中考数学圆的综合-经典压轴题附答案

1、中考数学圆的综合-经典压轴题附答案一、圆的综合_1.如图1,已知扇形MON的半径为2,ZMON=90，点B在弧MN上移动，联结BM,作OD丄BM,垂足为点D，C为线段OD上一点，且OC=BM,联结BC并延长交半径OM于点A,设OA=x,ZCOM的正切值为y.（1）如图2,当AB丄OM时，求证：AM=AC；（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当厶OAC为等腰三角形时，求x的值.【答案】证明见解析；y二乔.（0ZCOB,ZCOB=ZAOC,:.厶ACOZAOC,A此种情况不存在.(iii)当CO=CA时，则ZCOA=ZCAO=a.:ZCAOZM,ZM=90-a,Aa90-a,Aa45

2、,AZBOA=2a90.tzBOA90,a此种情况不存在.14迈即：当OAC为等腰三角形时，x的值为十点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三角形的性质，建立y关于x的函数关系式是解答本题的关键.12.如图，已知在厶ABC中，AB=15,AC=20,tanA=-，点P在AB边上，OP的半径为定长.当点P与点B重合时，OP恰好与AC边相切；当点P与点B不重合时，OP与AC边相径，利用解直角三角形得出BD与AD的关系，再利用勾股定理可求得BD的长；(2)如图，过点P作PH丄AC于点H,作BD丄AC，垂足为点D,根据垂径定理得出MN=2MH,PM=PN

3、，再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长，从而求出AM、NC的AMPNAMPN长，然后求出、的值，得出=，利用两边对应成比例且夹角相等的两MPNCMPNC三角形相似即可证明.【详解】(1)如图，作BD丄AC，垂足为点D，OP与边ACOP与边AC相切，BD就是OP的半径,在RtAABD中，tanA=2AD设BD=x，贝yAD=2x，x2+(2x)2=152,解得：x=3J5，半径为3、込；(2)相似，理由见解析，如图，过点P作PH丄AC于点H,作BD丄AC，垂足为点D,PH垂直平分MN,PM=PN,在RfAHP中,tanA=-AH设PH=y,AH=2y,y2+(2y)2=(6)2解得：y=

4、6解得：y=6(取正数)，PH=6,AH=12,在RtAMPH中，MN=2MH=6,AM=AH-MH=12-3=9,NC=AC-MN-AM=20-6-9=5,AM=丄=3/5PN=3/5=3?5=5，NC=.AMPNMP=NC，又:PM=PN,ZPMN=ZPNM,ZAMP=ZPNC,AMP-PNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键3.在OO中，点C是AB上的一个动点(不与点A,B重合)，ZACB=120,点丨是ZABC的内心，CI的延长线交OO于点D,连结AD,BD.求证：AD=B

5、D.猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由.若OO的半径为2,点E,F是AB的三等分点，当点C从点E运动到点F时，求点I随之运动形成的路径长.【答案】(1)证明见解析；(2)AB=DI，理由见解析(3)兰3【解析】分析：(1)根据内心的定义可得CI平分ZACB，可得出角相等，再根据圆周角定理，可证得结论；根据ZACB=120,ZACD=ZBCD,可求出ZBAD的度数，再根据AD=BD,可证得ABD是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明ZBID=ZIBD，得出ID=BD,再根据AB=BD，即可证得结论；连接DO,延长DO根据题意可知点丨随之运动形成的图形式以D为圆心，DI】为半

6、径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD的长，再根据点E,F是弧AB-的三等分点，ABD是等边三角形，可证得ZDAI=ZAID，然后利用弧长的公式可求出点I随之运动形成的路径长.详解：（1）证明：点丨是/ABC的内心CI平分/ACBZACD=ZBCD.弧AD=弧BDAD=BD（2）AB=DI理由：TZACB=120,ZACD=ZBCD.ZBCD=Nx120=60T弧BD=BDZDAB=ZBCD=60TAD=BD.ABD是等边三角形，AB=BD，ZABD=ZCTI是厶ABC的内心BI平分ZABCZCBI=ZABITZBID=ZC+ZCBI，ZIBD=ZABI+ZABDZBID=ZI

