第八章第四节直线与圆圆与圆的位置关系

1、文档编码 : CO9G6M2A8Q2 HQ10H8G8Q9K3 ZI5V7C10N10R2授课提示：对应同学用书第 359 页A 组 基础保分练 1（ 2022 江西上饶模拟 ）直线 axby0 与圆 x 2y2axby0 的位置关系是（）A相交 B相切C相离 D不能确定解析 ：将圆的方程化为标准方程得 xa2 2 yb2 2a 2b24,所以圆心坐标为 a 2, b 2,半a 2b2 a 2b 22 2a 2b2径 r2由于圆心到直线 axby0 的距离 da2b22r ,所以直线与圆相切答案： B 2（ 2022 长春质检） 圆 x 2 y2 4 与圆 x2y24x4y120 的公共弦所在

2、直线和两坐标轴所围成图形的面积为（）A1 B2 C4 D 8 解析： 由（ x2y24）（ x2y24x4y12） 0 得公共弦所在直线的方程为 xy20,它与两坐标轴分别交于（1 2 2 22答案： B 2,0）,（0,2）,所以直线和两坐标轴所围成图形的面积为3（ 2022 湖南十四校二联）已知直线 x2ya0 与圆 O：x2y22 相交于 A,B 两点（ O为坐标原点） ,且 AOB 为等腰直角三角形,就实数 a 的值为（）A6或6 B5或5 C6 D5 解析 ：由于直线 x2ya0 与圆 O：x2y22 相交于 A,B 两点（O 为坐标原点）,且 AOB为等腰直角三角形,所以O 到直线

3、AB 的距离为1,由点到直线的距离公式可得1|a| 2（ 2） 21,所以 a5答案： B 4（2022 洛阳市第一次统考）直线 l：ykx1 与圆 O：x2y21 相交于 A,B 两点, 就“k1” 是“|AB|2” 的（）2 2,即有A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析： 依题意,留意到|AB|2|OA|2|OB|2等价于圆心O 到直线 l 的距离等于1k2 12 2,k1因此, “ k1” 是“ |AB|2”的充分不必要条件答案： A 5（ 2022 衡水一中模考）圆 C1：（ x1）2（ y2）24 与圆 C2：（x3）2（ y2） 24 的公切线的条数

4、是（）A1 B2 C3 D 4 解析： 圆 C1：（x1）2（ y2）24 的圆心为（ 1,2）,半径为 2,圆 C2：（x3）2（y2）24 的圆心为 （ 3,2）,半径为 2,两圆的圆心距 |C1C2|（ 13）2（ 2 2）2422,即两圆的圆心距等于两圆的半径之和,故两圆相外切,故公切线的条数为 3答案： C 6（ 2022 武汉调研） 已知直线 l：xy 50 与圆 C：（x2）交所得的弦长为2 2,就圆 C 的半径 r（）A2 B2 C22 D 4 2（ y1） 2r 2（r 0）相|215|解析： 法一：依题意, 得圆 C 的圆心坐标为 （2,1）,圆心到直线 l 的距离 d2,

5、11由于弦长为 2 2,所以 2 r2d22 2,所以 r2xy5 0,法二：联立得 整理得 2x212x20r20,设直线 l 与圆 C 的（x2）2（ y1）2r 2,20r 2两交点分别为 A（x1,y1）,B（ x2,y2）,所以 x1 x26,x1x22,所以 |AB|1 k 2|x1x2|2（x1 x2）24x1x2 2 2,所以 r 2答案： B 7（ 2022 广东天河模拟 ）已知圆 C 的方程为 x22xy20,直线 l：kxy22k0 与圆C 交于 A,B 两点,就当ABC 面积最大时,直线l 的斜率 k _解析 ：由 x22xy20,得（ x1）2y21,就圆的半径r1,

6、圆心 C（1,0）,直线 l：kx y22k0 与圆 C 交于 A,B 两点,当 CA 与 CB 垂直时, ABC 面积最大,此时 ABC 为等腰直角三角形,圆心C 到直线 AB 的距离 d2 2,就有|2k|22 2,解得 k1 或 71k答案： 1 或 7 8（2022 珠海六校联考） 已知直线 yax 与圆 C：x 2y22ax2y20 相交于 A,B 两点,且 ABC 为等边三角形,就圆C 的面积为 _解析： 圆 C：x2y22ax2y20 可化为（ xa）2（ y1）2a21,由于直线 y ax3和圆 C 相交, ABC 为等边三角形,所以圆心 C 到直线 axy0 的距离为 2a2

