1定积分与微积分基本定理理含答案版

1、定积分与微积分基本定理（理）基础巩固强化求曲线y=%2与所围成图形的面积，其中正确的是（）答案S=Ji(x2x)dxS=Ji(y2-y)dyBS=Ji(i-x2)dxD S=Ji(y-W)dy分析根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数.分析解析两函数图象的交点坐标是（0,0），（1,1），故积分上限是1，解析下限是0，由于在0,1上 ,XX2 , 故函数y = %2与”1所围成图形的面积S =3 -X2）dx.J如图，阴影部分面积等于（）(1,2)xy=3-%2AA. 2必C考B. 2二B-35D.答案C解析图中阴影部分面积为 TOC o 1-5 h z 11321 (3 - x2

2、- 2x)dx (3x - 3*3 - x2)|i 3 = 3* -3B. 2丸3.,：4-*2dxB. 2丸A. 4丸丸C. nD.2答案C解析令 y = 4 - *2，则 *2 + y2 = 4（y0）, 由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，1.S = 4XnX22二丸.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为。甲和气（如图所示）.那么对于图中给定的t0和孔，下列判断中一定正确的是（）在t1时刻，甲车在乙车前面在t1时刻，甲车在乙车后面在t0时刻，两车的位置相同t0时刻后，乙车在甲车前面 答案A解析判断甲、乙两车谁在前的问题

3、，实际上是判断在t0 , t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v（t）的图象与t轴以及时间段 围成区域的面积.从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t = 0,t =t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t = 0 , t = t0围成区域的 面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚 刚赶上甲车的速度，所以选项C , D错误；同样，在t1时刻，v甲的 图象与t轴和Lt】围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t =t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙

4、车 的前面.所以选A.向平面区域Q=3, y）|fWxWf, 0WyW1内随机投掷一点，该点落在曲线y=cos2x下方的概率是（）丸 丸 A.q2D2D.nC.21答案Dn解析平面区域q是矩形区域，其面积是n，在这个区域中曲缓f= cos2.?：下方区域的面积是1cos2d.y = - 12蒲g2&=2（昂心）修一L故所求的概率是二一 L_7T_二,故选D.兀的值是（）A. 0丸A. 0丸B-4C. 2D. 2答案解析(-cos 解析(-cos x 一 sin x)|兀2 _- 一 (- cos x 一 sin2in x) 土 =- 2.27.J(2-11 -xl)dx=答案3r 一 1 +

5、x 0WxW1解析.3 - x 1xW2. r2(2 - |1 - x|)dx = J 1(1 +x)dx + r2(3 - x)dxJJ 人二(x + 2犬2)|0 + (3x -尹2)|：1 = 2 + 2 = 3.9.已知=p2(sin x + cos x)办，则二项式(&一土)6的展开式中含 x2项的系数是.答案192解析由已知得 a = f 2 (sin x + cos x)dx = ( - cosx + sinx)|；0 = (sin； 0丸-cos) - (sin0 - cos0) = 2 ,(2卡-x)6的展开式中第r+1项是Tr+1 = ( - 1)rXC6X26-rXx3-

6、r，令 3 - r = 2 得，r=1,故其系数为(-1)1XC6X2s=- 192.有一条直线与抛物线y=x2相交于A. B两点，线段AB与抛一.、一一 ，一4物线所围成图形的面积恒等于4,求线段AB的中点P的轨迹方程.解析设直线与抛物线的两个交点分别为A（a ,以）,B（b，&2）,不妨设ab ,b2 - 02则直线AB的方程为y - a2 =（x - a）,b - a即 y = (a + b)x - ab.则直线AB与抛物线围成图形的面积为S = jb(a + b)x - ab - x2dx aa+b=(2 x2 - abx -g(b - a)3 = 3 ,解得b-a = 2.设线段AB

7、的中点坐标为P(x , y),f a + bJx 2 ，x = a +1 ,其中将b - a = 2代入得a2 + b2ly = a2 + 2a + 2.B-.消去a得y = x2 + 1.线段AB的中点P的轨迹方程为y = x2+1.能力拓展提升等比数列a中，a3 = 6,前三项和S3=4xdx，则公比q的值为（）1 TOC o 1-5 h z A. 1B. 1 或一2D. 1 或一2答案C解析因为 53 = J34xdx = 2x2|3 = 18 ，所以?+|2+6=18，化简得 HYPERLINK l bookmark48 o Current Document j。夺2q2 - q -