7、BD.ID=BDTAB=BDAB=DI(3)解：如图，连接DO,延长DO根据题意可知点丨随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧ZACB=120,弧AD=弧BDZAED=ZACB=x120=60T圆的半径为2,DE是直径DE=4,ZEAD=90AD=sinZAEDxDE”x4=22丫T点E,F是弧ABH的三等分点，ABD是等边三角形，ZADB=60弧AB的度数为120,.弧AM、弧BF的度数都为为40ZADM=20=ZFABZDAI=zFAB+ZDAB=80Za|D=180-ZADM-ZDAI=180-20-80=80ZDAIi=zAUad=I1D=23弧iii2的长为：12no-9点

8、睛：此题是一道圆的综合题，有一定的难度，熟记圆的相关性质与定理，并对圆中的弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键，注意数形结合思想的渗透如图，OM与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3,-1），点A的坐标为（-2,3），点B的坐标为（-3,0）,点C在x轴上，且点D在点A的左侧.（1）求菱形ABCD的周长；（2）若OM沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，同时菱形ABCD沿x轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当OM与BC相切，且切点为BC的中点时，连接BD,求：t的值；ZMBD的度数；(3)在(2)的条件下，当点M与BD所在的直线的距离为1时

9、，求t的值.DA/Vjcs【答案】(1)8；(2)7；105；3八或6=【解析】分析：(1)根据勾股定理求菱形的边长为2,所以可得周长为8；如图2,先根据坐标求EF的长，由EE1-FE=EF=7,列式得：3t-2t=7,可得t的值；先求ZEBA=60，则/FBA=120,再得/MBF=45,相加可得：ZMBD=ZMBF+ZFBD=45+60=105；分两种情况讨论：作出距离MN和ME,第一种情况：如图5由距离为1可知：BD为OM的切线，由BC是OM的切线，得ZMBE=30,列式为3t+j3=2t+6，解出即可；第二种情况：如图6,同理可得t的值.详解：(1)如图1,过A作AE丄BC于E.T点A

10、的坐标为(-2,)，点B的坐标为(-3,0),AE=3,BE=3-2=1,二AB=!AE2+BE2=(C3)2+12=2.T四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD=AD=2,菱形ABCD的周长=2x4=8；如图2,OM与x轴的切点为F,BC的中点为E.M(3,-1),F(3,0).TBC=2,且E为BC的中点，E(-4,0),EF=7,即EE1-FE=EF,3t-2t=7,t=7；由(1)可知：BE=1,AE=、耳,AE3tanZEBA=J3,ZEBA=60，如图4,ZFBA=120.BE111T四边形ABCD是菱形，ZFBD=-ZFBA=-x120=60.TBC是OM的切线，MF丄BC.TF

11、是BC的中点，BF=MF=1,BFM是等腰直角三角形，ZMBF=45,ZMBD=ZMBF+ZFBD=45+60=105；连接BM,过M作MN丄BD,垂足为N,作ME丄BC于E,分两种情况：第一种情况：如图5.T四边形ABCD是菱形，ZABC=120,ZCBD=60,ZNBE=60.T点M与BD所在的直线的距离为1,MN=1,BD为OM的切线.TBC是OM的切线,ZMBE=30.TME=1,EB=3,3t+=2t+6,第二种情况：如图6.ZDBC=60,ZNBE=120。.ZDBC=60,ZNBE=120。.MN=1,BD为OM的切线.点M与BD所在的直线的距离为1,TBC是OM的切线，ZMBE

