复变函数与积分变换

1、 复变函数 与积分变换 主讲：胡良根宁波大学理学院 二零一零年十月 大学数学多媒体课件2022/10/151参考用书 复变函数与积分变换学习辅导与习题全解, 华中科大, 高等教育出版社 2022/10/152 目 录第二章 解析函数第三章 复变函数的积分第四章 解析函数的级数表示第五章 留数及其应用第六章 傅立叶变换第七章 拉普拉斯变换第一章 复数与复变函数2022/10/153 第三章 复变函数的积分内容提要：在微积分中，当引入实变量函数的积分后，可以解决很多的重要的问题，在复变函数中也一样，当引入复变函数的积分后，也可以解决很多理论及实际问题如有了积分可以证明一个区域上有导数的函数就有无穷

2、多阶导数，可以将一般的解析函数分解成一些最简单的函数的迭加，这就给研究解析函数的性质提供了强有力的工具，今后还可以看出用复变函数的积分给计算某些定积分带来很大的方便本章内容与实变量二元函数有紧密关系，特别是二元函数的第二类曲线积分的概念、性质和计算方法，全微分及积分与的问题，格林公式等 2022/10/154 第三章 复变函数的积分3.1 复积分的概念3.2 柯西积分定理3.3 柯西积分公式3.4 解析函数的高阶导数本章小结 思考题2022/10/155第一节 解析函数的概念一、积分的定义 有向曲线：设C为平面给定的一条光滑（或按段光滑）的曲线，如果选 定C的两个可能方向的一个作为正方向（或正

3、向），则我们就把C称为有向曲线与曲线C反方向的曲线记为 定义1： 简单闭曲线正向：当曲线上的点P顺此方向前进时，邻近P点的曲线内部始终位于P点的左方，这时曲线方向称为正方向 C为区域D内起点为A终点为B的一条有向光滑的简单曲线 分2022/10/1562022/10/157二、积分存在条件及其计算方法 定理1：2022/10/158证明：注意：2022/10/159法一计算这种计算复积分方法在已知曲线C方程的条件下适合2022/10/1510例1解：注意：沿不同的路径积分的结果是相同的，即积分与路径无关， 2022/10/1511例2解：综上所述：这个积分结果以后常用，它的特点是与积分路线圆周

4、的中心和半径无关 2022/10/1512例3解：由此题可以看出，尽管起点、终点都一样，但由于沿不同的曲线积分，所以积分值也是不同的2022/10/1513三、复积分的性质 因为复积分的实部和虚部都是曲线积分，因此，曲线积分的一些基本性质对复积分也成立 2022/10/1514证明性质（5）： （估计不等式） 2022/10/1515例4解：2022/10/1516例5证明：2022/10/1517第二节 柯西积分定理 从上一节所举的例子来看: 的任何路线积分值都相同，换句话说，积分是与路径无关的 由此可猜想：积分的值与路径无关或沿闭曲线积分值为零的条件与被积函数的解析性及区域的单连通性有关究

5、竟关系如何，下面我们讨论此问题 2022/10/1518一、柯西积分定理 定理2：（柯西古萨基本积分定理） 柯西积分定理表明，函数满足一定的条件，则积分与路径无关 2022/10/1519证明：2022/10/1520说明：2022/10/1521定理3：证明：依柯西-古萨基本定理2022/10/1522例6解：2022/10/1523二、复合闭路定理 定理4：（闭路变形定理） 证明： 一个解析函数沿闭曲线的积分，不会因闭曲线在区域内作连续的变形而改变它值这事实称闭路变形定理 2022/10/1524推论：（复合闭路定理） 2022/10/1525例1解：2022/10/1526三、原函数与不

6、定积分 定理5：1积分上限函数 2022/10/1527定理6：证明：2022/10/15282022/10/15292原函数的概念 结论： 2022/10/1530定理7：证明：类似于微积分学中的基本定理和牛顿莱布尼兹公式 有了定理7，复变函数的积分就可用跟实变量函数微积分学中类似的方法计算，分部积分法，换元积分法均可用在复变函数积分中 2022/10/1531例2解：例3解：2022/10/1532第三节 柯西积分公式 一、柯西积分公式 2022/10/15332022/10/1534定理8：(柯西积分公式） 证明：2022/10/1535说明：推论1：（平均值公式） 推论2：2022/1

7、0/1536例1计算下列积分解：例22022/10/1537证明：2022/10/1538例3计算下列积分 解：2022/10/1539二、最大模原理 定理9：（最大模原理） 这个定理表明一个解析函数的模，在区域内部的任何一点都达不到最大值，除非这个函数恒等于常数这是解析函数一个非常重要的原理 推论1：推论2：说明：最大模原理不仅是复变函数论一个很重要的原理，而且在实际上也是很有用的原理，它在流体力学上反映了平面稳定流动在无源无旋的区域内流体的最大值不能在区域内达到，而只能在边界上达到，除非它是等速流体 2022/10/1540例3证明：2022/10/1541第四节 解析函数的高阶导数 一、

8、解析函数高阶导数公式 一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各高阶导数，它的值也可以用函数在边界上的值通过积分来表示这一点跟实变函数完全不同，一个实变函数在某一区间上可导，它的导数在这个区间上是否连续也不一定 ，更不要说有高阶导数存在了下面我们讨论解析函数的各阶导数的解析问题 再继续又可得： 这是求导与积分两种运算允许交换的条件下推出的，这样作是否可行呢？我们对此加以讨论 2022/10/1542定理10：证明：2022/10/15432022/10/1544说明：（1）此公式可理解为把柯西公式 （2）高阶导数公式的作用不在于通过积分来求导，而在于通过求导来积分，即 2022/10/1545例1解：2022/10/15462022/10/1547例2解：202