高三文科数学培养专题突破讲义：专题2第3讲等差数列、等比数列

1、PAGE13第3讲等差数列、等比数列高考统计定方向热点题型真题统计命题规律题型1：等差比数列的基本运算2022全国卷T17；2022全国卷T17；2022全国卷T172022全国卷T17；2022全国卷T17；2022全国卷T172022全国卷T7；2022全国卷T51高考以“一大”或“两小”的命题形式出现，近三年以“一大”的形式出现题型2：等差比数列的基本性质2022全国卷T5；2022全国卷T92重点考查等差比数列的基本运算以及等差比数列的判定题型3：等差比数列的判定与证明2022全国卷T17；2022全国卷T17；2022全国卷T13题型1等差比数列的基本运算核心知识储备1等差数列的通项

2、公式及前n项和公式ana1n1d；Sneqfna1an,2na1eqfnn1,2d2等比数列的通项公式及前n项和公式ana1qn1q0；Sneqblcrcavs4alco1na1q1,fa11qn,1qfa1anq,1qq1高考考法示例【例1】12022哈尔滨模拟等比数列an中各项均为正数，Sn为其前n项和，且满足2S38a13a2，a416，则S4A9B15C18D3022022北京模拟已知an为等差数列，Sn为其前n项和，若a22，S99，则a8_1D201由2S38a13a2得6a1a22a30，则有eqblcrcavs4alco1a16q2q20,a1q316，解得eqblcrcavs

3、4alco1a12，,q2因此S4eqf2124,12302由题意知eqblcrcavs4alco1a2a1d2，,S99a1f98,2d9，解得deqf1,3，a1eqf7,3所以a8a17d032022全国卷等比数列an中，a11，a54a3求an的通项公式；记Sn为an的前n项和若Sm63，求m解设an的公比为q，由题设得anqn1由已知得q44q2，解得q0舍去，q2或q2故an2n1或an2n1若an2n1，则Sneqf12n,3由Sm63得2m188，此方程没有正整数解若an2n1，则Sn2n63得2m64，解得m6综上，m6方法归纳等差比数列基本运算的解题思路1设基本量a1和公差

4、d公比q2列、解方程组：把条件转化为关于a1和dq的方程组，求出a1和dq后代入相应的公式计算3注意整体思想，如在与等比数列前n项和有关的计算中，两式相除就是常用的计算方法，整体运算可以有效简化运算对点即时训练12022合肥模拟若等差数列an的前n项和为Sn，且满足a2S34，a3S512，则a4S7的值是A20B36C24D72C由a2S34及a3S512得eqblcrcavs4alco14a14d4，,6a112d12，解得eqblcrcavs4alco1a10，,d1，a4S78a124d22022邵阳模拟等比数列an的前n项和为Sn，已知a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为eqf

5、5,4，则S5A29B31C33D36B设等比数列an的公比为q，因为a2a32a1，所以aeqoal2,1q32a1，因为a4与2a7的等差中项为eqf5,4，所以a42a7eqf5,2，即a1q32a1q6eqf5,2，联立可解得a116，qeqf1,2，所以S5eqfa11q5,1q31题型2等差比数列的基本性质核心知识储备1若m，n，nanaanaanbn，eqblcrcavs4alco1fSn,n仍为等差数列，其中m，为常数3若an，bn均是等比数列，则canc0，|an|，anbn，manbnm为常数，m0，aeqoal2,n，eqblcrcavs4alco1f1,an仍为等比数列

6、41等比数列q1中连续项的和成等比数列，即S，S2S，S3S2，成等比数列，其公比为q2等差数列中连续项的和成等差数列，即S，S2S，S3S2，成等差数列，公差为2d5若A2n1，B2n1分别为等差数列an，bn的前2n1项的和，则eqfan,bneqfA2n1,B2n1高考考法示例【例2】12022长春模拟已知等差数列an满足：a22，SnSn354n3，Sn100，则n等于A7B8C9D1022022福州五校联考在等比数列an中，a3，a15是方程27120的两根，则eqfa1a17,a9的值为A2eqr3B4C2eqr2D432022昆明模拟已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a

7、1a2a34，a4a5a68，则S12A40B60C32D501D2A3B1由SnSn354得an2an1an54即3an154，所以an118所以Sneqfna1an,2eqfna2an1,210n100因此n102a3，a15是方程27120的两根，a3a1512，a3a157，an为等比数列，又a3，a9，a15同号，a90，a9eqra3a152eqr3，eqfa1a17,a9eqfaoal2,9,a9a92eqr3故选A3由等比数列的性质可知，数列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，即数列4,8，S9S6，S12S9是等比数列，所以S9S616，S12S932，所以S12