12、=60.，EB=，EB=tan60TME=MN=1,REM中,tan60=辰3t=2t+6+3，t=6+3；33综上所述：当点M与BD所在的直线的距离为1时，t=6-爲或6+fDADADADAFDAC心/亠1D斤A*VfCEE9）於图图4点睛：本题是四边形和圆的综合题，考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题，此类问题比较复杂，弄清动点运动方向、速度、时间和路程的关系，并与方程相结合，找等量关系，求出时间t的值.函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。（1）如图1,在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为A（6，

13、0）、B（0，2）,点C（x,y）在线段AB上，计算（x+y）的最大值。小明的想法是：这里有两个变量X、y,若最大值存在，设最大值为m,则有函数关系式y=-x+m,由一次函数的图像可知，当该直线与y轴交点最高时，就是m的最大值，（x+y）的最大值为；（2）请你用（1）中小明的想法解决下面问题：如图2,以（1）中的AB为斜边在右上方作RtAABM.设点M坐标为（x,丫），求（x+y）的最大值是多少？B11CQ图1AxQ02Ax【答案】（1）6（2）4+2丫：5【解析】分析：（1）根据一次函数的性质即可得到结论；（2）根据以AB为斜边在右上方作RtAABC,可知点C在以AB为直径的OD上运动，根据

14、点C坐标为（x,y）,可构造新的函数x+y=m，则函数与y轴交点最高处即为x+y的最大值，此时，直线y=-x+m与OD相切，再根据圆心点D的坐标，可得C的坐标为（3+J5,1+），代入直线y=-x+m，可得m=4+25，即可得出x+y的最大值为4+2丁5.详解：（1）6；（2）由题可得，点C在以AB为直径的OD上运动，点C坐标为（x,y）,可构造新的函数x+y=m，则函数与y轴交点最高处即为x+y的最大值，此时，直线y=-x+m与OD相切，交x轴与E,如图所示，连接OD,CD.A（6,0）、B（0,2）,D（3,丄），OD=、；232=10,CD=10.根据CD丄EF可得，C、D之间水平方向的

15、距离为5，铅垂方向的距离为.C（3+斗5,1+），代入直线y=-x+m,可得：1+=-（3+*5）+m,解得：点睛：本题主要考查了切线的性质，待定系数法求一次函数解析式以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是构造一次函数图象，根据圆的切线垂直于经过切点的半径进行求解.6.如图，RtAABC内接于OO,AC=BC,ZBAC的平分线AD与OO交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG.判断0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明；求证:AE=BF;若OGDE=3(2-冋，求OO的面积.【答案】(1)OG丄CD(2)证明见解析(3)6n

16、【解析】试题分析：(1)根据G是CD的中点，利用垂径定理证明即可；先证明ACE与厶BCF全等，再利用全等三角形的性质即可证明；构造等弦的弦心距，运用相似三角形以及勾股定理进行求解.试题解析：(1)解：猜想0G丄CD.证明如下：如图1,连接OC、OD.VOC=OD，G是CD的中点，二由等腰三角形的性质，有0G丄CD.证明：VAB是OO的直径，/ACB=90，而/CAE=ACBF(同弧所对的圆周角相等).在RtAACE和RtABCF中，VZACE=ZBCF=90,AC=BC，ZCAE=ZCBF，RtAACERtABCF(ASA)，AE=BF.1解：如图2,过点O作BD的垂线，垂足为H,则H为BD的

17、中点，OH=AD,即AD=2OH，又ZCAD=ZBADCD=BD,OH=OG.在RtABDE和RtAADB中，BDDEVZDBE=ZDAC=ZBAD,RtABDERtAADB,=，即BD2=ADDE,ADDBBD2=AD-DE=2OG-DE=6(2孙.又BD=FD,BF=2BD,BF2=4BD2=24(272)，设AC=x，则BC=x,AB=lx.VAD是ZBAC的平分线，ZFAD=ZBAD.在RtAABD和RtAAFD中，VZADB=ZADF=90,AD=AD,ZFAD=ZBAD,RtAABD=RtAAFD(ASA),AF=AB=2.x,BD=FD,CF=AF-AC=j2xX=(、辽1)X.

