用导数求函数的极值

1、用导数来求函数的极值例求以下函数的极值：1f(x)x312x；2f(x)x2ex；3f(x)2x2.x21解析：依照求极值的基本方法，第一从方程f(x)0求出在函数f(x)定义域内全部可能的极值点，尔后依照函数极值的定义判断在这些点处可否获取极值解：1函数定义域为Rf(x)32123(x2)(x2).x令f(x)0，得x2当x2或x2时，f(x)0，函数在,2和2,上是增函数；当2x2时，f(x)0，函数在（2，2）上是减函数当x2时，函数有极大值f(2)16，当x2时，函数有极小值f(2)16.2函数定义域为Rf(x)2xexx2exx(2x)ex令f(x)0，得x0或x2当x0或x2时，f

2、(x)0，函数f(x)在,0和2,上是减函数；当0 x2时，f(x)0，函数f(x)在（0，2）上是增函数当x0时，函数获取极小值f(0)0，当x2时，函数获取极大值f(2)4e23函数的定义域为Rf(x)2(1x2)2x2x2(1x)(1x).(x21)2(x21)21令f(x)0，得x1当x1或x1时，f(x)0，函数f(x)在,1和1,上是减函数；当1x1时，f(x)0，函数f(x)在（1，1）上是增函数当x1时，函数获取极小值f(1)3，当x1时，函数获取极大值f(1)1.说明：思想的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件综合运用，方可实现解题的正确

3、性解答此题时应注意f(x0)0可是函数f(x)在x0处有极值的必要条件，若是再加之x0周边导数的符号相反，才能判断函数在x0处获取极值反响在解题上，错误判断极值点或遗漏极值点是学生经常出现的失误复杂函数的极值例求以下函数的极值：()32(5)；221xxf(x)xx6.fx解析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，尔后依照极值的定义判断在函数f(x)的定义域内追求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必定确定函数定义域内全部不能导的点这两类点就是函数f(x)在定义内可能取到极值的全部“可疑点”解：1f(x)2(x5)3x22(x5)3x5(x2).33x33x33x令f(x

4、)0，解得x2，但x0也可能是极值点当x0或x2时，f(x)0，函数f(x)在,0和2,上是增函数；当0 x2时，f(x)0，函数f(x)在（0，2）上是减函数2当x0时，函数获取极大值f(0)0，当x2时，函数获取极小值f(2)334x2x6,(x2或x3),2f(x)x6,(2x3),x22x1,(x2或x3),f(x)2x1,(2x3),不存在,(x2或x3).令f(x)0，得x12或12当xx3时，f(x)0，2函数f(x)在,2和1,3上是减函数；2当x3或2x10，时，f(x)2函数f(x)在3,和2,1上是增函数2当x2和x3时，函数f(x)有极小值0，当x1时，函数有极大值25

5、24说明：在确定极值时，只谈论满足f(x0)0的点周边的导数的符号变化情况，确定极值是不全面的在函数定义域内不能导的点处也可能存在极值此题1中x0处，2中2及x3处函数都不能导，但f(x)在这些点处左右两侧异号，依照极值的判断方法，函数f(x)在这些点处仍获取极值从定义解析，极值与可导没关依照函数的极值确定参数的值例已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1时获取极值，且f(1)11试求常数a、b、c的值；2试判断x1是函数的极小值还是极大值，并说明原因解析：观察函数f(x)是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再经过极值点与导数的关系，即极值点必为f(x)0的根建立起由极值点x1所

6、确定的相关等3式，运用待定系数法求出参数a、b、c的值解：1解法一：f(x)3ax22bxc1是函数f(x)的极值点，x1是方程f(x)0，即3ax22bxc0的两根，由根与系数的关系，得2b0,（1）3ac1,（2）3a又f(1)1，abc1，（3）由（1）、（2）、（3）解得a1,b0,c322解法二：由f(1)f(1)0得3a2bc0，（1）3a2bc0（2）又f(1)1，abc1，（3）解（1）、（2）、（3）得a1,b0,c3222fx1x33x，3233()2f(x)2x2(x1)(x1).22当x或1时，f(x)0，当1x1时，f(x)0.1x函数f(x)在,1和1,上是增函数，

7、在（1，1）上是减函数当x1时，函数获取极大值f(1)1，当x1时，函数获取极小值f(1)1说明：解题的成功要靠正确思路的选择此题从逆向思想的角度出发，依照题设构造进行逆向联想，合理地实现了问题的转变，使抽象的问题详尽化，在转变的过程中充分运用了已知条件确定认识题的大方向可见出路在于“思想认识”在求导此后，不会应用f(1)0的隐含条件，所以造成认识决问题的最大思想阻挡利用导数求函数的极值例求以下函数的极值：41f(x)x312x；2f(x)x2ex；3f(x)2x2.x21解析：依照求极值的基本方法，第一从方程f(x)0求出在函数f(x)定义域内全部可能的极值点，尔后依照函数极值的定义判断在这

