巧解排列组合的21种模型

1、巧解排列组合的21种模型排列组合问题是高考的必考题，它联系实质生动幽默，但题型多样，思路灵便，不易掌握.实践证明，掌握题型和鉴别模式，并熟练运用，是解决排列组合的有效路子.下面就系统地介绍巧解排列组合的21种模型.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，看作一个大元素参加排列.例1.A,B,C,D,E五人并排站成一排，若是A,B必定相邻且B在A的右边，那么不一样的排法种数有A、60种B、48种C、36种D、24种解析：把A,B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，A4424种，答案：D.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无地址要求的几个元素全排列，

2、再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，若是甲乙两个必定不相邻，那么不一样的排法种数是A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为A55种，再用甲乙去插6个空位有A62种，不一样的排法种数是A55A623600种，选B.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必定保持必然的序次，可用减小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，若是B必定站在A的右边（A,B能够不相邻）那么不一样的排法种数是A、24种B、60种C、90种D、120种解析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，因此题设的排法可是5个元

3、素全排列数的一半，即1560种，选B.2A5标号排位问题分步法:把元素排到指定地址上，可先把某个元素按规定排入，第二步1/8再排另一个元素，这样连续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不一样样的填法有A、6种B、9种C、11种D、23种解析：先把1填入方格中，吻合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其余三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有331=9种填法，选B.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用渐渐下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，

4、甲需2人担当，乙丙各需一人担当，从10人中选出4人担当这三项任务，不一样的选法种数是A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种解析：先从10人中选出2人担当甲项任务，再从剩下的8人中选1人担当乙项任务，第三步从其余的7人中选1人担当丙项任务，不一样的选法共有C102C81C712520种，选C.（2）12名同学分别到三个不一样的路口进行流量的检查，若每个路口4人，则不一样的分配方案有444种444443种C4C4C4A、C12C8C4B、3C12C8C4种C、C12C8A3D、1284种A33答案：A.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校最少

5、去一名，则不一样的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有C42种方法，再把三组学生分派到三所学校有A33种，故共有C42A3336种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配常常用先分组再分配.（2）5本不一样的书，全部分给4个学生，每个学生最少一本，不一样的分法种数为A、480种B、240种C、120种D、96种2/8答案：B.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级最少一个名额，有多少种不一样分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看作10个相同的小球分成7堆，每堆最少一个，能够在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着

6、一种分配方案，故共有不一样的分配方案为C9684种.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到XX，乙不到XX，共有多少种不一样派遗方案？解析：因为甲乙有限制条件，因此依照可否含有甲乙来分类，有以下四种状况：若甲乙都不参加，则有派遗方案A84种；若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，尔后安排其余学生有A83方法，因此共有3A83；若乙参加而甲不参加同理也有3A83种；若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，尔后再安排其余8人到其余两个城市有A82种，共有7A82方法.因此共有不一样的派遗方法总数为A843A8

7、33A837A824088种.多元问题分类法：元素多，取出的状况也多种，可按结果要求分成不相容的几类状况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A、210种B、300种C、464种D、600种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种状况，分别有A55、A41A31A33、A31A31A33、A21A31A33和A13A33个，合并总计300个,选B.（2）从1，2，3，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计序次）共有多少种？解析：被取的两个数中最少有一个能被7整除时

8、，他们的乘积就能被7整除，将这1003/8个数组成的会集视为全集I,能被7整除的数的会集记做A7,14,21,98共有14个元素,不能够被7整除的数组成的会集记做IA1,2,3,4,100共有86个元素；由此可知，从A中任取2个元素的取法有C142，从A中任取一个，又从IA中任取一个共有C141C861，两种状况共吻合要求的取法有C142C141C8611295种.（3）从1，2，3，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计序次）有多少种？解析：将I1,2,3,100分成四个不订交的子集，能被4整除的数集A4,8,12,100；能被4除余1的数集B1,5,9,97，能被4除

9、余2的数集C2,6,98，能被4除余3的数集D3,7,11,99，易见这四个会集中每一个有25个元素；从A中任取两个数吻合要；从B,D中各取一个数也吻合要求；从C中任取两个数也吻合要求；其余其余取法都不吻合要求；因此吻合要求的取法共有C252C251C251C252种.交织问题会集法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用会集中求元素个数公式n(AB)n(A)n(B)n(AB).例10.从6名运动员中选出4人参加4100米接力赛，若是甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不一样的参赛方案？解析：设全集=6人中任取4人参赛的排列，A=甲跑第一棒的排列，B=乙跑第四棒的排列，依照求会集元素个数的公

