中考数学压轴题之锐角三角函数(中考题型整理,突破提升)

1、10、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）101.如图，ABC内接于OO,BC=2,AB=AC，点D为ac上的动点，且COSB=求AB的长度；在点D运动的过程中，弦AD的延长线交BC的延长线于点E,问ADAE的值是否变化?若不变，请求出ADAE的值；若变化，请说明理由.在点D的运动过程中，过A点作AH丄BD，求证：BH=CD+DH.【答案】AB二10；AD-AE=10；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）过A作AF丄BC,垂足为F,交OO于G,由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtAAFB即可求得AB长；（2）连接DG,则可得AG为OO的直径，继而可证明DAG-FAE,根据相

2、似三角形的性质可得ADAE二AFAG,连接BG,求得AF=3,FG=3，继而即可求得ADAE的值;（3）连接CD,延长BD至点N,使DN=CD，连接AN,通过证明厶ADCADN,可得AC=AN,继而可得AB=AN,再根据AH丄BN,即可证得BH=HD+CD.【详解】（1）过A作AF丄BC，垂足为F,交OO于G,1AB=AC,AF丄BC,二BF=CF=BC=1,在RtAAFB在RtAAFB中，BF=1,10(2)连接DG,AF丄BC,BF=CF,二AG为OO的直径，二ZADG=ZAFE=90,又:ZDAG=ZFAE,二DAGFAE,AD：AF=AG：AE,ADAE二AFAG,连接BG,则ZABG

3、=90,VBF丄AG,.BF2二AFFG,ArAB2BF2=3,FG二一,3=10；ADAE二AFAG二AF(AF+FG)=3x=10；3(3)连接CD,延长BD至点N,使DN=CD,连接AN,ZADB=ZACB=ZABC,ZADC+ZABC=180,ZADN+ZADB=180,ZADC=ZADN,AD=AD,CD=ND,ADCADN,AC=AN,AB=AC,AB=AN,AH丄BN,.BH=HN=HD+CD.【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.2.已知在平面直角坐标系中，点A(3,0),B(3,0),C

4、(3,8)，以线段BC为直径作圆,圆心为E，直线AC交OE于点D，连接od.求证：直线OD是的切线；点F为x轴上任意一动点，连接CF交OE于点G,连接BG：当tanZACF=7时，求所有F点的坐标(直接写出)；求BG求BGCF的最大值.BG1的最大值为厅CFBG1的最大值为厅CF2【答案】(1)见解析;Fl31，0)，尸2(5,0)【答案】(1)见解析;【解析】【分析】连接DE，证明ZEDO=90即可；分“F位于AB上和“F位于BA的延长线上结合相似三角形进行求解即可;BG1作GM丄BC于点M，证明AANF1AABC，得y，从而得解.CF2【详解】(1)证明：连接DE，则:-BC为直径.ZBD

5、C=90。.ZBDA=90-OA=OB.OD=OB=OA.ZOBD=ZODB-EB=EDZEBD=ZEDB.ZEBD+ZOBD=ZEDB+ZODB即：ZEBO=ZEDO/CB丄x轴.ZEBO=90.ZEDO=90直线OD为OE的切线.(2)如图1,当F位于AB上时:/AANFAABCi设an_3x,则NF_4x,AF_5xii.CN_CA-AN_10-3xtanZACFtanZACF_FNCN110-3x7，解得：1031(43即F31，0如图2,当如图2,当F位于BA的延长线上时:AAMFAABC2设AM=3x,则MF二4x,AF二5x22.CM=CA+AM=10+3xtanZtanZACF

6、二F2MCM4x10+3x2解得：x5AF5x22OF3+252即F2（5,0）2如图，作GM丄BC于点M,BC是直径.ZCGBZCBF90。.ACBFACGB.BG_MG_MGCFBCIMG半径=4BGMG41=0).当点行移动到点B时，求t的值；当G1，H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与厶APE重叠部分的面积.【答案】(1)EF=15；(2)10；【解析】【分析】求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；(2)易求B(0,5),当点F1移动到点B时，t=1O*1010=10;F点移动到F的距离是10t,F垂直x轴方向移动的距离是t,当点H运动到直线DENF

7、1MH4上时，在RtAFNF中，nF=3，EM=NG=15-FN=15-3t,在RtADMH中，=3，451023PK1t=4,S=x(12+)x11=；当点G运动到直线DE上时，在RtAFPK中，=-,48FK3PKt-34PK=t-3,FK=3t-9，在RtAPKG中，=厅，t=7,S=15x(15-7)=120.KG153t+93【详解】(1)设直线DE的直线解析式y=kx+b,将点E(30,0),点D(0,40),j30k+b二0lb二40，43,b=40.4yi3x+40,直线AB与直线DE的交点P(21,12),由题意知F(30,15),EF15；(2)易求B(0,5),BF10帯