8、些点处可否获取极值解：1函数定义域为Rf(x)32123(x2)(x2).x令f(x)0，得x2当x2或x2时，f(x)0，函数在,2和2,上是增函数；当2x2时，f(x)0，函数在（2，2）上是减函数当x2时，函数有极大值f(2)16，当x2时，函数有极小值f(2)16.2函数定义域为Rf(x)2xexx2exx(2x)ex令f(x)0，得x0或x2当x0或x2时，f(x)0，函数f(x)在,0和2,上是减函数；当0 x2时，f(x)0，函数f(x)在（0，2）上是增函数当x0时，函数获取极小值f(0)0，当x2时，函数获取极大值f(2)4e23函数的定义域为Rf(x)2(1x2)2x2x2

9、(1x)(1x).(x21)2(x21)2令f(x)0，得x1当x或时，f(x)0，1x15函数f(x)在,1和1,上是减函数；当1x1时，f(x)0，函数f(x)在（1，1）上是增函数当x1时，函数获取极小值f(1)3，当x1时，函数获取极大值f(1)1.说明：思想的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件综合运用，方可实现解题的正确性解答此题时应注意f(x0)0可是函数f(x)在x0处有极值的必要条件，若是再加之x0周边导数的符号相反，才能判断函数在x0处获取极值反响在解题上，错误判断极值点或遗漏极值点是学生经常出现的失误复杂函数的极值例求以下函数的极值：

10、()32(5)；221xxf(x)xx6.fx解析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，尔后依照极值的定义判断在函数f(x)的定义域内追求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必定确定函数定义域内全部不能导的点这两类点就是函数f(x)在定义内可能取到极值的全部“可疑点”解：1f(x)2(x5)3x22(x5)3x5(x2).33x33x33x令f(x)0，解得x2，但x0也可能是极值点当x0或x2时，f(x)0，函数f(x)在,0和2,上是增函数；当0 x2时，f(x)0，函数f(x)在（0，2）上是减函数当x0时，函数获取极大值f(0)0，当x2时，函数获取极小值f(2)

11、3346x2x6,(x2或x3),2f(x)x6,(2x3),x22x1,(x2或x3),f(x)2x1,(2x3),不存在,(x2或x3).令f(x)0，得x122或1当xx3时，f(x)0，2函数f(x)在,2和1,3上是减函数；2当x3或2x10，时，f(x)2函数f(x)在3,和2,1上是增函数2当x2和x3时，函数f(x)有极小值0，当x1时，函数有极大值2524说明：在确定极值时，只谈论满足f(x0)0的点周边的导数的符号变化情况，确定极值是不全面的在函数定义域内不能导的点处也可能存在极值此题1中x0处，2中2及x3处函数都不能导，但f(x)在这些点处左右两侧异号，依照极值的判断方

12、法，函数f(x)在这些点处仍获取极值从定义解析，极值与可导没关依照函数的极值确定参数的值例已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1时获取极值，且f(1)11试求常数a、b、c的值；2试判断x1是函数的极小值还是极大值，并说明原因解析：观察函数f(x)是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再经过极值点与导数的关系，即极值点必为f(x)0的根建立起由极值点x1所确定的相关等式，运用待定系数法求出参数a、b、c的值解：1解法一：f(x)3ax22bxc71是函数f(x)的极值点，x1是方程f(x)0，即3ax22bxc0的两根，由根与系数的关系，得2b0,（1）3ac1,（2）3a又f(

13、1)1，abc1，（3）由（1）、（2）、（3）解得a1,b0,c322解法二：由f(1)f(1)0得3a2bc0，（1）3a2bc0（2）又f(1)1，abc1，（3）解（1）、（2）、（3）得a1,b0,c31x33x，232332fxx222222当x1或x1时，f(x)0，当1x1时，f(x)0.函数f(x)在,1和1,上是增函数，在（1，1）上是减函数当x1时，函数获取极大值f(1)1，当x1时，函数获取极小值f(1)1说明：解题的成功要靠正确思路的选择此题从逆向思想的角度出发，依照题设构造进行逆向联想，合理地实现了问题的转变，使抽象的问题详尽化，在转变的过程中充分运用了已知条件确定

14、认识题的大方向可见出路在于“思想认识”在求导此后，不会应用f(1)0的隐含条件，所以造成认识决问题的最大思想阻挡利用导数求函数的单调性例谈论以下函数的单调性：1f(x)axax（a0且a1）；2f(x)loga(3x25x2)（a0且a1）；83f(x)bx(1x1,b0)x21解析：利用导数能够研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数f(x)，经过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内f(x)的符号，来确定函数f(x)在该区间上的单调性当给定函数含有字母参数时，分类谈论难于防备，不相同的化归方法和运算程序经常使分类方法不相同，应注意分类谈论的正确性解：1函数定义域为Rf(x

15、)axlnaaxlna(x)lna(axax).当a1时，lna0,axax0,f(x)0.函数f(x)在(,)上是增函数当0a时，lna0,axax0,f()0.1x函数f(x)在(,)上是减函数2函数的定义域是x12.或x3f(x)logae2(3x25x2)(6x5)logae3x25x(3x1)(x2)若a1，则当x10,6x50,(3x1)(x2)0，时，logae3f(x)0，函数f(x)在1，上是增函数；3当x2时，f(x)0，函数f(x)在,2上是减函数若0a1，则当x1时，f(x)0，3函数f(x)在1，上是减函数；3当x2时，f(x)0，函数f(x)在,2上是增函数3函数f