8、1=0，解得 q-1 或 q=- 1，故选 C.已知(xlnx)=lnx+1,则elnxdx=()j1A. 1 B. e C. e-1 D. e+1 HYPERLINK l bookmark56 o Current Document 答案A解析由(xlnx) = Inx + 1，联想到(xlnx-x) = (lnx + 1) - 1 =Inx , 于是Jelnxdx = (xlnx - x)l( = (elne - e) - (1 Xln1 - 1) = 1.j1抛物线头=2x与直线y = 4-x围成的平面图形的面积为 .答案18一)2 = 2x ,解析由方程组j解得两交点A(2,2)、B(8

9、 ,-4),、y = 4 - x ,选)作为积分变量x = y x = 4 -),14.V2y2(4 14.V2y2(4 - y) - Rdy = (4y -克-浏一4=18.已知函数f(x) = ex1,直线l： x=1, 12： y = et1(t为常数，且 0WtW1).直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域II 所示，其面积用S2表示.直线l2, y轴与函数fx)的图象围成的封闭 图形如图中区域I所示，其面积用51表示.当t变化时，阴影部分的 面积的最小值为.答案(.*1)2解析 由题意得 S + S2 = Ct(et- 1 - ex+ 1)dx +1(ex - 1

10、 - et +l)dx = t(et - ex)dx + Jex - et)dx = (xet -司牛 + (ex - xet)li = (2t - 3)et + e J ot+ ,令 g(o = (2t - 3)et + e + 1(0W/W1),则 g (0 = 2o + -3)et = (2t-)et ,令 g (z) = 0 ,得 / = 2 , . .当您0 , 时，g。)0 ,g是增函数，因此g的最小值为g(|)=e+ 1 -=- 1)2做阴影部分的面积的最小值为(* - 1)2.15.求下列定积分.(1) llxldx;X (1) llxldx;X 1兀 C0S2dx；01 xd

11、x = 2 Cixdx = 2 X i%2h = 1. TOC o 1-5 h z I u兀 C0S2：dx 兀 C0S2：dx = 0兀2dx = 2*1 $ += 2*o(3) f e+l-Ax - ln(x - l)le+l = 1.2 X - 116.已知函= %3+ax2+bx(a, 8ER)的图象如图所示，它 与X轴在原点处相切，且X轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的 面积为求的值.解析f r (x)=- 3x2 + 2ax + b ,./ (0) = 0 ,b = 0 ,f(x)= -X3 + ax2 , 令 f(x) = 0 , 得 x = 0 或 x = a(a0).,

12、S , S 阴影=J00a-(-x3 + ax2)dx(4x4 - 3ax3)|o = 12。4 = 12 ,a0 ,a=- 1.1.已知函数fx) = sin5x+1,根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求j； f (x)dx的值，结果是(X21 .丸A.6+2B.丸C. 1 D. 0答案B解析j： f (x)dx = j； sinsxdx + j； 1dx ,由于函数y = sin5x解析XXX2 2 2奇函数，所以j： sinsx奇函数，所以j： sinsxdx = 0，而jXXX2 2丸 1dx = xl -丸_2一丸，故选B.的图象与坐标轴所围x1 (IWxvO),的图象与

13、坐标轴所围 TOC o 1-5 h z 2.若函数 f(x)=71cosx (0 x2),成的封闭图形的面积为S则的值为()2+丸1A.B，2C. 1D.qA答案D 广71 3解析由图可知 a = 5 + cosxdx f + sinx 总=5-Z 2zzo ZJ0n y对任意非零实数。、代若Q雄的运算原理如图所示, sinxdx=答案*1广2寸，解析 . J sinxdx =- cos1广2寸，l . 一 2 - 1 成.,.-.j2J sinxdx =、22 2 设函数 fx) = ax2+c(aN0)，若 Cif(x)dx=f(x ), 0Wx W1,则J0 u扁的值为.答案雄ax3a a解析Cif x)dx = Ci(ax2 + c)dx = (丁 + cx)li = + c，故g + c = ax2J0J0+ c ,即 ax2 = a ,又 a#0，所以 x0 = 3，又 0Wx0W1，所以 x0-卓故5.设