8、!0,当点F1移动到点B当点F1移动到点B时，t10近0十10；当点H运动到直线DE上时，F点移动到F的距离是辿:币t,在RtAFNF中,NF1NF=3FNt,FN3t,1023810238TMH=FN=t,EM=NG=15-FN=15-3t,在RtADMH中，MH_4EM一3，.t_415-3t3，t=4,EM=3,MH=4,S=-X(12+45)x11二24PF=3、.T0,PF=t-310,在RtAFPK中，PK_1FK_3，PK=t-3,FK=3t-9,PKt-34在RfPKG中，kg=RtZ9=3t=7,S=15x(15-7)=120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质

9、；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B坐标（-6,0）,点一、C在y轴正半轴上，且cosB=5，动点P从点C出发，以每秒一个单位长度的速度向D点移动（P点到达D点时停止运动），移动时间为t秒，过点P作平行于y轴的直线/与菱形的其它边交于点Q.（1）求点D坐标；（2）求厶OPQ的面积S关于t的函数关系式，并求出S的最大值；3（3）在直线/移动过程中，是否存在t值，使S=S卄？若存在，求出t的值；若20菱形ABCD【答案】（1）点D的坐标

10、为（10，8）.（2）S关于t的函数关系式为S=4t(WW4)50L-212+竺t(4W10)，S的最大值为亍3或5+万-33【解析】【分析】（1）在RtABOC中，求BCQC,根据菱形性质再求D的坐标；（2）分两种情况分析：当0t4时和当4t10时，根据面积公式列出解析式，再求函数的最值；（3）分两220“种情况分析：当0t4时，4t=12，；当4t10时，12+t=12【详解】解:(1)在解:(1)在RtABOC中，ZBOC=90，OB=6,cosB=:.BC=-2B=10cosB：OC=弋BC2OB2=8四边形ABCD为菱形，CDIIx轴,点D的坐标为（10，8）.（2）TAB=BC=1

11、0，点B的坐标为（-6，0），点A的坐标为（4，0）.分两种情况考虑，如图1所示.当0t4时，PQ=OC=8,OQ=t,S=1S=PQOQ=4t，240,当t=4时，S取得最大值，最大值为16；TOC o 1-5 h z当4t10时，设直线AD的解析式为y=kx+b(30),将A(4,0),D(10,8)代入y=kx+b，得：rk=44k+b=0k310k+b=8161b=一316.直线AD的解析式为y=4x-16,416当x=t时，y=t一，(4164PQ=8一-1=-(10-1)133丿3S=-PQOP=-12+却t233S=-t+201=-3(t-5)2+50,-0.当t=5时，S取得最

12、大值，最大值为50T4t(0WW4)综上所述：4t(0WW4)综上所述：S关于t的函数关系式为S=v-12+201(4W10)3350S的最大值为丁.(3)S菱形cd=abC=80.当0t4时，4t=12，解得：t=3；220当4t10时，一12+t=12，解得：J=5-*7(舍去)，t2=5+7.综上所述：在直线l移动过程中，存在t值，使S=20S菱形ABCD，t的值为3或5+訂.图L图L【点睛】考核知识点：一次函数和二次函数的最值问题数形结合，分类讨论是关键.6.在RtAABC中，ZACB=90,AB=f7,AC=2,过点B作直线mil人将厶ABC绕点C顺时针旋转得到厶ABC(点A，B的对

13、应点分别为A，B),射线CA,CB分別交直线m于点P，Q.如图1,当P与A重合时，求ZACA的度数；如图2,设AB与BC的交点为M,当M为AB的中点时，求线段PQ的长；mPB在旋转过程中，当点P,Q分别在CA,CB的延长线上时，试探究四边形PABQ的面积是否存在最小值若存在，求出四边形PABQ的最小面积；若不存在，请说明理由.mPBX*F”丿/TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark12 o Current Document mAmBQX*F”丿/ACHUACHUAC备用图【答案】(1【答案】(1)60；(2)PQ2；(3)存在，S四边形PABQ【解析】【分析】(1

14、)由旋转可得：AC=AC=2，进而得到BC=3，依据ZABC=90,可得TOC o 1-5 h zBC3COSZA=屁七，即可得到ZACB=30，ZAC；(2)根据M为AB的中点，即可得出ZA=ZA1CM，进而得到PB二3BC=2，依据224327tanZQ=tanZA=，即可得到BQ=BCx=2,进而得出PQ=PB+BQ=-；=S2V3=S(3)依据S四边形pabq=Spcq-S、acb=spcq-昭，即可得到S四边形卩咖最小，即S呻最3小，而S、PCQ=-PQxBC=PQ,利用几何法即可得到S、PCQ的最小值=3,即可得到结2论.【详解】(1)由旋转可得：AC=A1C=2.TZACB=90

