平分线造全等1、如图，已知在厶ABC中，ZB=60,AABC的角平分线AD,CE相交于点0,D精品文档精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除则ZBAC+ZBCA=120度；AD,CE均为角平分线，则ZOAC+Z

14、OCA=60度二ZAOE二ZCOD；ZAOC=120度.在AC上截取线段AF=AE,连接OF.又AO=AO;ZOAE=ZOAF则/OAE竺AOAF(SAS),OE=OF；AE=AF；ZAOF=ZAOE=60度.则ZCOF=ZAOC-ZAOF=60度二ZC0D；又CO二CO；ZOCD=ZOCF.故/OCD竺AOCF(SAS),OD=OF；CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图，AABC中，AD平分ZBAC,DG丄BC且平分BC,DE丄AB于E,DF丄AC于F.(1)说明BE=CF的理由；(2)如果AB=a,AC=b，求AE、BE的长.解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD,

15、DCDG垂直平分BC，故BD=DC由于AD平分ZBAC，DE丄AB于E,DF丄AC于F,故有ED=DF故RTADBE竺RTADFC(HL)故有BE=CF。AB+AC=2AEAE=(a+b)/2BE=(a-b)/2应用：1、如图，0P是ZMON的平分线，请你利用该图形画一对以0P所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图，在ABC中，ZACB是直角，ZB=60,AD、CE分别是ZBAC、ZBCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；图(2)如图，在ABC中，如果ZACB不是直角，而中的其它条件不变，请问，你在(1)中所

16、得结论是否仍然成立？若成立；若不成立，请说明理由。图POAN图D图(第23POAN图D图(第23题图)五、旋转例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求ZEAF的度数.证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG则GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，AF=AG，所以三角形AEF全等于AEG所以ZEAF=ZGAE=ZBAE+ZGAB=ZBAE+ZDAF又ZEAF+ZBAE+ZDAF=90所以ZEAF=45度例2D为等腰RtAABC斜边AB的中点，DM丄DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。当ZMDN绕点D转动时，求证DE=DFO

17、(2)若AB=2，求四边形DECF的面积。D为等腰RtAABC斜边AB的中点，故有CD丄AB,CD=DACD平分ZBCA=90,ZECD=ZDCA=45由于DM丄DN，有ZEDN=90由于CD丄AB，有ZCDA=90从而ZCDE=ZFDA=故有CDEADF(ASA)故有DE=DF(2)S=2,S=S=1ABC四DECFACD例3如图，AABC是边长为3的等边三角形，ABDC是等腰三角形，且ZBDC=1200，以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN，则AAMN的周长为；解：（图形补全法，“截长法”或“补短法”，计算数值法）AC的延长线与BD的延长线交于点F,在

18、线段CF上取点E，使CE=BM/ABC为等边三角形，ABCD为等腰三角形，且ZBDC=120,/.ZMBD=ZMBC+ZDBC=60+30=90,ZDCE=180-ZACD=180-ZABD=90,又VBM=CE,BD=CD,/.CDEBDM,/.ZCDE=ZBDM,DE=DM,ZNDE=ZNDC+ZCDE=ZNDC+ZBDM=ZBDC-ZMDN=120-60=60,.在和ADEN中，DM=DEZMDN=ZEDN=60DN=DN/.DMNADEN,.MN二NE.在DMA和厶DEF中，DM=DEZMDA=60-ZMDB=60-ZCDE=ZEDF(ZCDE=ZBDM)ZDAM=ZDFE=30/.DMNADEN(aas),.MA二FEAAMN的周长为AN+MN+AM二AN+NE+EF二AF=6应用：1、已知四边形ABCD中，AB丄AD，BC丄CD，AB二BC，ZABC=120。，ZMBN=60o，ZMBN绕B点旋转，它的两边分别交AD,DC（或它们的延长线）于E,F