2023年《数学模型及数学软件A》例题讲解

1、得分一、 填空题每空2分，总分值14分：1、虽然数学建模所面临的问题千差万别，使用的方法灵活多样，但建模还是有规律可循的，其根本的四个步骤按逻辑顺序可以分为、 。 问题分析与假设，建立模型与求解模型，模型检验与修改，模型完善与应用；2、 在市场经济需求和供给关系中，设某地区某种商品第期的市场需求量(万吨)、市场供给量(万吨)及价格万元等之间满足，那么该商品的供求关系是否能稳定？；均衡价格是；稳定的供求数量是。解答 能稳定 30万元，10万吨得分二、简答题每题7分，总分值14分：1、论述最小二乘法原理及超定方程组概念2、简述用最小二乘法求解超定线性方程组的过程及结论。最小二乘法让(采样的点)跟(

2、拟合的曲线)的距离)总体和)最小.最小二乘法又称最小平方法是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最正确函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。超定方程组 HYPERLINK :/baike.baidu /link?url=hSlE-ovcTiDyi4CeIAAjeTd7-BVOK6NKn61ji5mZiACusxrfvZUziMXnsqwihUALBpzy2GT4Jw9WfJODo0T7VK l # o 编辑本段 属于方程个数大于未知量个数的方程组。超定方程一般是不存在解的矛盾方程组。曲

3、线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是求超定方程组的最小二乘解的问题。例如，如果给定的三点不在一条直线上，我们将无法得到这样一条直线，使得这条直线同时经过给定这三个点。也就是说给定的条件限制过于严格，导致解不存在。在实验数据处理和曲线拟合问题中，求解超定方程组非常普遍。比拟常用的方法是最小二乘法。形象的说，就是在无法完全满足给定的这些条件的情况下，求一个最接近的解。得分三、程序翻译题每题6分，总分值12分： 将以下Matlab程序翻译成为数学模型或数学问题.1、x = 0:0.6:3*pi;y1 = sin(x); y2 = cos(x);y3 = sqrt(x);hold onplot(

4、x,y1,b-),plot(x,y2,r*),plot(x,y3,g)1、x = 0:0.6:3*pi; %横坐标点列，x为区间0,3pi间距为0.6的等分点y1 = sin(x); %正弦点列y2 = cos(x); %余弦点列y3 = sqrt(x); %开平方点列hold on %保持在同一坐标系plot(x,y1,b-),plot(x,y2,r*),plot(x,y3,g) %画正弦、余弦、开平方函数图像2、c=300;1000;300;-200; %目标函数系数A=2,3,1,0;3,4,0,0;0,0,1,0; b=16;24;5; %不等号约束条件系数矩阵Aeq=0,-2,1,1

5、;1,1,1,1;beq=0;10; %等号约束条件系数矩阵xLB=0;0;0;0; xUB=; % x取值范围界约束矩阵x,min=linprog(-c,A,b,Aeq,beq,xLB,xUB); %线性规划最小化问题求解x=x,max=-min %输出求解结果极大点、极大值解：数学模型是Max 300 x1+1000 x2+300 x3-200 x4 2x1 +3x2 + x3 =16 3x1 +4x2 =24x3=0;附 运行结果 x =1.0000; 3.0000; 5.0000; 1.0000max = 4.6000e+003得分四、生产方案问题10分：某工厂在方案期内要安排生产、两

6、种产品，生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表所示。该工厂每生产一件产品可获利2元，每生产一件产品可获利3元。问应如何安排方案使该工厂获利最多(要求建立数学模型，用图解法求解，编写Matlab求解程序)？并再答复：为使获利更多，是否有必要追加B原料？是否有必要追加台时数？可用数量设备128台时原材料A4016kg原材料B0412kg解：设分别表示在方案期内产品、的产量，那么目标函数 满足约束条件 (4分)图解法解得 。即最优生产方案是产量产品4件，2件，可获最大利润14元。结果说明，台时数及A原料无剩余，消耗殆尽，值得追加这些资源。而B原料仍有剩余，不必追加。(4分)编写求解

