上海高二教学数学矩阵其运算

1、矩阵及其运算矩阵的看法51212823m23m11、形如13836、324、3242、36这样的矩形数表叫做矩阵。3212841n41n423b12、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量a1,a2,an称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量b2称为bn列向量；由m个行向量与n个列向量组成的矩阵称为mn阶矩阵，mn阶矩阵可记做Amn，如矩阵1为351212821阶矩阵，可记做A21；矩阵363836为33阶矩阵，可记做A33。有时矩阵也可用A、B等字母232128表示。3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个mn阶矩阵Amn中的第i（im）行第j（jn）列数可用512128字母aij表示，如矩

2、阵363836232128第3行第2个数为a3221。4、当一个矩阵中所有元素均为000为一个23阶零矩阵。0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如0005、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n行（列），可称此方阵为n51212823m阶方阵，如矩阵363836、324均为三阶方阵。在一个n阶方阵中，从左上角到右下角所有23212841n元素组成对角线，若是其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做10单位矩阵。如矩阵为201100阶单位矩阵，矩阵010为3阶单位矩阵。0016、若是矩阵A与矩阵B的行数和列数分别相等，那么A与B叫做同阶矩阵；若是矩阵A与矩阵B

3、是同阶矩阵，当且仅当它们对应地址的元素都相等时，那么矩阵A与矩阵B叫做相等的矩阵，记为AB。2x3ymz123m7、对于方程组3x2y4z2中未知数x,y,z的系数按原来的次序排列所得的矩阵324，我们叫4xynz441n23m1做方程组的系数矩阵；而矩阵3242叫做方程组的增广矩阵。41n4应用举例：2xxyb2a且AB，求a、b的值及矩阵A。例1、已知矩阵A,Byxy22xa2b例2、写出以下线性方程组的增广矩阵：2x3y1（1）；（2）4xy6x2y3z20 x3y2z502xyz30例3、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：2321025321（1）2（2）0140233si

4、ncos0,，求sin的值。例4、已知矩阵cos为单位矩阵，且sin12矩阵的基本变换：1）互换矩阵的两行或两列；2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；3）某一行乘以一个数加到另一行。显然，经过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。应用举例：4x3yz5例1、用矩阵变换的方法解三元一次方程组7x2yz4的解。5x2y3z8ax3y2例2、运用矩阵变换方法解方程组：y（a、b为常数）2xb课堂练习：用矩阵变换方法解以下问题：xy2（1）若方程组1)x的解x与y相等，求k的值。(k(k1)y43x2yz0（3）解方程：xy2z55x7

5、y8z1矩运算（从中抽象出来的矩，我常将几个矩系起来，它可否相等，它在什么条件下能够行何种运算，些运算拥有什么性等，是下面所要的主要内容.）1相等定若是两个矩Aaijmn，Bbijsp足：(1)行、列数同样，即ms,np；元素相等，即aij=bij(i=1,2,m；j=1,2,n)，称矩A与矩B相等，作A=B（由矩相等定可知，用等式表示两个mn矩相等，等价于元素之的mn个等式.）比方，矩A=a11a12a13，B=305a21a22a23214那么A=B，当且当a11=3，a12=0，a13=-5，a21=-2，a22=1，a23=4而c11c12C=c21c22因B,C两个矩的列数不同样，因

6、此无矩C中的元素c11122122取什么数都不会与矩B相等.,c,c,c2加法定Aaijmn，Bbijsp是两个mn矩，称矩a11b11a12b12a1nb1na21b21a22b22a2nb2nC=am1bm1am2bm2amnbmn为A与B的和，记作C=A+B=aijbij（由定义可知，只有行数、列数分别同样的两个矩阵，才能作加法运算.）同样，我们能够定义矩阵的减法：D=A-B=A+(-B)=aijbijD为A与B的差.例1304234设矩阵A=51，B=3，求A+B，A-B.201coscos00020，若ABC，(0,)，10例2、矩阵A，Btan，Ctan1tantan172(,)，

7、求sin2的值。2矩阵加法满足的运算规则是什么设A,B,C,O都是mn矩阵，不难考据矩阵的加法满足以下运算规则1.加法互换律：A+B=B+A；2.加法结合律：(A+B)+C=A+(B+C)；3.零矩阵满足：A+O=A；4.存在矩阵-A，满足：A-A=A+(-A)=O.3数乘定义设矩阵Aaijmn，为随意实数，则称矩阵Ccijmn为数与矩阵A的数乘，其中cijaij(i1,2,m;j1,2,n)，记为C=A（由定义可知，数乘一个矩阵A，需要用数去乘矩阵A的每一个元素.特别地，当=-1时，A=-A，获取A的负矩阵.）317例3矩A=405，用2去乘矩A，求2A.260数乘矩足的运算是什么数k,l和