18、在RtABCF中，由勾股定理，得：BF2=BC2+CF2=x2+(-;2-1)x2=2(2迈)x2，由、，得2(2-J2)x2=24(2-J2),二总=12，解得：x=2忑或-2忑(舍去)，AB二壬=41-2、辽=26，aOO的半径长为空6,二SO=n(西)2=6n.点睛：本题是圆的综合题.解题的关键是熟练运用垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质.7.已知：如图，AB是O0的直径，PB切O0于点B，PA交O0于点C，ZAPB是平分线分别交BC，AB于点D、E,交OO于点F，ZA=60，并且线段AE、BD的长是一元二次方程X2-kx+23=0的两根(k为常数).求证：PABD=PBAE；求

19、证：OO的直径长为常数k；求tanZFPA的值.【答案】见解析；(2)见解析；(3)tanZFPA=2-嘗3.【解析】试题分析：由PB切OO于点B,根据弦切角定理，可得ZPBD=ZA,又由PF平分ZAPB，可证得PBD-PAE,然后由相似三角形的对应边成比例，证得PABD=PBAE；易证得BE=BD,又由线段AE、BD的长是一元二次方程X2-kx+2.一=0的两根(k为常数)，即可得AE+BD=k,继而求得AB=k,即：OO的直径长为常数k；由ZA=60，并且线段AE、BC的长是一元二次方程X2-kx+2.一=0的两根(k为常数)，可求得AE与BD的长，继而求得tanZFPB的值，则可得tan

20、ZFPA的值.试题解析：(1)证明：如图，TPB切OO于点B,AZPBD=ZA,TPF平分上APB,ZAPE=ZBPD,pbd-PAE,PB：PA=BD：AE,PABD=PBAE；(2)证明：如图，TZBED=ZA+ZEPA,ZBDE=ZPBD+ZBPD.又:ZPBD=ZA,ZEPA=ZBPD,ZBED=ZBDE.BE=BD.T线段AE、BD的长是一元二次方程X2_kx+2-=0的两根（k为常数），AE+BD=k,AE+BD=AE+BE=AB=k,即OO直径为常数k.（3）TPB切OO于B点，AB为直径.ZPBA=90.TZA=60.PA,V3PA,PB=PAsin60=2又TPABD=PBA

21、E,AE,BD=AE,2T线段AE、BD的长是一元二次方程X2-kx+2_=0的两根(k为常数).AEBD=2,2=2.2=2.,解得：AE=2,BD=,AB=k=AE+BD=2+.J一;,BE=BD=,在RtAPBA中，PB=ABtan60=(2+)x=3+2.亠亠BE伍f-在RtAPBE中，tanZBPF=.=.=2-.,TZFPA=ZBPF,.tanZFPA=2【点睛】此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系等知识.此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.8如图，OO是厶ABC的外接圆，AB是直径，过点O作OD丄CB，垂足为点D,

22、延长DO交OO于点E,过点E作PE丄AB,垂足为点P,作射线DP交CA的延长线于F点，连接EF,B（1）求证：0D=0P；（2）求证：FE是OO的切线.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（2）证明POE竺ADO可得DO=EO；（3）连接AE,BE,证出APEAFE即可得出结论.试题解析：（1）ZEPO=ZBDO=90ZEOP=ZBODOE=OBOPE竺ODBOD=OP（2）连接EA，EBZ1=ZEBCTAB是直径ZAEB=ZC=90.Z2+Z3=90TZ3=ZDEBTZBDE=90ZEBC+ZDEB=90Z2=ZEBC=Z1TZC=90ZBDE=90.CFIIOEZ

23、ODP=ZAFPTOD=OPZODP=ZOPDTZOPD=ZAPFZAFP=ZAPFAF=AP又AE=AEAPE竺AFEZAFE=ZAPE=90ZFED=90.FE是OO的切线考点：切线的判定.9.如图，AB为OO的直径，C、D为OO上异于a、B的两点，连接CD，过点C作CE丄DB，交CD的延长线于点E，垂足为点E，直径AB与CE的延长线相交于点F.（1）连接AC、AD，求证：ZDAC+ZACF=180。.若ZABD=2ZBDC.求证：CF是OO的切线.3当BD=6，tanF=才时，求CF的长.20【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；CF=丁.【解析】【分析】（1）根据圆周角定理证得ZAD

