LU分解MatLab算法分析

1、最近矩阵分析老师出了一道题目作为作业A LU 要求能对A PA=LU 的分解，并最终输出矩阵。首先对A LU 分解，即能把A A=L*U（U 是上三角矩阵，是由A 矩（i,j） 位置元素过程中主元所乘的系数，条件有3，一是矩阵AA如果不是方阵，LU 分解啦，这是基本条件，牢记啊！二是矩阵A 必须可逆，换种说法就是A A A 0，好绕，矩阵就是这样，很多定理其实是等价的，但是你得记住，不然在推导一些定理或公式的时候会犯一些基本的常识性错误。三是矩阵 A 在高斯消元过程中必须0 A 进行高斯消元过程中没有出现进行交换这种情况下L*U 这种形式，如果对A 进行高斯消元，中间某一步出现0 主元，需要进

2、行行交换了，这种情况下就不要想对A LU 分解啦，因为不满足条件3 啊！那么问题来了0 主元这种情况，我又想对A LU 分解，那应该怎么办？LU 分解，也就是本文的主题。根据书上的定理，对任意一个非奇异矩阵（等价于可逆矩阵）都存在一个置换矩阵P P*A L*U 这种形式， 即A 不是要进行行变换才能继续高斯消元吗？ LU 分解前提又是高斯消元过程中不能出现行交换，那好，我事先对A 矩阵在高斯消元过B 高斯消元那肯定就不会出现需LU B LU 分解了吗？ 是的，PA=LU LU 分解采用的就是这种思想。那么现在的问题是，怎么在代码中实现对A LU 分解，并输出 矩阵呢？我在网上搜了一下，发现结果

3、大都不尽A=LU 这种形式的分解，一旦说A 3，那就死翘low 在这个例子中，最简单的情况就是矩阵A在高斯消元过程中不需要进行行交换，也就是说A可以分解成A=L*U这种形式。这种情况下，代码如下。function LUDecomposition(A,n)%A is the square matrix,n is the orderof AL=eye(n);%Let the L matrix be an identity matrix atfirst for i=1:n-1forj=i+1:nendL(j,i)=A(j,i)/A(i,i);A(j,:)=A(j,:)-(A(j,i)/A(i,i)*

4、A(i,:);endU=A %A becomes U matrix after Gausselimination L可以试着令A=2 2 2;4 7 7;6 18 22，调用函数获得L矩阵为1 0 0;2 1 0;3 4 1，U矩阵为2 2 2;0 33;0 4 4，用笔验算下，这个结果是正确的。代码运行结果如图所示：的话，A个非零主元。 n-1n个主元已经是矩阵的最 个主元下面所有元 1n-1 ni+1n（j， i）L矩阵第位置的元素，所以有;。AL（，这样就;。矩阵，L矩阵。进行PA=LU 0主 00P矩阵中的操作是相应的两行也要进行交换， AAi kLi行和 第kA=1 2 -3 4;4

5、 8 12 -8;2 3 2 1;-3 -1 1 得L矩阵为1 0 0 0;-3 1 0 0;2 -0.2 1 0;2 -0.2 1 0;4 0 3.75 1,U矩阵为1 2 -3 4;0 5 -8 8 ;0 0 6.4-5.4;0 0 0 1 0 0 0;0 0 0 1;0 0 1 0;0 1 0 多，但目前来说我觉得应该没什么问题了，如果有问题欢迎反馈给我。这部分代码如下： function AdvanceLUDecomposition(A,n)%A is the square matrix,n istheorder of A,A must be invertibleD=A; %Store

6、 matrix A in D,for later use L=zeros(n);%Let the L matrix be an zero matrix atfirstP=eye(n);%Let the permutation matrix be a identity matrix atfirst for i=1:n-1forj=i+1:nif A(i,i)=0 %A zero pivot appears on (i,i) position,we need to finda nonzero entry below it to be the new pivot,with row exchangef

7、or k=n:-1:i+1 %find a nonzero entry below the (i,i) entry in thei column,start from the last rowifA(k,i)=0%Wehavefoundanonzeroentry,tochooseitasthenewpivot,we need row exchange kii,:);%PermuteiandkrowinLmatrix i,:);%PermuteiandkrowinAmatrix i,:);%PermuteiandkrowinPmatrixbreak; end end endend endL(j,

8、i)=A(j,i)/A(i,i);A(j,:)=A(j,:)-(A(j,i)/A(i,i)*A(i,:);U=A %A becomes U matrix after Gauss eliminationL=L+eye(n) %All entries on the diagonal of L matrix must be1 P %output the permutation matrixB=L*U %verify if the product of L and U equals to P*AC=P*D%DistheoriginalAmatrix,checkitoutinrow2%IfBequals

9、C,then it means the algorithm works correctly%some key points and theroms about LU factorization%Theorem 1 A nonsigular matrix Anxn possesses an LU factorization if and%only if a nonzero pivot does not emerge during row reduction toupper%triangular form with type III operations.%Theorem2Foreachnonsi

10、gularmatrixA,thereexistapermutationmatrix P%such that PA possesses an LU factorization PA=LU%Remember,theconceptofnonsingularmatrixisforsquarematrix,itmeans%that the determinant is nonzero,and this is equivalent that thematrix has%full-rank%Based on these conditions,the first thing about the matrix A onwhich we%conduct LU factorization is that A must be a square matrix.The second%thing is A must be invertible,which is equal to the statement that A is%non-singular代码运行结果如图所示：Ax=b的时候，一般来 A