最新数值分析试卷及其答案3

1、精品文档2x1x20 x30 x43x12x23x30 x437分 1.列主元 Gauss消元法3x27x34x4100 x10 x10 x22x35x42210032100321003解：12303123 032分037 4101分03741003741003309220025200252002522100321003210030374101分0374100374100012100251分00251分22220012100013000252224x12x211分所以就有1x3x407分 2.应用牛顿法于方程 f x1a0，导出求a的迭代公式，并用此公式求115的值x2解：因为 f x 1a，

2、所以 x*a为方程 f x 的单根。又因为fx2a，2分x 2x 31axk3所以可知牛顿迭代公式为 xk 1xkf xx2xkaxk13f xxk2a2a3axkxk . 2分2ax3令 a115,则有 xk1xk 345xk2，230令 x010，则 x110.65217391， x210.73208918， x310.72280522， x410.72380529 2分故 115 10.723805. 1分7分 3.求一个次数不超过4次的代数多项式 P4x4，使得 4 04 00， 4141 1，421解：先求出满足303 00，3 13 11的三次 Hermite 插值多项式。3 xh

3、0 x f 0h1 x f 1 g0 x f0 g1x f1，由于f 0f0，f， 分0 f 11 1 2故 3 xh1 xg1 x ， l1 xxx0 x，x00, x11 ,x1x0h1 x1 2l 1 x1 x x1 l12 x3 2 x x 2 , g1 xx x1 l12 xx 1 x2 , 2分所以3 x3 2x x2x 1 x 2x2 2 x设4 x3 xx 2 x 1 2 , 且 4 04 03 030 0，精品文档4 131 14 13 1又因为42 1，A1 ,4xx 22 x1 x 2x1 21 x 2x 3 23分444精品文档14分 4.给定的函数值如下： f 01,

4、 f23, f 34, f52,1 写出 fx 的三次拉格朗日插值多项式 L3 x ;2 写出 fx 的三次牛顿插值多项式N 3 x解：xx x1 x x2 xx3x 2 x 3 x 51分1 l 0 x0 x1 x0 x2 x0 x302030530 x 2 x 3 x 5 1 l1xx x0 x x2 x x3x 0 x 3 x 51x0 x1x2 x1x32 0 2 3 x2 5x x 3 x 5 1分 x16l 2xx x0 x x1 x x3x 2 x 0 x 51x x2 x5 1分x2x1 x2x0 x2 x33230356l 3xx x1 x x2 x x0 x 2 x 3 x

5、 012x31分x3x1 x3x2 x3x0525350 x x30故 Lagrange 插值多项式为 L3 xf x0l 0 xf x1 l1x fx2l 2xfx3 l 3 x1 x 2 x 3 x 51 x x 3 x 52 x x 2 x 51 x x 2 x 3 2分3023152 由图中所给出数据构造差商表f x0 , x1312; f x1, x2431; f x2 , x3243203253f x0 , x1 , x2121 ; f x1, x2 , x3314 ;303523411f x0 , x1 , x2 , x333505分5N 3 xf x0f x0 , x1 x x

6、0f x0 , x1 , x2 x x0 x x1f x0 , x1 , x2 , x3 x x1 x x2 x x01 2 x1 x x 21 x x 2 x 3 3分35分已知迭代函数g x11，试讨论xn 1g xn在所给的区间上的收敛 性,5 5., x0,x 22对于收敛函数的迭代求 其收敛阶解：x1，12g 01即g x x1；分2252211def1分gxL1, xx2 240,22x00, 1 , xn 1g xn 收敛方程 xg x 在 0, 1有唯一跟1分22精品文档精品文档分xx ,在，上求关于2x4的最佳平方逼近。8 6. f11span 1, xa0 a1 x 2a2

7、 x4 ,定义内积1解：设最佳平方逼近多项式为 S xf , gfgdx1,12, 1, xx2 dx2 , 1, x 4x4 dx2 ,x2 , x 22 , x 2 , x 412x6 dx1111315517x4 , x412,f ,1110 x8 dxx dxxdxxdx 1,19101f , x 2x x2 dxx3 dxx3 dx1 , f , x4x x4 dxx5 dxx5 dx1 5分1101101012101322235a01222a11 ,故方程组的解为 a015 ， a1105 ， a2105 2分357a221286412822215793故所求 fx 的最佳平方逼近