24、B=90，即AD丄BD，由CE丄DB证得ADIICF，根据平行线的性质即可证得结论；（2）连接OC.先根据等边对等角及三角形外角的性质得出Z3=2Z1,由已知Z4=2Z1，得到Z4=Z3，则OCIIDB，再由CE丄DB，得到OC丄CF，根据切线的判定即可证明CF为OO的切线；BD34由CFIIAD，证出ZBAD二ZF，得出tanZBAD=tanZF=，求出AD二BD=8，禾UAD43OC3用勾股定理求得AB=10，得出OB=OC二，5，再由tanF=，即可求出CF.CF4【详解】解：（1）AB是OO的直径，且D为OO上一点，:.ZADB=90。，.CE丄DB，:/DEC=90。，CF/AD，:

25、.ZDAC+ZACF=180。.（2）如图，连接OC.OA=OC，:Z1=Z2.Z3=Z1+Z2，:.Z3=2Z1.Z4=2ZBDC，ZBDC=Z1，:.Z4=2Z1，:.Z4=Z3，OC/DB.CE丄DB,OC丄CF.又OC为OO的半径,CF为oO的切线./）由（1）知CF/AD,/.ZBAD=ZF,3./tanZBAD=tanF=一,4.BD_3ID4.BD=64AD=BD=8,3/AB二62+82=10,OB=OC=5.OC丄CF,/.ZOCF=90。,厂OC3./tanF=,CF420解得CF=.【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特

26、别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果.10已知AC=DC,AC丄DC,直线MN经过点A,作DB丄MN,垂足为B,连结CB.感知如图，点人、B在CD同侧，且点B在AC右侧，在射线AM上截取AE=BD,连结CE,可证BCDECA,从而得出EC=BC,ZECB=90,进而得出/ABC=度；探究如图，当点A、B在CD异侧时，感知得出的ZABC的大小是否改变？若不改变，给出证明；若改变，请求出ZABC的大小.应用在直线MN绕点A旋转的过程中，当ZBCD=30，BD=f时，直接写出BC的长.【答案】【感知】：45；【探究】：不改变，理由详见解析；【拓展】：BC的长为-L

27、i或-1.【解析】【分析】感知证明BCDZECA(SAS)即可解决问题；探究结论不变，证明BCD里ECA(SAS)即可解决问题；应用分两种情形分别求解即可解决问题.【详解】解：【感知】，如图中，在射线AM上截取AE=BD，连结CE.图TACDC，DB丄MN,ZACD=ZDBA=90.ZCDB+ZCAB=180,TZCAB+ZCAE=180.ZD=ZCAE,TCD=AC,AE=BD,.BCD竺ECA(SAS),.BC=EC,ZBCD=ZECA,TZACE+ZECD=90,ZECD+ZDCB=90,即ZECB=90,ZABC=45.故答案为45【探究】不改变.理由如下：如图，如图中，在射线AN上截

28、取AE=BD，连接CE,设MN与CD交于点0.TACDC，DB丄MN,.ZACD=ZDBA=90，IZA0C=ZDOB，.ZD=ZEAC，CD=AC,.BCD竺ECA(SAS)，.BC=EC，ZBCD=ZECA,:ZACE+ZECD=90，.ZECD+ZDCB=90,即ZECB=90，ZABC=45.【拓展】如图-1中，连接AD.ZACD+ZABD=180，.A，C，D，B四点共圆，ZDAB=ZDCB=30，.AB=.：BD=，.EB=AE+AB=、，ECB是等腰直角三角形,如图中，同法可得BC.综上所述，BC的长为：+1或-,：-1.【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定