16、(x)是奇函数，只要谈论函数在（0，1）上的单调性当0 x1时，f(x)bx(x21)x(x21)(x21)29b(x21)(x21)2若b0，则f(x)0，函数f(x)在（0，1）上是减函数；若b0，则f(x)0，函数f(x)在（0，1）上是增函数又函数f(x)是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性所以当b0时，函数f(x)在（1，1）上是减函数，当b0时，函数f(x)在（1，1）上是增函数说明：分类谈论是重要的数学解题方法它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，本来的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了在判断含参数函数的单

17、调性时，不但要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f(x)的符号，否则会产生错误判断分类谈论必定恩赐足够的重视，真切发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力利用导数求函数的单调区间例求以下函数的单调区间：1f()42x23；xx2f(x)2xx2；3()xb(b0).fxx解析：为了提高解题的正确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必定先求出函数的定义域，尔后再求导判断符号，以防备不该出现的失误解：函数f(x)的定义域为，f(x)x44x4(x1)(x1)x1R令f(x)0，得1x0或x1函数f(x)的单调递加区间为（1，0）和(1,)；令f(x)

18、0，得x1或0 x1，函数f(x)的单调递减区间为(,1)和（0，1）2函数定义域为0 x2.(2xx2)1x.f(x)x22xx222x10令f(x)0，得0 x1函数f(x)的递加区间为（0，1）；令f(x)0，得1x2，函数f(x)的单调递减区间为（1，2）3函数定义域为x0,f(x)1b1b)(xb).x2x2(x令f(x)0，得xb或xb函数f(x)的单调递加区间为(,b)和(b,)；令f(x)0，得bxb且x0，函数f(x)的单调递减区间是(b,0)和(0,b)说明：依照导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，表现了形象思想的直观性和运动性解决这类问题，若是利用函数单调性定义来

19、确定函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递加（或递减）区间写成并集的形式，如将例1函数f(x)的单调递加区间和递减区间分别写成(1,0)(1,)和(,1)(0,1)的错误结果这里我们能够看出，除函数思想方法在此题中的重要作用之外，还要注意转变的思想方法的应用求解析式并依照单调性确定参数例已知f(x)x2c，且ff(x)f(x21).1设g(x)ff(x)，求g(x)的解析式；2设(x)g(x)f(x)，试问：可否存在实数，使(x)在,1内为减函数，且在（1，0）内是增函数解析：依照题设条件能够求出(x)的表达式，关于研究性问题，一般先对结论做必然存在

20、的假设，尔后由此必然的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果可否出现矛盾来作出判断解题的过程实质是一种转变的过程，由于函数(x)是可导函数，所以选择好解题的打破口，要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定合适条件的参数的取值范围，使问题获解解：1由题意得ff(x)f(x2cx2c2c，)()11f(x21)(x21)2c.ff(x)f(x21)，(x2c)2c(x21)2,x2cx21,c1.cf(x)x21,g(x)ff(x)f(x21)(x21)21.2()()f(x)4(2)2(2)xgxxx若满足条件的存在，则(x)4x32(2)x.函数(x)在,1内是减函数，当x1时，(

21、x)0，即4x32(2)x0关于x(,1)恒建立2(2)4x2,x1,4x24.2(2)4，解得4又函数(x)在（1，0）上是增函数，当1x0时，(x)0即4x32(2)x0关于x(1,0)恒建立，2(2)4x2,1x0,44x20.2(2)4，解得4故当4时，(x)在,1上是减函数，在（1，0）上是增函数，即满足条件的存在说明：函数思想实际上是辩证思想的一种特别表现形式，它包括着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互限制的关系所以挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要路子，详尽到解题的过程，学生很大的思想阻挡是迷失方向，不知从哪处下手去沟通已知与未知的关系，使分其他条件相对集中

22、，促成问题的解决不善于应用f(x)a恒建立f(x)maxa和f(x)a恒建立f(x)mina，究其原因是对函数的思想方法理解不深利用导数比较大小例已知a、b为实数，且bae，其中e为自然对数的底，求证：abba解析：经过观察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法依照题目自己的特点，合适的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判断导数都比较简单的函数，12一般地，证明f(x)g(x),x(a,b)，能够等价转变为证明F(x)f(x)g(x)0，若是F(x)0，则函数F(x)在(a,b)上是增函数，若是F(a)0，由增函数的定义可知，当x(a,b)时，有F(x)0，即f(x)g(x)

23、解：证法一：bae，要证abba，只要证blnaalnb，设f(b)blnaalnb(be)，则f(b)lnaaabbae，lna11，f(b)0.，且b函数f(b)blnaalnb在(e,)上是增函数f(b)f(a)alnaalna0，即blnaalnb0，blnaalnb,abba.证法二：要证abba，只要证blnaalnb(eab)，即证lnalnb，设f(x)lnx(xe)，则f(x)1lnx0，abxx2函数f(x)在(e,)上是减函数又eab,f(a)f(b)，即lnalnb,abba.ab说明：“构造”是一种重要而灵巧的思想方式，应用好构造思想解题的要点是：一要有明确的方向，即

