2017年考研数学三真题与解析

1、2017 年考研数学三真题与解析2017年考研数学三真题一、选择题 18 小题每小题 4 分，共 32分1若函数 在 处连续，则1 cos x,x0 x0 x 0axxaxax 2ax0 x0 x0所以应该选（）112x 0z xy(3x y)，z y(3x y)xy 3y2xy y22222z，得四个驻点对每个驻点验证2xz2，且AC 20，ACB 30,)2所以 为函数的极大值点，所以应该选（）,)3设函数 是可导函数，且满足，则 f(x)f (x) 0f(x)（）（）（C）（）f(1) f(f) f() f()ff) f()2【详解】设，则，也就是 是单 g(x)(f(x)2 g (x)

2、 2f(x)f (x) 0f(x)，所以应该2调增加函数也就得到 f(1) f(1) f(1) f(1)22选（）4 若级数收敛，则 （） 11 kn2（）（）1212【n11 12on222显然当且仅当 ，也就是 时，级数的一般项是关k 11nnEnETEETT【 详 解 】 矩 阵 的 特 征 值 为 和 个 ， 从 而0T1TTTT； 显然只有 存在零特征值，所以不可E1,1,1, ,13,1,1, ,1T逆，应该选（A2 0 02 1 01 0 06已知矩阵，则A 0 2 1B 0 2 0C 0 2 00 0 10 0 10 0 238设为来自正态总体 的简单随机样本，N(X ,X ,

3、 ,X (n2)12n若，则下列结论中不正确的是（ ）1nX Xnii1（）服从 分布（）2服从2 X Xn(X )222in1（）n(X X)222i）显然且相互独立，2ii服从 分布，也就是（）结论是正确的；n (n)2in2 (n 222i212n（ 4 ） 对 于 选 项 （ B ） ：1 N (X X ) n1222n12n1 6 4 24 分. 把答案填在题中横线上）9 xx ) 232解：由对称性知3x 2 xx )2322220510差分方程的通解为y 2y 2tt1t【详解】齐次差分方程的通解为 ；y 2y 0t1y C2xt设的特解为 ，代入方程，得 ；1y 2y 2ty

4、at2a tt1tt21tttt1t2Q.12设函数 具有一阶连续的偏导数，且已知f(x,y)，则df (x,y) ye dxx(1 y)e dyf(0,0) 0f(x,y)yyyyyyf(0,0) 0C 0y， 为线性无关的三维列向量，A 1 1 2, ,0 1 11231231 0 1 1 0 1 1 0 1【详解】对矩阵进行初等变换， A 1 1 2 0 1 1 0 1 1 0 1 10 1 10 0 0知矩阵 A 的秩为 2 , , 123的秩为 A ,A ,A123614设随机变量 的概率分布为， 1 P X 1 aXP X 2 2，若 ，则 P X 3 bEX0 【详解】显然由概率

5、分布的性质，知，解得1ab 121292222三、解答题xt0 x3xxt00 xxxext23lim lim lim003x3x3x3x0 xx 0 xx2y3D2Dxy3 y3dxxdydxdyx y )x y )24 224 200D1 dx y )24dxx4x y )24 2001 11 2dx 181x 12x 4222017 10分）7求k k 1nn n2nk1【详解】由定积分的定义k k 1 k k xx)nn 11 1n nn n n2nn0k1k1111224011k【详解】设1112222令222 2，所以 在 上单调减少，由于 ，所以当 时，x (0,1)(0,1)x

6、(0,1)g(x) g(0)0 x(0,1)f(x)(0,1)，也就是得到111 lim1xx) 2ln2x0 x0 x) xx0111k ln2219 10分）8设数， 为幂级数 的和函a xn1a 1,a 0,a (na a )(n1,2,3 ),S(x)n101n1nn1nn0（）证明 的收敛半径不小于 a xn1n（明(1x)S(x)xS(x) 0(x ( 1,1) 1(na a )(na na ann1nnnn1 nnn210n101n1na (a a )(a a ) (a a )a ( n1nn2111 11nnn n（2）所以对于幂级数 ， 由和函数的性质，可得nn1 (na x

7、 na xnnna (na na )xn1n1nn1 a x a x x a x xS(x)nn1nn1nnn1n0n0也就是有(1x)S (x) xS(x) 0(x ( 1,1) 9解微分方程Cex(1x)S (x) xS(x) 0 S(0) a 1C 1S(x)1x0所以exS(x)1x20 11分）A , ,123312，求方程组 的通解 ,1231）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以 是非零矩阵，也就是 A假若 r 0，也就是 线性相关， r()2 2 0312123r()3r()2（为 以 的基础解系中只有一个线性无r()2Ax0，所以基础解系为 ； x 2 2 0 312 ,1

8、 123 1 k 11 21 11分）设二次型在正交变换 下f (x ,x ,x ) 2x x ax 2x x 8x x 2x xx222212313121 32 3的标准形为，求 的值及一个正交矩阵 12y yaQ222110 2 1 4【详解】二次型矩阵A 1 1 14 1 a因为二次型的标准形为值，所以 ，故 有零特征12y y222A1A 0a2.41412令123i1112111 02 0 236 11 11326 Q , , 0123361112设 随 机 变 量 相 互 独 立 ， 且 的 概 率 分 布 为X,YXY（）求概率；Y ）（）求 的概率密度Z X Y1）123EY

9、yf (y)dyY2y dy2.011所以242P Y PY 2 .3390（） 的分布函数为Z X Y F (z) P Z z P X Y z P X Y z,X 0 P X Y z,X 2Z P X 0,Y z P X 2,Y z21212YYZZ z2,2 z3 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了 次测量，该物体的质量 是已知的，设 次测nn相互独立且均服从正态分布 该工程21nnii1nZi1）先求 的分布函数为Zi X z F (z) P Z z P X z P iZii当 时，显然 ；z0F (z)0Z12当 时，； X z z z0 P Z z P X z P1F (z)Zi ii所以 的概率