29、和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.11.如图，已知ABC，AB二込，BC=3，ZB=45，点D在边BC上，联结AD，以点A为圆心，AD为半径画圆，与边AC交于点E，点F在圆A上，且AF丄AD.设BD为X，点D、F之间的距离为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；如果E是df的中点，求BD:CD的值；联结CF，如果四边形ADCF是梯形，求BD的长.DQ1DQ1【答案】y=v4-4x+2x2(0 x3);5；BD【解析】【分析】过点A作AH丄BC,垂足为点H.构造直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求得AD

30、的长度.联结DF，点D、F之间的距离y即为DF的长度，在RtAADF中，利用锐角三角形函数的定义求得DF的长度，易得函数关系式.由勾股定理求得：AC=JAH2+DH2.设DF与AE相交于点Q,通过解RtADCQ和的长度，结合图形求得线段BD的长度，易得答案.(3)如果四边形ADCF是梯形，则需要分类讨论：当AFIIDC、当ADIIFC.根据相似三角形的判定与性质，结合图形解答.【详解】(1)过点A作AH丄BC，垂足为点H.TBD为x,DH=x-1在RtAADH中，ZAHD=90。,.ADAH2+DH2=2-2x+x2.联结DF,点D、F之间的距离y即为DF的长度.点F在圆A上，且AFAD，.A

31、D=AF，ZADF=45。.ad/在赵ADF中,ZDAF=90，.DF=COSZADF=*4x+2x2.y=”4-4x+2x2.(0 x3)；(2)tE是DF的中点，.AE丄DF,AE平分DF.BC=3,.HC=3-1=2.acAH2+HC2DQ设DF与AE相交于点Q,在RtADCQ中，ZDQC=90。，tanZDCQ=cq.AH1在RtAAHC中，ZAHC=90,tanZACH=-HC2ZDCQ=ZACH,-D2=1CQ2-设DQ=k,CQ=2k,AQ=DQ=k,t3k=；5,k=,.DC=pDQ2+CQ244tBD=BC-DC=_BD:CD=_35*(3)如果四边形ADCF是梯形则当AFl

32、lDC时，ZAFD=ZFDC=45。.TZADF=45。，.AD丄BC，即点d与点H重合.BD=1.当ADllFC时，ZADF=ZCFD=45.tZB=45ZB=ZCFD.tZB+ZBAD=ZADF+ZFDCZBAD=ZFDC.AABD-ADFC.兰=竺DFDCtDF2AD,DC=BCBD.二AD二AD2二BC-BD.整理得x2-x-1二0解得x二字(负数舍去)综上所述，如果四边形ADCF综上所述，如果四边形ADCF是梯形，BD的长是1或土5.2【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数值以及勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容

33、，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来.12.如图，已知AB是O0的直径，BC是弦，弦BD平分/ABC交AC于F,弦DEAB于H交AC于G.求证：AG=GD；当/ABC满足什么条件时，DFG是等边三角形？3若AB=10,sinZABD=5，求BC的长.【答案】(1)证明见解析；(2)当/ABC=60。时，DFG是等边三角形.理由见解析；14BC的长为y.【解析】【分析】首先连接AD,由DE丄AB,AB是的直径，根据垂径定理，即可得到AD=AE，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，证得ZADE=ZABD，又由弦BD平分ZABC，可得ZDBC=ZABD，根据等角对

34、等边的性质，即可证得AG=GD；当ZABC=60时，DFG是等边三角形，根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角与三角形的外角的性质，易求得ZDGF=ZDFG=60，即可证得结论；34利用三角函数先求出tanZABD二才，cosZABD=5，再求出DF、BF，然后即可求出BC.【详解】(1)证明：连接AD，TDE丄AB，AB是O0的直径，AD=AE，ZADE=ZABD,T弦BD平分ZABC,ZDBCZABD,TZDBC=ZDAC,ZADE=ZDAC,AG=GD；解：当ZABC=60时，DFG是等边三角形.理由：T弦BD平分ZABC,ZDBC=ZABD=30,TAB是OO的直径，.ZACB=90,Z