7、的M程序如下:(2分)f = 2,3;A = 1,2;4,0;0,4;b = 8;16;12;Aeq=;beq=;vlb = zeros(2,1);vub=;x,fval = linprog(-f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);x=x,z=-fval得分五、任务分配问题10分：任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。假定两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、600和500，且用这两种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低？(要求建立数学模型，编写

8、Matlab求解程序)车床类 型单位工件所需加工台时数单位工件的加工费用元可用台时数工件1工件2工件3工件1工件2工件3甲0.41.11.013910800乙0.51.21.311128900解设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为x1、x2、x3，在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6。可建立以下线性规划模型：(5分) ，编写M文件xxgh3.m如下:f = 13 9 10 11 12 8;A = 0.4 1.1 1 0 0 0 0 0 0 0.5 1.2 1.3;b = 800; 900;Aeq=1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1;

9、beq=400 600 500;vlb = zeros(6,1);vub=;x,fval = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)(5分)结果:x = 0.0000 600.0000 0.0000 400.0000 0.0000 500.0000fval =1.3800e+004即在甲机床上加工600个工件2,在乙机床上加工400个工件1、500个工件3，可在满足条件的情况下使总加工费最小为13800(元)。得分六、席位分配问题10分：某学校共1000名学生，235人住在A楼，333人住在B楼，432人住在C楼。学生们要组织一个10人的自律部，试用两种不同的科学公平的席

10、位分配模型确定各宿舍楼在自律部的席位。假设自律部从10人增至11人，请再次确定新的席位分配名额。解：比例加惯例分配法：(3+2分)宿舍楼学生人占总数比例10个席位11个席位比例分配席位比例惯例分配结果比例分配席位比例惯例分配结果A2350.2352.3532.5852+0=2B3330.3333.3333.6633+1=4C4320.4324.3244.7524+1=5合计1000110101110+2=11比例加Q值比拟分配法：Q=P*/(N*(N+1)(3+2分)宿舍楼学生人占总数比例10个席位比例席位初次分配Q值Q值法分配结果A2350.2352.35292042+0=2B3330.33

11、33.33392413+0=3C4320.4324.32493314+1=5合计100011099+1=1011个席位比例分配席位初次分配初次Q值初次Q值法分配结果再次Q值再次Q值法分配结果2.58529204.22+09204.22+0+0=23.66339240.83+09240.83+0+1=44.75249331.24+16220.84+1+0=51199+1=109+1+1=11得分七、消费选择问题10分： 设二种商品的价格分别为4元、2元，某消费者共用120元购置其数量分别为时，效用函数为.试求出消费者最正确的购置数量.要求建立此问题数学模型，并求解解答:(5分), , Max U

12、=15/4(5分)得分八、存储问题10分：某创业者长期采用的是自产自销经营模式，其营销的商品生产工艺复杂，每次开工都需工艺调试费，只有调试完毕才能连续生产；由于生产速率k大于销售速率r，必须采用间歇性生产以免产品过度存储积压，设为单位存储费率，为单位产品的生产费。试以单位时间综合费用最小为目标确定最优间歇周期T及最正确的最大库存量Q ；给出这样的策略及示意图；再当时给出具体的计算结果。最后分别讨论 和时的情况。解：如图示，在一个生产周期内，共产生三种费用：1、生产调试费w1=2、存储费：3、产品生产费：将以上三种费用都用T来表示：故在一个周期间隔T内，费用总和为：由于生产是连续的，应追求长效经

13、济规律，将模型建为：(模型4分，图1分)令得到最优生产周期：，此时最正确最大库存量为：对应的 当时，(算例4分，极限1分)当时，转化为输出速度为有限、生产速度是无限大的情形当时，此时不需要存储了。得分九、网络流问题10分：含权图中所标数据为距离。求A到L的最短路线及相应路长解：A-B-M-E-D-L 线路总长=1+4+2+1+3=11(5+5分)A-B-M-E-G 线路总长=1+4+2+1=8A-B-C-K 线路总长=1+5+4=10A-B-N 线路总长=1+3=4A-J 线路总长=3A-I-H-F 线路总长=4+1+5=10十、给定节点用多项式拟合：x=1:1:30;y=9,10,11,12,13,14,13,12,11,9,10,11,12,13,14,12,11,10,9,8,7,8,9,11,9,7,6,5,3,1;a1=polyfit(x