24、为什么目的而构造；二是要弄清条件的实质特点，以便重新进行逻辑组合解决这类问题常有的思想误区是不善于构造函数或求导此后得出f(x)g(x)f(x)g(x)的错误结论判断函数在给定区间上的单调性例函数ylog111在区间(0,)上是（）xA增函数，且y0C增函数，且y0B减函数，且y0D减函数，且y0解析：此题要解决两个问题：一是要判断函数值y的大小；二是要判断此函数的单调性13解：解法一：令u11(0,),u1，且xx则ylog1u0，消除A、B2由复合函数的性质可知，u在(0,)上为减函数又ylog1u亦为减函数，故ylog111在(0,)上为增函数，消除D，选C22x解法二：利用导数法1lo

25、g1e110yx2x(1log2e12x)1x（x(0,)），故y在(0,)上是增函数由解法一知y0所以选C说明：求函数的值域，是中学授课中的难关一般能够经过图象观察或利用不等式性质求解，也能够用函数的单调性求出最大、最小值等（包括初等方法和导数法）关于复合函数的单调性问题，简单的复合函数是能够利用复合函数的性质进行判断，但是利用导数法判断一些较复杂的复合函数还是有很大优势的利用公式2求函数的导数例求以下函数的导数：1yx12；2y1；3y5x3x4解析：依照所给问题的特点，合适地选择求导公式，将题中函数的构造推行调整函数y1和y5x3的形式，这样，在形式上它们都满足幂函数的构造特点，可直接应

26、用幂x4函数的导数公式求导解：1y(x12)12x12112x11.2y(x4)(4)x414x54.x5333x3y(5x3)(x5)3x515523.55x2说明：关于简单函数的求导，要点是合理转变函数关系式为能够直接应用公式的基本函数的模式，省得求导过程中出现指数或系数的运算失误运算的正确是数学能力高低的重要14标志，要从思想上提高认识，养成思想慎重，步骤完满的解题习惯，要形成不但会求，而且求对、求好的解题标准依照斜率求对应曲线的切线方程例求曲线y2x21的斜率等于4的切线方程解析：导数反响了函数在某点处的变化率，它的几何意义就是相应曲线在该点处切线的斜率，由于切线的斜率已知，只要确定切

27、点的坐标，先利用导数求出切点的横坐标，再依照切点在曲线上确定切点的纵坐标，从而可求出切线方程解：设切点为P(x0,y0)，则y(2x21)4x，yxx04，即4x04，x01当x01时，y01，故切点P的坐标为（1，1）所求切线方程为y14(x1)即4xy30.说明：数学问题的解决，要充分考虑题设条件，捕捉隐含的各种因素，确定条件与结论的相应关系，解答这类问题常有的错误是忽略切点既在曲线上也在切线上这一要点条件，或受思想定势的消极影响，先设出切线方程，再利用直线和抛物线相切的条件，使得解题的运算量变大求直线方程例求过曲线ycosx上点P,1且与过这点的切线垂直的直线方程32解析：要求与切线垂直

28、的直线方程，要点是确定切线的斜率，从已知条件解析，求切线的斜率是可行的路子，可先经过求导确定曲线在点P处切线的斜率，再依照点斜式求出与切线垂直的直线方程解：ycosx，ysinx.曲线在点P,1处的切线斜率是y3sin3.x过点P且与切线垂直的直线的斜率为2，3所求的直线方程为12，yx23315230即2x3y23说明：已知曲线上某点的切线这一条件拥有双重含义在确定与切线垂直的直线方程时，应注意观察函数在切点处的导数y可否为零，当y0时，切线平行于x轴，过切点P垂直于切线的直线斜率不存在求曲线方程的交点处切线的夹角例设曲线y11，求tan的值x2和曲线y在它们的交点处的两切线的夹角为x解析：

29、要求两切线的夹角，要点是确定在两曲线交点处的切线的斜率依照导数的几何意义，只要先求出两曲线在交点处的导数，再应用两直线夹角公式求出夹角即可yx解：联立两曲线方程yx2解得两曲线交点为（1，1）1设两曲线在交点处的切线斜率分别为k1、k2，则122,k1x1x1x2x3111.k2x12x1xx由两直线夹角公式tank1k22(1)1.1k1k21(2)(1)3说明：研究正确结论的过程需要灵巧的构思和慎重的推理运算两曲线交点是一个要点条件，函数在交点处可否要导也是一个不能够忽略的问题，而正确理解题设要求则是正确作出结论的前提求常函数的导数例设y2，则y等于（）A2B2C0D以上都不是解析：此题是

30、对函数的求导问题，直接利用公式即可解：由于是常数，常数的导数为零，所以选C16依照条件确定函数的参数可否存在例已知函数f(x)x2axb，可否存在实数a、b、c，使f(x)同时满足下log3x2cx1列三个条件：（1）定义域为R的奇函数；（2）在1,上是增函数；（3）最大值是1若存在，求出a、b、c；若不存在，说明原因解析：此题是解决存在性的问题，第一假设三个参数a、b、c存在，尔后用三个已给条件逐一确定a、b、c的值解：f(x)是奇函数f(0)0log3b0,b1.又f(x)f(x)，即log3x2ax1log3x2ax1，x2cx1x2cx1x21axx21cx(x21)2a2x2(x21