35、CAB=90-ZABC=30,ZDFG=ZFAB+ZDBA=60,TDE丄AB,ZDGF=ZAGH=90-ZCAB=60,.DGF是等边三角形；解：TAB是OO的直径，ZADB=ZACB=90,TZDAC=ZDBC=ZABD,3TAB=10,sinZABD=5.在RtAABD中，AD=ABsinZABD=6,.BD=AB2一BD2=8,AD3BD4BD4AB5.BF=BD-DF=8-=-227414.在RtABCF中，BD4AB5.BF=BD-DF=8-=-227414.在RtABCF中，BC=BFcosZDBC=BFcosZABD=x=255414.BC的长为：【点睛】此题考查了圆周角定理、

36、垂径定理、直角三角形的性质、三角函数的性质以及勾股定理等知识.此题综合性较强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意辅助线的作法.13.如图，AB是半圆O0的直径，点C是半圆O0上的点，连接AC,BC,点E是AC的中点，点F是射线0E上一点.如图1,连接FA，FC,若/AFC=2ZBAC,求证：FA丄AB；如图2,过点C作CD丄AB于点D,点G是线段CD上一点(不与点C重合)，连接FA,FG,FG与AC相交于点P,且AF=FG.试猜想/AFG试猜想/AFG和/B的数量关系，并证明；连接0G,若OE=BD,ZGOE=90,OO的半径为2,求EP的长.團1戲【答案】(1)见解

37、析;(2)结论：ZGFA=2ZABC.理由见解析；【答案】(1)见解析;【解析】【分析】证明ZOFA=ZBAC,由ZEAO+ZEOA=90,推出ZOFA+ZAOE=90,推出ZFAO=90即可解决问题.结论：ZGFA=2ZABC.连接FC.由FC=FG=FA，以F为圆心FC为半径作OF.因为AGAG，推出ZGFA=2ZACG,再证明ZACG=ZABC.图2-1中，连接AG,作FH丄AG于H.想办法证明ZGFA=120，求出EF,OF,OG即可解决问题.【详解】(1)证明：连接0C.OA=OC,EC=EA,OF丄AC,FC=FA,ZOFA=ZOFC,TZCFA=2ZBAC,.ZOFA=ZBAC,

38、TZOEA=90,ZEAO+ZEOA=90,ZOFA+ZAOE=90,.ZFAO=90,.AFAB.(2)解：结论：ZGFA=2ZABC.理由：连接FC.TOF垂直平分线段AC,FG=FA,TFG=FA,.FC=FG=FA，以F为圆心FC为半径作OF.TAGAG,ZGFA=2ZACG,TAB是OO的直径，ZACB=90,TCD丄AB,.ZABC+ZBCA=90,TZBCD+ZACD=90,.ZABC=ZACG,ZGFA=2ZABC.如图2-1中，连接AG,作FH丄AG于H.TBD=OE,ZCDB=ZAEO=90,ZB=ZAOE,.CDB竺AEO(AAS),.CD=AE,TEC=EA,.AC=2

39、CD.乙BAC=30,ZABC=60,.ZGFA=120,-OA=OB=2,.OE=1,AE=，BA=4,BD=OD=1,-ZGOE=ZAEO=90,.OGIIAC,OG=:.AGOG=:.AG=DG2+AD22、J23TFG=FA,FH丄AG,AH=HG21,zAFH=60,3AH_2/713sin6013在RtAAEF中，EF=AF2-AE24OF=OE+EF=3TPEIOG,.PE_EFO_OF,1.竺_12、忑4,丁3.pe=36【点睛】圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.14.已知：如图，四边形ABCD为菱形，ABD的外接圆OO与CD相切于点D,交AC于点E.判断OO与BC的位置关系，并说明理由；若CE=2,求OO的半径r.E【答案】（1）相切，理由