构造法求数列通项

1、4/4构造法作为一种重要的数学方法，而不是一个数学概念，没有严格的定义。解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题按照这样的思维方式来寻求解题途径比拟困难，甚至无从下手。在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度思考，以找到一条绕过障碍的新途径，从而使问题得解而构造法就是根据数学问题的条件或结论的特征，以问题中的数学元素为“元件，数学关系为“框架构造出新的数学对象或数学模型，从而使问题转化并得到简便解决的方法。它的特点是：创造性地使用条件，创造性地应用数学知识，极大限度地发散思维。本文主要淡淡构造法在高中数列问题的应用。数列是高中很重要且有相当难度的一章容，在近几

2、年的高考中，一般有一道中档的填空题和一道压轴的解答题，所占分值较高。数列问题中的构造新数列在近几年高考题中经常出现，这类题目的难度及区分度往往很大，学生不容易掌握，有时甚至无从下手。下面来专门谈一谈构造法在研究数列中的灵活运用。一、型如(为常数且，)的数列，其本身并不是等差或等比数列，但经过适当的变形后，即可构造出一个新数列，利用这个数列可求其通项公式。1 (为常数)，可构造等比数列求解2为等比数列，可构造等差数列、等比数列求解。如 (为常数) ，两边同除以，得，令，则可转化为的形式求解例21数列an中，求通项2数列满足，求通项3为等差数列，如型递推式，可构造等比数列求解例3数列满足，求法二、

3、构造等比数列求解：例5数列满足，求数列的通项公式二、形如的复合数列，可先构造等差数列或等比数列，再用叠加法、叠乘法、迭代法等方法求解例6在数列中，求例7数列满足，求三、一些较为特殊的数列，可利用“取倒数的方法构造等差数列或等比数列求解例8数列中，求例9数列，其中，且，求通项an例10假设数列中，是数列的前项之和，且，求数列的通项公式四、对*些特殊的数列，可利用特征方程构造等差数列或等比数列求解如满足A，B，C，D为常数，且的数列，可令特征方程为，变形为，假设方程有二异根，则可令为待定常数，则数列是首项为，公比为的等比数列；假设方程有二重根，则可令为待定常数，则数列是首项为，公差为的等差数列。然

4、后代入的值可求得值，于是可求得例11数列满足，求数列的通项例12数列满足，求数列的通项五、其它特殊数列的特殊构造方法1通过取对数来构造新的数列求解例13假设数列中，=3且n是正整数，则它的通项公式是=例14数列中，求3对于两个数列的复合问题，也可构造等差或等比数列求解。例15在数列、中，且，求、的通项公式注：1并不是任何数列都可以求出其通项的，能够求出通项的只是一些特殊的数列。例如数列1，1.4，1.41，1.414，就没有通项公式；2同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如数列1，1，1，1，其通项公式为，或；3数列是函数概念的继续和延伸，数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中

5、的项与数集中元素的异同，因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性。从上述各题构建新数列的过程中，可以看出对题设中递推式的观察、分析，并据其构造特点进展合理变形，是成功构造新数列的关键。构造新数列的目的是为了化繁为简、化未知为、化不熟悉为熟悉，这也是解答数学问题的共性之所在。由上所举众多例子，不言而喻，正是在问题按照定向、按照常规难以解决的情况下，我们才改变思维方向，创造解题条件。长此以往，这将有利于我们优化思维品质，提高思维能力；深刻理解概念，综合运用知识；发挥主观作用，激发学习兴趣，在中学数学课的教学中，引导学生运用构造法解题不仅能提高学生的解题能力，更重要的是通过这种解题方