7、1,即|a21| 3（a21）da 212,解得 a2 7,所以圆 C 的面积为 6答案： 69已知圆 M 过 C（1, 1）,D（ 1,1）两点,且圆心（1）求圆 M 的方程；M 在直线 xy 20 上（2）设 P 是直线 3x 4y80 上的动点, PA,PB 是圆 M 的两条切线, A,B 为切点,求四边形 PAMB 面积的最小值解析：（1）设圆 M 的方程为（ xa）2（ yb）2 r2（ r0）,（1a）2（ 1b）2r2,依据题意得（ 1a）2（ 1b）2r2,解得 ab1,r2,ab20,故所求圆 M 的方程为（ x1）2（ y1）24（2）由题意知,四边形 PAMB 的面积为

8、SSPAMSPBM1 2（|AM | |PA|BM | |PB|）又|AM|BM |2,|PA| |PB|,所以 S2|PA|,而 |PA|2|PM |2|AM|2|PM |2 4,所以 S 2 |PM|24因此要求 S 的最小值, 只需求 |PM|的最小值, 即在直线 3x4y80上找一点 P,使得 |PM |的值最小,所以 |PM |min 3,所以四边形 PAMB 面积的最小值为2|PM | 242510已知圆 O：x2y2r 2（r0）与直线 3x 4y150 相切（1）如直线 l：y 2x5 与圆 O 交于 M ,N 两点,求 |MN|；（2）设圆 O 与 x 轴的负半轴的交点为A,

9、过点 A 作两条斜率分别为k1,k2 的直线交圆O 于B,C 两点,且 k1k2 3,试证明直线BC 恒过一点,并求出该点的坐标解析：（1）由题意知,圆心 O 到直线 3x4y150 的距离 d153r,所以圆 O：916x 2y 295又圆心 O 到直线 l：y 2x5 的距离 d15,41所以 |MN |2 9d2 1 4（2）证明：易知 A（ 3,0）,设 B（x1, y1）,C（x2,y2）,就直线 AB：y k1（ x3）,yk1（x3）,由 得（ k 2 11）x 26k 2 1x 9k 2 190,x2y29,9k2193k213所以 3x1,即 x1,k211 k2116k1所

10、以 y1k1（x13）,k21133k 21 6k1所以 B,k211 k21133k 22 6k2同理 C,k221 k22 1由 k1k2 3 得 k23 k1,将 3 k1代替 k2,3k 212718k1可得 C,k 219 k 21933k 21 3k 2127当,k 211 k 219即 k1 3时,kBC6k118k1k211 k21 94k1 3k21,k1 3C：（x3）2（ ya） 2433k21 k 2 113k2127 k 2 19从而直线 BC：y6k1 k 2 114k1 3k 2 1x33k21k2 11即 y4k1 3k2x33k 21k 2 1193k 21,

11、2（k2 11）化简得 y4k1 3k21x3 2所以直线 BC 恒过一点,该点为3 2,0 当 k13时, k2.3,此时 xB3 2xC,所以直线 BC 的方程为 x3 2,过点3 2,0 综上,直线BC 恒过定点3 2,0 B 组才能提升练 1（ 2022 安徽马鞍山模拟）在平面直角坐标系xOy 中,如圆上存在两点A,B 中意： AOB60,就实数 a 的最大值是（）A5 B3 C7 D 2 3 解析 ：依据题意,圆C 的圆心为（ 3,a）,在直线 x3 上,分析可得：当圆心距离x 轴的距离越远,AOB 越小,如图,当 a0 时,圆心 C 在 x 轴上方,如 最大值,OA ,OB 为圆的

12、切线且 AOB60 ,此时 a 取得此时 AOC30 ,有|OC| 2|AC|4,即（ 30）2（ a0）216,解得 a7,故实数 a 的最大值是 7答案： C 2（ 2022 安徽合肥模拟 ）在平面直角坐标系xOy 中,圆 C 经过点（ 0,1）,（ 0,3）,且与 x轴正半轴相切,如圆C 上存在点 M,使得直线OM 与直线 ykx（k0）关于 y 轴对称,就k 的最小值为（）A233B3 C23 D 4 3 解析 ：如图,由于圆 C 经过点（ 0,1）,（0,3）,且与 x 轴正半轴相切,所以圆心的纵坐标为2,半径为 2,就圆心的横坐标为22 123,k1 43所以圆心坐标为（3,2）,

13、设过原点与圆相切的直线方程为yk1x,由圆心到直线的距离等于半径,得| 3k12|2,解得 k10（舍去）或k 2 11所以如圆 C 上存在点 M,使得直线OM 与直线 ykx（k0）关于 y 轴对称,就k 的最小值为 4 3答案： D 3（ 2022 高考全国卷 ）已知 M ：x2y22x2y20,直线 l：2xy20,P 为 l上的动点过点 P 作 M 的切线 PA,PB,切点为 A,B,当 |PM | |AB|最小时,直线 AB 的方程为（）A2xy10 B2xy10 C2xy10 D 2xy10 解析： M：（x1）2（ y1）2 4,就圆心 M（1,1）,M 的半径为 2如图,由题意