31、)2c2x2x21cxx21axa2c2ac或ac，但ac时，f(x)0，不合题意；故ac这时f(x)log3x2cx1在1,上是增函数，且最大值是1x2cx1设u(x)x2cx1上是增函数，且最大值是3x2cx在1,1u(x)(2xc)(x2cx1)(2xc)(x2cx1)2c(x21)2c(x1)(x1)(x2cx1)2(x2cx1)2(x2cx1)2，当x1时x210u(x)0，故c0；又当x1时，u(x)0；当x(1,1)时，u(x)0；故c0，又当x1时，u(x)0，当x(1,1)时，u(x)0所以u(x)在(,1)(1,)是增函数，在（1，1）上是减函数又x1时，x2cx1x2cx

32、1,u(x)1,x1时u(x)最大值为31c13,c1,a1.经考据：a1,b1,c1时，f(x)吻合题设条件，所以1c1存在满足条件的a、b、c，即a1,b1,c1.17说明：此题是综合性较强的存在性问题，关于拓宽思路，广阔视野很有指导意义此题若用相等方法解决是十分繁琐的，甚至无技可施若用求导数的方法解决就迎刃而解所以用导数法解决相关单调性和最值问题是很重要的数学方法切不能忘记供水站建在哪处使水管费最少例有甲、乙两个工厂，甲厂位于素来线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的

33、水管花销分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边哪处才能使水管花销最省解析：依照题设条件作出图形，解析各已知条件之间的关系，借助图形的特点，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，经过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C的地址解：解法一：依照题意知，只有点C在线段AD上某一合适地址，才能使总运费最省，设C点距D点xkm，则BD40,AC50 x,BCBD2CD2x2402又设总的水管花销为y元，依题意有y3a(50 x)5ax2402(0 x50).y3a5ax0，解得x30.x2令y402在（0，50）上，y只有一个极值点，依照实责问题的意义，函数在

34、x30（km）处获取最小值，此时AC50 x20（km）供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管花销最省解法二：设BCD，则BC40,CD40cot,(0).sin2AC5040cot设总的水管花销为f()，依题意，有f()3a(5040cot)5a40150a40a53cossinsinf()40a(53cos)sin(53cos)(sin)sin2185cos40asin2令f()0，得cos353依照问题的实质意义，当cos时，函数获取最小值，此时5sin,cot,AC5040cot20（kmA、D之间距甲厂43），即供水站建在5420km处，可使水管花销最省说明：解决实质应用问题

35、要点在于建立数学模型和目标函数把“问题情况”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再划归为老例问题，选择合适的数学方法求解关于这类问题，学生经常忽略了数学语言和一般语言的理解与变换，从而造成认识决应用问题的最大思想阻挡运算但是关，得不到正确的答案，对数学思想方法不理解或理解不透彻，则找不到正确的解题思路，在此正需要我们依照问题自己供应的信息，利用所谓的动向思想，去追求有利于问题解决的变换路子和方法，并从中进行一番选择利用导数求函数的最值例求以下函数的最值：1f(x)3xx3,(3x3)；2f(x)sin2xx,(x)；223f(x)a2b2x1,a

36、0,b0)x1,(0 x4f(x)x1x2解析：函数f(x)在给定区间上连续可导，必有最大值和最小值，所以，在求闭区间a,b上函数的最值时，只要求出函数f(x)在开区间(a,b)内的极值，尔后与端点处函数值进行比较即可解：1f(x)33x2，令f(x)0，得x1，f(1)2,f(1)2又f(3)0,f(3)18.f(x)max2,f(x)min18.2f(x)2cos2x1，令f(x)0，得x，6f3,f3，62626619又f,f2222f(x)max2,f(x)min.23f(x)a2b2b2x2a2(1x)2x2(1x)2x2(1x)2令f(x)0，即b2x2a2(1x)20，解得xa.

37、aaab当0 x0，当a时，f(x)ax1时，f(x)0bab函数f(x)在点xa处获取极小值，也是最小值为bfa(ab)2.即f(x)min(ab)2ab4函数定义域为1x1，当x(1,1)时，f(x)1x.1x2令f(x)0，解得x2，f2222，又f(1)1,f(1)1，f(x)max2,f(x)min1.说明：关于闭区间a,b上的连续函数，若是在相应开区间(a,b)内可导，求a,b上最值可简化过程，即直接将极值点与端点的函数值比较，即可判断最大（或最小）的函数值，就是最大（或最小）值解决这类问题，运算欠正确是宽泛存在的一个突出问题，反响出运算能力上的差距运算的正确要依赖运算方法的合理与

38、简捷，需要有效的检验手段，只有全方向的“综合治理”才能在牢固的基础上形成运算能力，解决运算不正确的缺点求两变量乘积的最大值例已知x、y为正实数，且满足关系式x22x4y20，求xy的最大值解析：题中有两个变量x和y，第一应选择一个主要变量，将x、y表示为某一变量（x或y或其他变量）的函数关系，实现问题的转变，同时依照题设条件确定变量的取值范围，再利用导数（或均值不等式等）求函数的最大值解：解法一：4y22xx2,y0,y12xx2，220 xy1x2xx22由x0解得0 x2x22x0设f(x)xy1x2xx2(0 x2).2当0 x2时，f(x)12xx2x(1x)22xx2x(32x)22