8、多项式为 S x15105 x 2105 x4 1分12864128分设，确定它的近似值x*有几位有效数字67. x20.0315720.03解：x*0.2003102 ，分 ，x*0.00157 1020.5 102，分m 2 2 x2ml2,得 l4, 故x*20.03具有 4位有效数字 2分精品文档精品文档6分 8.给定积分 Ifbfx dx，构造计算积分 If 的2点 Gauss公式a解：由于区间，上的 点公式为133分 作变换f x dxf133xa bb a t，则 xa, b 时， t1,1 ,而 f xf abb a t2分22a b b a tb a dt22故 I ff x

9、 dxfb a f a b b a 3b1a12222223b aa b b a 3b aa b b afa b b a3 2分f223f2326226精品文档精品文档h7分 9.确定 f x dxA 1 f h A0 f 0 A1 f h 求积公式中的待定参数，使其h代数精度尽量高，并指名所构造出的求积公式 所具有的代数精度A1 A0 A12h解：分别用 f x1, x, x2 代入公式中有hA 1hA103分A 1h 2A1 h 22 h33解得：A1A1h , A04h，故原求积公式至少具有两次代数精度， 1分33再用 f xx3 代入公式有 A 1 fh A0 f 0A1 f hhh

10、34 h 0h h3 1分333hx dxh3 dx 0,故求积公式成立。但当f xx4 时，带入则fxhhh4 dx2 h5 ,右边2 h5，左边2分左边x右边，故所求求积公式具有三次代数精度h537分 10.分别用复合梯形公式的和辛普森公式计算1xdx, n80 4x2101h71 复合梯形公式： n8， h1分 ,T8f 02fxif 1882i 1h 02 0.03112840.06153850.0905660.11764710.14234880.16438360.18360660.220.1114024 3分1h772 用辛普森公式计算n 8， hS8f 04fx2fxif 1861

11、i0i2i 10.1115718 3分精品文档精品文档1aa9分 11.证明矩阵 A a1a 对于aa1证：当1a1时，A1 1 0,A222故 A正定 3分1a1是正定的，而雅克比迭代只对1a1 是收敛的22221a1aa1 a2 , A3a 1aa 1 2 2a 1 0a1aa10aaa a雅克比迭代矩阵为：BJa0a , 2分 ,IBaaa 2 2aaa0aa解得 12a, 32a 2分 ,故由收敛条件知BJ2a1, 解得 a121a12分即当时，雅克比迭代收敛227分 12.证明1x dx138 f05 f3是高斯求积公式f5 f1955证：当 fx1时，fx dx2，右边15 f38

12、 f 05 f32，左边右边 1分11955当 f xx 5时 ,x 5dx0, 右左边右边 1分11955同理可证，当 fxx, x 2， x3 , x 4时，左边右边2分 ，但当 f xx6 时，6612,右边153806536 ，左边右边 2分左边x6 dx1795525故所给公式具有5次代数精度，但由于求积节点只有3个，故所给求积公式为1分3点 Gauss公式精品文档精品文档分用改进欧拉方法求解初 值问题 y x 2x y取步长h0.1,计算到x 0.3613.y 00,解：改进欧拉方法yn 1ynhf xn 1 , ynhf xn , yn分，nn22将 f

13、x, yx2xy代入，得yn 11 hh 2ynh1 h xn 1 xn分221 xn 1 xn 1 , 1将 y00，h0.1带入计算公式，得， f 0.10.005500, f 0.20.021927500,f 0.3分0.0501443883分用欧拉方法求解初值问题 yx 2100y2取步长h 0.1,计算到x0.3保留到小数点后四位4 14.y 00,欧拉公式为yn 1 yn hf xn , ynynh x2100y2分, n 0,1,2 1代入y0，计算结果为f 0.1y1 0.0000, f 0.2y20.0010,0f 0.3y3分0.0050 3分取0.2,用四阶经典的龙格 库塔法求解下列初值问 题 y x yy 01yn 1ynh K12K 22K 3K 4 ,6K 1f xn , yn ,解：经