15、，AB=J7，AC=2，.BC=.TZACB=90,milAC,.ZA1BC=90,.cosZA1CB=_BC=丄,-ZA1CB=30。,AC2ZAC4=60；(2)TM为AB的中点，.ZA1CM=ZMAC,由旋转可得：ZMA1C=ZA,ZA=ZA1CM,tanZPCB=tanZA=、?,-pbBC=222*vzBQC=ABCP=ZA,tanzBQC=tanZA=亘，.BQ=BCx=2,二PQ=PB+BQ=7；232（3）S四边形PABQ=SPCQSACBSPCQ3，S四边形PABQ取小，即耳PCQ最小,PQ,.PCQ二2PQXBC取PQ的中点GPQ,1vzPCQ=90。，.CG=-PQ,即P

16、Q=2CG，当CG最小时，PQ最小，二CG丄PQ,即CG与CB重合时，CB重合时，CG最小，.CGmin=、込，PQmin=3，二Spcq的最小值=3，S四边形【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.7.在RtAABC中，ZACB=90,CD是AB边的中线，DE丄BC于E,连结CD,点P在射线CB上（与B,C不重合）（1）如果ZA=30,如图1,ZDCB等于多少度；如图2,点P在线段CB上，连结DP,将线段DP绕点D逆时针

17、旋转60,得到线段DF,连结BF,补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图3,若点P在线段CB的延长线上，且ZA=a（0VaV90），连结DP，将线段DP绕点逆时针旋转2a得到线段DF,连结BF,请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）【答案】（1）ZDCB=60.结论：CP=BF.理由见解析；（2）结论：BF-BP=2DEtana.理由见解析.【解析】【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，结合ZA=30,只要证明厶CDB是等边三角形即可；根据全等三角形的判定推出厶DCP竺DBF，根据全等的性质得出CP=BF,求出DC=DB=AD,DEIIAC,求出/FDB

18、=ZCDP=2a+ZPDB,DP=DF，根据全等三角形的判定得出厶DCPDBF，求出CP=BF，推出BF-BP=BC，解直角三角形求出CE=DEtana即可.【详解】(1)I上A=30,ZACB=90,ZB=60,TAD=DB,CD=AD=DB,.CDB是等边三角形，.ZDCB=60.如图1,结论：CP=BF.理由如下：TZACB=90,D是AB的中点，DE丄BC,ZDCB=60,.CDB为等边三角形.ZCDB=60T线段DP绕点D逆时针旋转60得到线段DF,TZPDF=60,DP=DF,ZFDB=ZCDP,在厶DCP和厶DBF中DC=DBZCDP=ZBDF,、DP=DFDCP竺DBF,.CP

19、=BF.(2)结论：BF-BP=2DEtana.理由：TZACB=90,D是AB的中点，DE丄BC,ZA=a,.DC=DB=AD,DEIIAC,.ZA=ZACD=a,ZEDB=ZA=a,BC=2CE,.ZBDC=ZA+ZACD=2a,TZPDF=2a,.ZFDB=ZCDP=2a+ZPDB,T线段DP绕点D逆时针旋转2a得到线段DF,DP=DF,在厶DCP和厶DBF中DC=DBZCDP=ZBDF,DP=DFDCP竺DBF,.CP=BF,而CP=BC+BP,.BF-BP=BC,在RtACDE中，ZDEC=90,CE.tanZCDE=,DE.CE=DEtana,.BC=2CE=2DEtana,即BF

20、-BP=2DEtana.【点睛】本题考查了三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出厶DCPDBF是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似.8小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30,AC长:米，钓竿AO的倾斜角是60,其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60,求浮漂B与河堤下端C之间的距离（如图）.【解析】试题分析：延长OA交BC于点D.先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出3；i7叮在RfACD中；來，CD=2AD=33B）_OD-OA+AD-3+-4-5米，再证明厶BOD是等边三角形，得到米，然后根据BC=BD-CD即

21、可求出浮漂B与河堤下端C之间的距离.试题解析：延长OA交BC于点D.AO的倾斜角是，ZODB-60LCAD-180a-LODB-ACD-902爭爭3ADAC-十滋口匚。JX在Rt3CD中，；（米）,.CD=2AD=3米，又.j-Ti.BOD是等边三角形，3BD-OD-OA+AD-34-4.5.-（米），.BC=BD-CD=4.5-3=1.5（米）.答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米.9.如图，在平行四边形ABCD中，卞平分，交川于点，!-,：平分，交汕于点与：交于点：，连接：，；：；：(1)求证：四边形是菱形；【答案】(1)证明见解析=打【答案】(1)证明见解析=打，求f的值.百【解析】试题分析：(1)根据AE平分/BAD、BF平分/ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE,从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形(2)由菱形的性质可知AP的长及ZPAF=60,过点P作PH丄AD