39、xx2令f(x)0，得x3（舍）或x02f333，又f(2)0，函数f(x)的最大值为33288即xy的最大值为338解法二：由x22x4y20得(x1)24y21(x0,y0)，设x1cos,y1sin(0)，1sin21xy(1cos)，设f()sin(1cos)，212则f()sin2(1cos)cos21(2cos2cos1)(cos1)cos1.22令f()0，得cos1或cos120,，此时x3,y3.324f33,f33.383max8即当x3,y3时，xymax33.248说明：进行一题多解训练，是一种打开思路，激发思想，牢固基础，沟通联系的重要途21径，但要明确解决问题的策略

40、、指向和思虑方法，需要抓住问题的实质，领悟真谛，巧施转化，方可快捷地与熟悉的问题接轨，在实现转变的过程中，要点是要注意变量的取值范围必定满足题设条件，省得解题陷于困境，半途而废直接利用导数的运算法规求导例求以下函数的导数：1yx43x25x6；2yxtanx3y(x1)(x2)(x3)；4yx1.x1解析：仔细观察和解析各函数的构造规律，紧扣求导运算法规，联系基本函数求导公式，不具备求导法规条件的可合适进行恒等变形，步步为营，使解决问题瓜熟蒂落解：1y(x43x25x6)(x4)3(x2)5x(6)4x36x5.2y(xtanx)xsinx(xsinx)cosxxsinx(cosx)cosxc

41、os2x(sinxcosx)cosxxsin2xsinxcosxxcos2x(xsin2x)cos2xcos2x1sin2xxcos2xxsin2xsin2x2x2cos2x2cos2.x3解法一：y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)(2x3)(x3)(x1)(x2)3x212x11.解法二：yx36x211x6，y3x212x11.4解法一：x1(x1)(x1)(x1)(x1)y(x1)2x122(x1)(x1)22.(x1)2(x1)解法二：y12，x1y12(2(2)(x1)2(x1

42、)x)(x1)21x12(x1)2.说明：理解和掌握求导法规和公式的构造规律是灵巧进行求导运算的前提条件，运算过程出现失误，原因是不能够正确理解求导法规，特别是商的求导法同求导过程中符号判断不清，也是以致错误的因素从此题能够看出，深刻理解和掌握导数运算法规，再结合给定函数自己的特点，才能正确有效地进行求导运算，才能充分调动思想的积极性，在解决新问题时贯穿交融，触类旁通，驾轻就熟化简函数解析式在求解例求以下函数的导数1yx5x7x9sin4xcos4xx；2y4；43y1x1x；4ysinx(12cos2x).1x1x24解析：关于比较复杂的函数，若是直接套用求导法规，会使问题求解过程繁琐冗长，

43、且易出错可先对函数解析式进行合理的恒等变换，转变为易求导的构造形式再求导数解：1yx5x7x9x2x3x4，xy2x3x24x3.sin2x2cos2x2ycos2x2sin2x444412sin2x111cosx31cosx22244y311sin.4443y(1x)2(1x)22(1x)42.1x1x1x1x23y(42)(4)(1x)4(1x)4.1x(1x)2(1x)24ysinxcosx1sinx，222y1sinx1cosx.22说明：关于函数求导，一般要依照先化简，再求导的基根源则求导时，不仅要重视求导法规的应用，而且要特别注意求导法规对求导的限制作用在推行化简时，第一必定注意变

44、换的等价性，防备不用要的运算失误依照点和切线确定抛物线的系数例已知抛物线yax2bxc经过点P(1,1)，且在点Q(2,1)处与直线yx3相切，求实数a、b、c的值解析：解决问题，要点在于理解题意，转变、沟通条件与结论，将二者一致同来题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件，所以，经过解方程组来确定参数a、b、c的值是可行的路子解：曲线yax2bxc过P(1,1)点，abc1y2axb，yx24ab4ab1又曲线过Q(2,1)点，4a2bc1联立解、得a3,b11,c9.说明：利用导数求切线斜率是卓有收效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题瓜熟蒂落解答此题常有

45、的失误是不注意运用点Q(2,1)在曲线上这一要点的隐含条件利用导数求和例利用导数求和1Sn12x3x2nxn1,(x0,nN*)2123n*SnCn23nCn,(nN)CnCn24解析：问题分别可经过错位相减的方法及构造二项式定理的方法来解决变换思想角度，由求导公式(xn)nxn1，可联想到它们是其他一个和式的导数，所以可转变求和，利用导数运算可使问题解法更加简洁明快解：1当x1时，Sn123n11)n(nx12当时，xx2x3xnxxn1，1x两边都是关于x的函数，求导得(xx2x3xn)xxn1，1x即Sn12x3x2nxn11(n1)xnnxn1.(1x)22(1x)n1Cn1xCn2x