10、式得参赛方法共有：n(I)n(A)n(B)n(AB)A64A53A53A42252种.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定地址，可先排这个或几个元素；再排其余的元素。例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相纪念，若老师不站两端则有不一样的排法有多少种？解析：老师在中间三个地址上选一个有A13种，4名同学在其余4个地址上有A44种方法；因此共有A31A4472种.12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可概括为一排考虑，再分段办理.4/8例12.（1）6个不一样的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不一样的排法种数是A、36种B、120种C、720种D、1440种解析：前后两排可看作一排

11、的两段，因此本题可看作6个不一样的元素排成一排，共A66720种，选C.（2）8个不一样的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某个元素排在后排，有多少种不一样排法？解析：看作一排，某2个元素在前半段四个地址中选排2个，有A42种，某1个元素排在后半段的四个地址中选一个有A14种，其余5个元素任排5个地址上有A55种，故共有A14A42A555760种排法.“最少”“至多”问题用间接消除法或分类法:抽取两类混杂元素不能够分步抽.例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中最少要甲型和乙型电视机各一台，则不一样的取法共有A、140种B、80种C、70种D、35种解析1：

12、逆向思虑，最少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不一样的取法共有C93C43C5370种,选.C解析2：最少要甲型和乙型电视机各一台可分两种状况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不一样的取法有C52C41C15C4270台,选C.选排问题先取后排:从几类元素中取出吻合题意的几个元素，再安排到必然的地址上，可用先取后排法.例14.（1）四个不一样球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？解析：“先取”四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C42种，“再排”在四个盒中每次排3个有A43种，故共有C42A43144种.（2）9名乒乓球运动

13、员，其中男5名，女4名，现在要进行混杂双打训练，有多少种不一样的分组方法？5/8解析：先取男女运动员各2名，有C52C42种，这四名运动员混和双打练习有A22中排法，故共有C52C42A22120种.部分合条件问题消除法:在采用的总数中，只有一部分合条件，能够从总数中减去不吻合条件数，即为所求.例15.（1）以正方体的极点为极点的周围体共有A、70种B、64种C、58种D、52种解析：正方体8个极点从中每次取四点，理论上可组成C84周围体，但6个表面和6个对角面的四个极点共面都不能够组成周围体，因此周围体实质共有C841258个.（2）周围体的极点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不

14、一样的取法共有A、150种B、147种C、144种D、141种解析：10个点中任取4个点共有C104种，其中四点共面的有三种状况：在周围体的四个面上，每面内四点共面的状况为C64，四个面共有4C64个；过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.因此四点不共面的状况的种数是C1044C6436141种.圆排问题线排法:把n个不一样元素放在圆周n个无编号地址上的排列，序次（比方按顺时钟）不一样的排法才算不一样的排列，而序次相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与一般排列的差异在于只计序次而首位、末位之分，以下n个一般排列：a1,a2,a3,an;a2,

15、a3,a4,an,;an,a1,an1在圆排列中只算一种，因为旋转后能够重合，故认为相同，n个元素的圆排列数有n!种.因此可将某个元素固定展成线排，其余的n1n元素全排列.例16.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不一样站法？解析：第一可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有A44种，尔后在让插入此间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不一样的安排方式2425768种不一样站法.说明：从n个不一样元素中取出m个元素作圆形排列共有1Anm种不一样排法.m17.可重复的排列求幂法:赞同重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受地址6/8的拘束，可逐一安排元素的地址，一般地n个不一

16、样元素排在m个不一样地址的排列数有mn种方法.例17.把6名实习生分派到7个车间实习共有多少种不一样方法？解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分派到车间有7种不一样方案，第二步：将第二名实习生分派到车间也有7种不一样方案，依次类推，由分步计数原理知共有76种不一样方案.复杂排列组合问题构造模型法:例18.马路上有编号为1，2，3，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能够关掉相邻的二盏或三盏，也不能够关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：把此问题看作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C53种方法,因此满足条件的关灯方案有10种.说明：一些不易理解的排列组

17、合题，若是能转变成熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题简单解决.元素个数较少的排列组合问题能够考虑列举法:例19.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，而且恰好有两个球的与盒子相同，问有多少种不同的方法？解析：从5个球中取出2个与盒子对号有C52种，还剩下3个球与3个盒子序号不能够对应，利用列举法解析，若是剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能够装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，因此剩下三球只有2种装法，因此总合装法数为

18、2C5220种.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:例20.（1）30030能被多少个不一样偶数整除？解析：先把30030分解成质因数的形式：30030=23571113；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，全部的偶因数为C50C15C52C53C54C5532个.7/8（2）正方体8个极点可连成多少队异面直线？解析：因为周围体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个极点可组成多少个不一样的周围体，从正方体8个极点中任取四个极点组成的周围体有C841258个，所以8个极点可连成的异面直线有358=174对.利用对应思想转变法:对应思想是教材中浸透的一种重要的解题方法，它能够将复杂的问题转变成简单问题办理.例21.（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦订