2022-2023学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.1函数3.1.3简单的分段函数学生用书湘教版必修第一册

1、 欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！ 欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！ 欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！ 欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！ 欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！ 欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！31.3简单的分段函数教材要点要点分段函数一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数状元随笔1.分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数2分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的如y1, 2x0，x，0 x3，其“段”基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”

2、)(1)分段函数由几个函数构成()(2)函数f(x)x+1，x1，x+3，x1(3)分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数()(4)分段函数各段上的函数值集合的交集为.()2(多选)下列给出的式子是分段函数的是()Af(x)xBf(x)x+1，xCf(x)2x+3，1x5Df(x)x3已知函数f(x)1x+1，x1，x1A0B134函数f(x)x2题型1分段函数求值问题角度1分段函数求值例1已知函数f(x)x+1，x2求f(5)，f(1)，ff变式探究本例中的条件不变，若f(a)3，求实数a的值角度2解分段函数不等式例2已知函数f(x)x4，x2，x24x+3，x2，

3、求不等式f方法归纳1分段函数求值(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得(2)含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理(3)已知函数值求相应的自变量值时，应在各段中分别求解2解分段函数不等式要注意分类讨论，分类标准是分段函数的分段区间先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围，最后取并集即可跟踪训练1(1)已知f(x)x21，x1，x+1，x1，若f(x(2)已知函数f(x)x，x2，x+1，2x4，3x，x4，若f(a)3，则题型2分段函数的图象与应用例3已知f(x)x3，g(x)32x12，h(x

4、)x24(1)在同一坐标系中画出函数f(x)，g(x)，h(x)的图象(2)xR，令M(x)表示f(x)，g(x)，h(x)中的最大者，记作M(x)f(x)，g(x)，h(x)，请分别利用图象法和解析法表示函数M(x)，并求M(x)的值域方法归纳分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意连接点处点的虚实，保证不重不漏跟踪训练2已知f(x)x(1)作出f(x)的

5、图象；(2)求f(x)的值域题型3分段函数的应用例4为了节约用水，某市出台一项水费征收措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.2元；若超过5吨而不超过6吨，超过部分的水费加收200%；若超过6吨而不超过7吨，超过部分的水费加收400%.如果某人本季度实际用水量为x(x7)吨，试计算本季度他应交的水费(单位：元)方法归纳分段函数应用问题的两个关注点(1)应用情境日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等，都是最简单的分段函数(2)注意问题求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理跟踪训练3甲、乙两地相距150千米，某货车从甲地运送货物到乙地，以每

6、小时50千米的速度行驶，到达乙地后将货物卸下用了1个小时，然后以每小时60千米的速度返回甲地从货车离开甲地起到货车返回甲地为止，设货车离开甲地的时间和距离分别为x小时和y千米，试写出y与x的函数关系式易错辨析不能正确理解分段函数致误例5已知函数f(x)x+2，x1x2，1x2，2x，x2，若f(解析：当a1时，有a23，即a1，与a1矛盾；当1a2时，有a23，a3或a3(舍去)；当a2时，有2a3，a32，与a综上可知a3.答案：3易错警示易错原因纠错心得忽视对a的讨论致误涉及自变量为参数的分段函数求参数问题，应根据参数与分段函数的定义域的关系分类讨论课堂十分钟1f(x)|x1|的图象是()

7、2著名的Dirichlet函数D(x)1，x为有理数，0，x为无理数，则D(D(xA0B1C1，x为无理数，0，x为有理数D3在股票买卖过程中，经常用到两种曲线：一种是即时价格曲线yf(x)，另一种是平均价格曲线yg(x)例如，f(2)3是指开始买卖2小时的即时价格为3元；g(2)3是指开始买卖2小时内的平均价格为3元下图给出的四个图象中，实线表示yf(x)，虚线表示yg(x)，其中可能正确的是()4设函数f(x)x2+1，x1x2+x2，x15已知函数f(x)3x22x，x1，2x2+3，x1，31.3简单的分段函数新知初探课前预习基础自测1答案：(1)(2)(3)(4)2解析：由分段函数的

8、概念可知，各分段上x的范围没有公共部分，AD是分段函数，故选AD.答案：AD3解析：f(2)211.答案：C4解析：函数的定义域为x|x0，当x0时，x2(0，)；当x2，不合题意，舍去；当2a2时，f(a)3a53，即a23(2，2)，符合题意；当a2时，f(a)2a13，即a22，)，符合题意综上可得，当f(a)3时，a的值为2例2解析：当x2时，x40，解得2x4.当x2时，x24x30，解得1x2.综上，f(x)1时，x11，解得x2(1，)；当x1时，x211，解得x0(，1.综上，x0或x2.(2)当a2时，f(a)a3，此时不等式的解集为(，3)；当2a4时，f(a)a13，此时

9、不等式无解；当a4时，f(a)3a1或x1时，f(x)1，所以f(x)的值域为0，1.例4解析：设本季度他应交的水费为y元，当0 x5时，y1.2x；当5x6时，应把x分成两部分：5与x5分别计算，第一部分收基本水费1.25元，第二部分由基本水费与加价水费组成，即1.2(x5)1.2(x5)200%1.2(x5)(1200%)元，所以y1.251.2(x5)(1200%)3.6x12；当6x7时，同理可得y1.251.2(1200%)1.2(x6)(1400%)6x26.4.综上，可得y1.2x，0 x5，跟踪训练3解析：由题意，可知货车从甲地前往乙地用了3小时，而从乙地返回甲地用了2.5小时(1)当货车从甲地前往乙地时，由题意，可知y50 x(0 x3)；(2)当货车卸货时，y150(3x4)；(3)当货车从乙地返回甲地时，由题意，知y15060(x4)(4x6.5)所以y50 x，课堂十分钟1解析：因为f(x)|x1|x1，x1，1x，x1，当x1时，f(1)0，可排除A、C.又当x答案：B2解析：函数D(x)1，x为有理数，D(x)0，1D(x)是有理数D(D(x)1.故选B.答案：B3解析：