46、2Cnnxn两边都是关于x的可导函数，求导得n(1x)n1Cn12Cn2x3Cn3x2nCnnxn1，令x1，得n2n1Cn12Cn23Cn3nCnn，即Sn12233nn2n1.CnCnCnnCn说明：经过对数列的通项进行联想，合理运用了逆向思想的方法，从而激发了思想的灵活性，使数列的求和问题获取解决，其要点是抓住了数列通项的形式构造学生易犯的错误是受思想定式的影响不善于联想导数定义的利用例若lim0f(x0 x)f(x0)k，则lim0f(x02x)f(x0)等于（）xxxxA2kBkC1kD以上都不是2解析：此题观察的是对导数定义的理解，依照导数定义直接求解即可解：由于limf(x02x

47、)f(x0)x0 xf(x02x)f(x0)lim2x02x25f(x02x)f(x0)k2lim2，应选Ax02x求曲线方程的斜率和方程例已知曲线1上一点A(2,5yx)，用斜率定义求：x21）点A的切线的斜率2）点A处的切线方程解析：求曲线在A处的斜率kA，即求limf(2x)f(2)x0 x解：（1）yf(2x)f(2)2x21x(21)xx22(2x)limylimxxx2x(2x)xx0 x0lim1132(2x)4x0（2）切线方程为y53(x2)24即3x4y40说明：上述求导方法也是用定义求运动物体SS(t)在时刻t0处的瞬时速度的步骤判断分段函数的在段点处的导数1(x21)(

48、x1)例已知函数f(x)2，判断f(x)在x1处可否可导1(x1)(x1)2解析：对分段函数在“分界点”处的导数问题，要依照定义来判断可否可导y1(1x)211(121)解：limlim2x21x0 xx0y1(1x1)1(121)limlim22x0 xx0 x2612f(x)在x1处不能导说明：函数在某一点的导数，是指一个极限值，即lim0f(x0 x)f(x0)，当x0；xx包括x0；x0，判断分段函数在“分界处”的导数可否存在时，要考据其左、右极限可否存在且相等，若是存在且相等，才能判断这点存在导数，否则不存在导数利用导数定义的求解例设函数f(x)在点x0处可导，试求以下各极限的值f(

49、x01limx02limf(x0h03若f(x0)f(x0)；xf(x0h).2h2，则limf(x0k)f(x0)等于（）k02kA1B2C1D12解析：在导数的定义中，增量x的形式是多种多样的，但不论x选择哪一种形式，y也必定选择相对应的形式利用函数f(x)在点x0处可导的条件，能够将已给定的极限式班等变形转变为导数定义的构造形式解：1原式limf(x0 x)f(x0)x0(x)limf(x0 x)f(x0)f(x0)x0 x2原式limf(x0h)f(x0)f(x0)f(x0h02h1limf(x0h)f(x0)limf(x02h0hh01f(x0)f(x0)f(x0).23f(x0)l

50、imfx0(k)f(x0)2（含k0kf(x0k)f(x0)lim2kk0h)h)f(x0)hk），271f(x0(k)f(x0)1limkf(x0)2k0211.应选A22说明：看法是解析解决问题的重要依照，只有熟练掌握看法的实质属性，掌握其内涵与外延，才能灵巧地应用看法进行解题，不能够正确解析和掌握给定的极限式与导数的关系，盲目套用导数的定义是使思想受阻的主要原因解决这类问题的要点就是等价变形，使问题转化利用定义求导数例1求函数yx在x1处的导数；2求函数yx2axb（a、b为常数）的导数解析：依照导数的看法求函数的导数是求导数的基本方法，确定函数yf(x)在xx0处的导数有两种方法，应用

51、导数定义法和导函数的函数值法解：1解法一（导数定义法）：y1x1，y1x11,xx1x1lim111,yx11.x01x22解法二（导函数的函数值法）：yxxx，yxxx1,xxxxxlimylim11.x0 xx0 xxx2xy1,yx11.2x22y(x)2(xx)b(x2ax)xab2xx(x2)ax(2xa)x(x)2y(2xa)x(x)2(2xa)x,xx28ylim(2xax)2xa,y2xa.limx0 xx0说明：求导其实质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的构造形式转变为已知极限的形式，即导数的定义，这是能够顺利求导的要点，所以必定深刻理解导数的看法证明函数的在一点处

52、连续例证明：若函数f(x)在点x0处可导，则函数f(x)在点x0处连续解析：从已知和要证明的问题中去追求转变的方法和策略，要证明f(x0)在点x0处连续，必定证明limf(x)f(x0)由于函数f(x)在点x0处可导，所以，依照函数在点x0处xx0可导的定义，渐渐实现两个转变，一个是趋向的转变，另一个是形式（变为导数定义形式）的转变解：证法一：设xx0 x，则当xx0时，x0，limf(x)limf(x0 x)xx0 xx0limf(x0 x)f(x0)f(x0)xx0limf(x0 x)f(x0)xf(x0)xxx0limf(x0 x)f(x0)limxlimf(x0)x0 xx0 x0f(