8、S12S9S9S6S6S3S332168460，故选B方法归纳等差、等比数列性质的应用策略1项数是关键：解题时特别关注条件中项的下标即项数的关系，寻找项与项之间、多项之间的关系选择恰当的性质解题2整体代入：计算时要注意整体思想，如求Sn可以将与a1an相等的式子整体代入，不一定非要求出具体的项。对点即时训练12022武汉模拟等比数列an的各项均为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10A12B10C8D2log35B由等比数列的性质知a5a6a4a79，所以log3a1log3a2log3a3log3a10log3a1a2a3a10log3a5a65log3951

9、0，故选B22022烟台模拟若an是等差数列，首项a10，a2022a20220，a2022a20220成立的最大正整数n是A2022B2022C4032D4033C因为a10，a2022a20220，a2022a20220，所以d0，a20220成立的最大正整数n是4032，故选C题型3等差比数列的判定与证明核心知识储备1证明数列an是等差数列的两种基本方法1利用定义，证明an1annN*为同一常数；2利用等差中项性质，即证明2anan1an1n22证明an是等比数列的两种基本方法1利用定义，证明eqfan1,annN*为同一常数；2利用等比中项性质，即证明aeqoal2,nan1an1n2

10、，an0高考考法示例【例3】2022日照模拟已知数列an，bn满足a11，an11eqf1,4an，bneqf2,2an1，其中nN*1求证：数列bn是等差数列，并求出数列an的通项公式2设cneqf4an,n1，求数列cncn2的前n项和Tn思路点拨1eq由bneqo,sup14作差eqbn1bneqo,sup14等差数,sdo14列的定义eqbn是等差数列eq求an2eq表示cneq表示cncn2eq裂项法求和解1证明：bn1bneqf2,2an11eqf2,2an1eqf2,2blcrcavs4alco11f1,4an1eqf2,2an1eqf4an,2an1eqf2,2an12，数列b

11、n是公差为2的等差数列又b1eqf2,2a112，bn2n122n，2neqf2,2an1，解得aneqfn1,2n2由1可得cneqf4fn1,2n,n1eqf2,n，cncn2eqf2,neqf2,n22eqblcrcavs4alco1f1,nf1,n2，数列cncn2的前n项和为Tn21eqf1,3eqf1,2eqf1,4eqf1,3eqf1,5eqf1,n1eqf1,n1eqf1,neqf1,n22eqblcrcavs4alco11f1,2f1,n1f1,n23eqf4n6,n1n2方法归纳判断或证明一个数列是等差比数列时应注意的问题1判断一个数列是等差等比数列，有通项公式法及前n项和

12、公式法，但不作为证明方法2若要判断一个数列不是等差等比数列，只需判断存在连续三项不成等差等比数列即可3aoal2,nan1an1n2，nN*是an为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为04证明a，b，c成等差数列，只需证明2bac；证明a，b，c成等比数列，只需证明b2acabc0对点即时训练2022全国卷已知各项都为正数的数列an满足a11，aeqoal2,n2an11an2an101求a2，a3；2求an的通项公式解1由题意可得a2eqf1,2，a3eqf1,42由aeqoal2,n2an11an2an10得2an1an1anan1因为an的各项都为正数

13、，所以eqfan1,aneqf1,2故an是首项为1，公比为eqf1,2的等比数列，因此aneqf1,2n112022全国卷等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和SnAnn1Bnn1fnn1,2fnn1,2A由a2，a4，a8成等比数列，得aeqoal2,4a2a8，即a162a12a114，a12Sn2neqfnn1,222nn2nnn122022全国卷我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A1盏B3

14、盏C5盏D9盏B设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7381，q2，S7eqfa11q7,1qeqfa1127,12381，解得a13故选B32022全国卷在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_6a12，an12an，数列an是首项为2，公比为2的等比数列，又Sn126，eqf212n,12126，n642022全国卷记Sn为等差数列an的前n项和，已知a17，S3151求an的通项公式；2求Sn，并求Sn的最小值解1设an的公差为d，由题意得3a13d17得d2所以an的通项公式为an2n92由1得Snn28nn4216所以当n4时，Sn取得最小值，最小值为1652022全国卷记Sn为等比数列an的前