2003年高考.北京卷.理科数学试题及答案

1、2003 年普通高等学校招生全国统一考试数 第卷 共.2.11sincos )S (ccl22台侧1cossin )c c 、 21coscos cos()cos() .l214sinsin cos()cos()V R323球R.5.Ax| x 1 B x|log x 0|,则AB2（）2x|xx|xx|xx|x或x1 y 4 ,y 8 ,y ( )0.90.441.5（）2123y y y Dy 3122131231323cos ”是“ k ,kZ2n（）nm cos 2cos 1（24DD5zC | z2i则| z2i|且）23322 33122 D43种 种（）种D6种3 2 ( 2 )

2、 nnnnnaa,n2nnlim(a a a )12nn11241724192425D24.k第 .ija ij.ij， 2）aaa a a a ak2kk2a a a a aka aa a a a k1 k2(x) x2),g(x) 0|x1. xx 1.x2y21r. f(x) cos x2sin xcosxsin .44 f(x)x 2. a an1123 a n bnnnn A B C =111111111 A A 与x B B 在y b121 2C(x ,y D(x ,y )(y ；1112222点G(x ,y ),H(x ,y )(y 0).3433444124交xP交x或x 有三

3、个新兴城镇，分别位于CPP点P ） fxy f(x)121| fu) f(v)|uv|,当u,v .2一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5 分，满分50 .1A 2D 3A 4B D 6B 7C 8C C 10C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分16 .14f(xg(x)y22r2(ab) 14 36( 4)x12134三、解答题：本大题共 6 小题，共84 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13 分. （）解：因为 f(x) x2xx x44 (cos

4、xsin x)(cos xsin x)sin2x2222 cos2xsin2x 2cos(2x )4f(x)的最小正周期T.所以2（）解：因为0 ,所以 2 x.x2444 2 x2当时，取得最大值；当时，取得最小2x cos(2 )cos(2 )x4x44442f(x) 0, 在2.值1. 所以2 上的最大值为 ，最小值为16.满分 13 分.a a d a a a a d 又d公差为 ，则（）解：设数列n12311a 2.nS b b b ,b a x 2nx ,则由 n 得所以（）解：令nn12nnnS 2x4xn(2 2)xn12nx xS, 2 4 (2 2) 2xxnx,nxn12

5、n23nnn2xxn )x 1当时，式减去式，得 ) 2( x S x x2xn)2nxn12nxn1,1 xn2xx ) 2所以S n1.nx)21xnx1时, S 24 2n n(n综上可得当x 1时,Sn n ( 当当nnx 12xx ) 2时，S n1n.x)21xn17本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 满分 15 分.（）证明：CD/C B ，又BD=BC=B C ， 四边形BDB C 是平行四边形， BC /DB .11111111平面 AB ，直线 BC /平面 AB D.又 DB1 平面 AB ，BC111

6、1111111BD=BC=AB，1.BE AC 2133B B 2B 113211113, V 1S平面 BB C C，且 AF=22A BB C113111.112288解法二：在三棱柱 A B C 中， SV111C AABAA B CABB1111133 3 8.211342811 (yr) 焦点坐标为Fx212ab2ba2 2e .ay k xb x a (k xr) a b ,222222（）证明：将直线 CD 的方程112222222212k a r2a2r2x x r2x x ,x x 1b a k212b212222212y k xx x rb22将直线 GH的方程2x x2k

7、 r342b2 k x x由，得 1 121x x12rx x212（）证明：设点 Pp,0 Q（q,0 CP、H 共线，p12111x p k x22222由 、G共线，同理可得由12231221231234234k x k xk x k x12231124(k k )x x(k k )x x即1223121412231124所以| p|q|,即|OP|OQ|.19本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分 14 分.（）解：由题设可知，,22yh2f(y) 2(b)(h y) h平方和为22222233122数3 b2 y ,当 b y |h y|

8、,222（）解法一：P 至三镇的最远距离为 ( )hb2hy h22, y *22b222h2 hb时，即,y y,22*当yn*数，而 |hy|在(-,y*上是减函数 . 由此可知 ,当 y yn时,函数 g(y)取得最小值 . 当0,即 hb时,函数 y2 在b2上,当 y0时,取得最小值b ,而2y*y*|h y|在(-,y*上为减函数,且|h y 可见, 当y 0时, 函数g(y) 取得最小值. 答22); h b当 时,点P (0,0),其中22当2 b22,当 b y2 | |解得b2 h yb2h2b2h22y2*y*0,即hb,zg(y),即hb,z的图象如图y0时，函数 g(

9、y)取得最小值.*h bh a b .22b2，点 00P222 a b221222若P C 和P ，且 P CMCP ，所以点 P 与外心 M12122212且P COCP OC，所以点 P 与 BC 边中点O 重合时，12bP 到三镇的最远距离最小为 .答：当h22 a b b时，点P 的位置在原点 O.222)220本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分 14 .x时，有| f(x) | f(x) f | x1|1x,x1 f(x)1.即u,v当|uv,有|-|u-v（）证法一：对任意的当|u-v,uv 不妨设u v v-u 则所以，| fu

10、) f(v)| fu) f(| f(v) f|u 1|v1|1u1v 2(vu)1.综上可知，对任意的u,v都有| f(u) f(v)1. x, 1- x,| f(x)| f(x) f( 1x | x|.x,| f(x)| x|.因此，对任意的 u,v,所以，当当|uv1uv 0时，| ( ) ( )| 1.当| 1时，有f u f v u v u v且1|uv|u|v 所以| ( ) ( )| ( )| ( )| | 2 | ) 1.f u f v f u f vuvuvu,v,综上可知，对任意的都有| ( ) ( )1.f u f v（）答：满足所述条件的函数不存在.理由如下，假设存在函数 f(x)满足