53、x0)0f(x0)f(x0).函数f(x)在点x0处连续证法二：函数f(x)在点x0处可导，在点x0处有limf(x)f(x0)limyxx0 x0limyxlimylimxx0 xx0 xx0f(x0)00limf(x)f(x0).函数f(x)在点x0处连续xx0说明：关于同一个问题，能够从不相同角度去表述，要点是要透过现象看清问题的实质，29正确运用转变思想来解决问题函数f(x)在点x0处连续，有极限以及导数存在这三者之间的关系是：导数存在连续有极限反之则不用然建立证题过程中不能够合理实现转变，而直接理解为limf(x0 x)是使论证推理出现失误的阻挡x0求指数、对数函数的导数例求以下函数

54、的导数：1ylnx21；2ylog2(2x23x1)；3yesin(axb)；4ya3xcos(2x1).解析：关于比较复杂的函数求导，除了利用指数、对数函数求导公式之外，还需要考虑应用复合函数的求导法规来进行求导过程中，能够先合适进行变形化简，将对数函数的真数地址转变为有理函数的形式后再求导数解：1解法一：可看作ylnu,uv,vx21复合而成111yxyuuvvx2(2x)uv211(x2111)22xx22x2xx21x2x.11解法二：ylnx211(x21)x2111(x2111)2(x21)x221112xx.x2x22121x1解法三：ylnx211ln(x21)，2y1ln(x

55、21)111(x21)2xx.22x22x21x212解法一：设ylog2u,u2x23x1，则yxyuux1log2e(4x3)u30log2e(4x3)(4x3)log2e2x23x2x23x.11解法二：ylog2(2x23x1)log2e(2x23x1)2x23x1log2e(4x3)(4x3)log2e.2x23x12x23x13解法一：设yeu,usinv,vaxb，则yxyuuvuxeucosvaacos(axb)esin(axb)解法二：yesin(axb)esin(axb)sin(axb)esin(axb)cos(axb)(axb)acos(axb)esin(axb)4ya3

56、xcos(2x1)(a3x)cos(2x1)a3xa3xlna(3x)cos(2x3a3xlnacos(2x1)a3x3lnacos(2x1)cos(2x1)1)a3xsin(2x1)(2x1)2a3xsin(2x1)2sin(2x1).说明：深刻理解，掌握指数函数和对数函数的求导公式的构造规律，是解决问题的要点，解答此题所使用的知识，方法都是最基本的，但解法的构思是灵魂，有了它才能运用知识为解题服务，在求导过程中，学生易犯遗漏吻合或混淆系数的错误，使解题走入困境解题时，能仔细观察函数的构造特点，积极地进行联想化归，才能抓住问题的实质，把解题思路松开变形函数解析式求导例求以下函数的导数：（1）

57、yx3x22（2）yln1xx2x；1；1x（3）y(tanx)sinx；（4）yx2x6解析：先将函数合适变形，化为更易于求导的形式，可减少计算量解：（1）yx3x222x.x2x1xx2x1yx2x1x(2x1)1x211(x2x1)2(x2x1)231（2）y1ln(1x)ln(1x)，2y11111x1x1.21x1x2(1x)(1x)x213）yesinxln(tanx)yesinxln(tanx)sinxln(tanx)(tanx)sinxcosxln(tanx)sinx1tanx(tanx)(tanx)sinxcosxln(tanx)cossinxcoscosx(tanx)sin

58、xln(tanx)cos2xsinx(sinx)cosxcosx(tanx)sinxln(tanx)1.cosx（4）yx2x6,x2,3,x2x6,x2,3.2x1,x(2,3),y1,x(,2)(3,).2x当x2,3时y不存在P(x)说明：求y（其中P(x)、Q(x)为多项式）的导数时，若P(x)的次数不小于Q(x)Q(x)的次数，则由多项式除法可知，存在S(x)、R(x)，使P(x)Q(x)S(x)R(x)从而P(x)R(x)S(x)，这里S(x)、R(x)均为多项式，且R(x)的次数小于Q(x)的次数再R(x)Q(x)求导可减少计算量对函数变形要注意定义域如ylg(x1)ln(x1)

59、，则定义域变为x(1,)，所以固然yln(x1)ln(x1)的导数112x与yln1x的导数x1x1x211x1x1x1x(1x)(1x)2x结果相同，但我们还是应防备这类解法1x1x1x(1x)2x2132函数求导法规的综合运用例求以下函数的导数：1yx1x2；2y(x22x3)e2x；3x2x.3y；4y32x31x解析：式中所给函数是几个因式积、商、幂、开方的关系关于这类构造形式的函数，可经过两边取对数后再求导，就可以使问题简单化或使无法求导的问题得以解决但必定注意取寻数时需要满足的条件是真数为正实数，否则将会出现运算失误解：1取y的绝对值，得yxx21，两边取寻数，得lnylnx1ln

60、x21.x求导，得2依照导数的运算法规及复合函数的求导法规，两端对1y12x1)2x21，yx2(x2x(x21)yy2x21xx212x212x21.x(x21)x(x21)x212注意到y0，两端取对数，得lnyln(x22x3)lne2xln(x22x3)2x.1y(x22x3)2x22x222(x2x2)yx22x32x3x22x3y2(x2x2)y2(x2x2)(x22x3)2xx22x3x22x3e2(x2x2)e2x.3两端取对数，得lnyln3x2ln2x3，两端对x求导，得1y(3x2)(2x3)3x323y3x22x322x13.(3x2)(2x3)4两端取对数，得33ln