14、可知 PM AB,S 四边形 PAMB 1 2|PM| |AB|PA| |AM |2|PA|,|PM| |AB|4|PA|4 |PM |24当|PM| |AB|最小时, |PM|最小,此时 PMl故直线 PM 的方程为 y11 2（x1）,即 x2y10由x2y10,得x 1,P（ 1, 0）2xy20,y0,又 PA 与M 相切, 直线 PA 的方程为PAx 轴, PAMA,A（ 1,1）又直线 AB 与 l 平行,设直线 AB 的方程为 2xym0,x 1（在M 中, 1 x1）,将 A（ 1,1）的坐标代入 2xym0,得 m1直线 AB 的方程为 2xy10答案： D 4已知圆的方程为

15、 x 2（ y1） 24,圆心为 C,如过点 P 1,1 2的直线 l 与此圆交于 A,B 两点,就当 ACB 最小时,直线 l 的方程为（）A4x2y30 Bx2y20 C4x2y 30 D x2y20 解析： 圆心坐标为（ 0,1）,当弦长 |AB|最小时, ACB 最小,此时直线 AB 与 PC 垂直, kl11122,所以直线 l 的方程为 y1 22（x1）,即 4x2y3001答案： A 5已知直线l：xay10（aR）是圆 C：x2y24x2y10 的对称轴过点A（4,a）作圆 C 的一条切线,切点为B,就 |AB|_解析： 由于直线 xay10 是圆 C：x2y24x2y10

16、的对称轴,所以圆心 C（2,1）在直线 xay10 上,所以2 a10,所以 a 1,所以 A（ 4, 1）所以 |AC|236440又 r2,所以 |AB|240436所以 |AB|6答案： 6 6（ 2022 江苏启东中学检测）已知圆 C1：（x1）2（ y1） 21,圆 C2：（x4）2（ y5）29,点 M,N 分别是圆 C1,圆 C2 上的动点, P 为 x 轴上的动点,就 |PN|PM|的最大值是 _解析： 圆 C1：（x1）2（ y1）21 的圆心为 C1（1, 1）,半径为 1,圆 C2：（x 4）2（ y5）29 的圆心为 C2（ 4,5）,半径为 3要使 |PN|PM|最大

17、,需 |PN|最大,且 |PM|最小, |PN|的最大值为 |PC2|3,|PM |的最小值为 |PC1|1,故 |PN|PM |的最大值是（|PC2|3）（ |PC1|1） |PC2|PC1|4,设 C2（4,5）关于 x 轴的对称点为 C2（ 4, 5）,|PC 2|PC1|PC2|PC 1|C1C2|（4 1）2（ 51）25,故 |PC2|PC1|4 的最大值为 549,即 |PN|PM|的最大值是 9答案： 9 7已知圆 O：x2y29 及点 C（2,1）（1）如线段 OC 的垂直平分线交圆O 于 A,B 两点,试判定四边形OACB 的形状,并给出证明；（2）过点 C 的直线 l 与

18、圆 O 交于 P,Q 两点,当OPQ 的面积最大时,求直线l 的方程解析：（1）四边形 OACB 为菱形,证明如下：易得 OC 的中点为1,1 2,设 A（x1,y1）,B（x2, y2）,易得 OC 的垂直平分线的方程为y 2x5 2,代入 x2y29,得 5x210 x11 40,x1x2 1,y1y2 2 2 15 2 1 2,AB 的中点为1,1 2,就四边形OACB 为平行四边2形,又 OCAB,四边形 OACB 为菱形（2）当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x 2,就 P,Q 的坐标为（ 2,5）,（2,5）,S OPQ1 2 2 2 52 5当直线 l 的斜率存在时,设l 的方程为 y1k（x2） k1 2,即 kxy 12k 0 k1 2,就圆心 O 到直线 l 的距离 d|12k|k 21由平面几何学问得|PQ| 29d2,S OPQ1 2 |PQ | d1 2 29d2 d（9d2）d29d2d229 22当且仅当 9d2d2,即 d29 2时, S OPQ 取得最大值为 9 2259 2,S OPQ 的最大值为9 2,此时,令4k24k19 2,解得 k 7 或 k 1k21故直线 l 的方程为 xy3 0 或 7xy150C 组 创新应用练 1已知直线 l：xy 10 截圆 ：x2 y2r2（ r0）所得的弦长为 14,点 M,N