8、矩A=aij，B=bij足以下运算：mnmn1.数矩的分配律：k(A+B)=kA+kB；2.矩数的分配律：(k+l)A=kA+lA；3.数与矩的合律：(kl)A=k(lA)=l(kA)；4.数1与矩足：1A=A.3243例4矩A=50，B=82，求3A-2B.16174乘法矩乘的定A=aij是一个ms矩，B=bij是一个sn矩，称mn矩C=cij矩As与B的乘，作C=AB.其中cij=ai1b1j+ai2b2j+aisbsj=aikbkj(i=1,2,m；j=1,2,n).k1（由矩乘的定可知：）只有当左矩A的列数等于右矩B的行数，A,B才能作乘法运算AB；(2)两个矩的乘AB亦是矩，它的行数

9、等于左矩A的行数，它的列数等于右矩B的列数；(3)乘矩AB中的第i行第j列的元素等于A的第i行元素与B的第j列元素的乘之和，故称行乘列的法.2198例6矩A=40，B=，算AB.71035例72422设矩阵A=，B=1，求AB和BA.121由例6、例7可知，当乘积矩阵AB有意义时，BA不用然有意义；即使乘积矩阵AB和BA有意义时，AB和BA也不用然相等.因此，矩阵乘法不满足互换律，在今后进行矩阵乘法时，必然要注意乘法的次序，不能够随意改.在例6中矩阵A和B都是非零矩阵（AO,BO）,但是矩阵A和B的乘积矩阵AB是一个零矩阵（AB=O），即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.因此，当AB=O，不能够

10、得出A和B中最少有一个是零矩阵的结论.一般地，当乘积矩阵AB=AC，且AO时，不能够消去矩阵A，而获取B=C.这说明矩阵乘法也不满足消去律.那么矩阵乘法满足哪些运算规则呢矩阵乘法满足以下运算规则：乘法结合律：（AB）C=A（BC）；左乘分配律：A（B+C）=AB+AC；右乘分配律：（B+C）A=BA+CA；数乘结合律：k（AB）=（kA）B=A（kB），其中k是一个常数.01，矩阵B1例8：已知A0，求AB。12练习：计算以下矩阵的乘法b1a1（1）(a1a2Lan)b2；（2）a2(b1b2Lbn)。LLbnanx例9、已知矩阵Af(x)，Bx1x，C，若A=BC，求函数f(x)在1,2上的

11、最小值.2a例10：将以下线性方程组写成矩阵乘法的形式2xy3z12xy1（1）；（2）4x2y3z1。4x3y72xy4z111例11：若ABBA，矩阵B就称为与A可变换，设A，求所有与A可互换的矩阵B。01课堂练习与课后作业一、选择题1、“两个矩阵的行数和列数相等”是“两个矩阵相等”的（）A、充分不用要条件B、必要不充分条件是C、充要条件D、既不充分又不用要条件2x3y22、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组2y其中正确的选项是（）x123x221x2A、2y1B、2y11323x232x2C、2y1D、1y11221143、若A03，B20，且2A3XB，则矩阵X_.145322_4、点

12、A（1，2）在矩阵对应的变换作用下获取的点的坐标是0100a是一个正三角形的三个极点坐标所组成的矩阵，那么a+b=.5、已知2b06、若点A(2,2)在矩阵cossin对应的变换作用下获取的点为（1，0），那么=.sincos227、若点A在矩阵12对应的变换作用下下获取的点为（2，4），那么点A的坐标为.228、已知A1cossin，B12.cossin12若A=B，那么+=19、设A为二阶矩阵，其元素满足，aijaji0i=1，2，j=1，2，且a12a212，那么矩阵A=.x4，B1u10：Ayv，且AB，那么A+AB=。6311、一个线性方程组满足，系数矩阵为单位矩阵，解为1行3列的矩阵(1,2,1)，那么该线性方程组为。cos60sin601312、计算:若矩阵A，B22，则AB_.sin60cos6031221134213、计算：246=.115021214.线性方程组xy60_，增广矩阵是_.3x5y4对应的系数矩阵是0230，则(AB)C