专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(一)

1、专升本高等数学（一）-多元函数微积分学（一）（总分：93.00，做题时间：90分钟）填空项1：（正确答案：x0,y0.）解析：2.求下列函数的定义域.u=ln（x2-y-1）.（分数：1.00）填空项1：（正确答案：yX2-l）填空项1：（正确答案：xO,y三1,X2+1三y.）填空项1：（正确答案：r2x2+y2WR2.）填空项1：（正确答案：*）填空项1：（正确答案：-2,先求出f（x,y）=x-*）填空项1：（正确答案：*）填空项1:（正确答案：*）填空项1:（正确答案：*）解析：11.函数z=ln(l+x2-y2)的全微分dz=1.分数：1.00）填空项1:填空项1:（正确答案：*）填

2、空项1:（正确答案：*）解析：14.若积分区域D是由x=0，x=1填空项1:（正确答案：*）解析：14.若积分区域D是由x=0，x=1y=0，y=1围成的矩形区域，则1分数：1.00）填空项1:（正确答案：*）填空项1:（正确答案：*）填空项1：（正确答案：-2dx+2dy）填空项1：（正确答案：n）解析：17.平面上一块半径为2的圆形薄板，其密度函数为1，则这块薄板的质量为1.分数：1.00）填空项1：（正确答案：4n.）解析：正确答案：（2xex2+y，ex2+y；）解析：(2).分数：1.00)正确答案：(*；)解析：.z=ln(lnx+lny)；(分数：1.00)正确答案：(*；)解析

3、：(4).分数：1.00)(4).分数：1.00)正确答案：(*；)解析：(5).z=sin(x+2y)+2xy；(分数：1.00)正确答案：(cos(x+2y)+2y，2cos(x+2y)+2x；)解析：(6).z=(xy)(其中p为非零常数)(分数：1.00)正确答案：(py(xy)p-i,px(xy)-i.)解析：求下列函数的二阶偏导数：(分数：9.00).z=sinxy；(分数：1.00)正确答案：(*)解析：.z=ln(x2+xy+y2).(分数:1.00)正确答案：(*)正确答案：(*)正确答案：(*)正确答案：(*)正确答案：(*=(2xy-y2)cosv+(x2-2xy)sin

4、v=3u2sinvcosv(cosv-sinv).同样地，有*)解析：(5).设z=arctanxy,y=e(5).设z=arctanxy,y=ex,求分数：1.00).(分数：1.00).(分数：1.00)正确答案：(*.(注意：在本题中，*不同于*.)解析：,x=u-2v,y=2u+v,x=u-2v,y=2u+v,求(6).设正确答案：(*)正确答案：(*)解析：(8).设z=f(x2+y2,exy)，其中f(u,v)有连续偏导数，求正确答案：(设z=f(u,v),u=X2+y2,v=exy,则由复合函数求偏导法则得*)正确答案：(因为*,其中申有连续偏导数，令u=xy，所以有*,*，将之

5、代入*即可证得)正确答案：(*)正确答案：(*)正确答案：(*)解析：(2).分数：1.00)(2).分数：1.00)正确答案：(*)解析：.设z=arctan(xy)+2x2+y，求dz.(分数：1.00)正确答案：(*)解析：求下列各函数的全微分dz：(分数：ii.oo)I&去|(1).分数：1.00)正确答案：(*)解析：(2).z=ln(3x-2y+3)；(分数：1.00)正确答案：(*；)解析：(3).Z=exy(x2+y2);(分数：1.00)正确答案：(令u=xy，v=x2+y2，dz=exy(x2+y2)(3x2y+y3)dx+(3y2x+x3)dy；)解析：.z=arctan

6、xy；(分数：1.00)正确答案：(*)解析：.z=xe-xy+sin(xy)；(分数：1.00)正确答案：(dz=e-xy(1-xy)+ycos(xy)dx+-x2e-xy+xcos(xy)dy；)解析：.z=sin(x+y)-X2+y2.(分数：1.00)正确答案：(dz=cos(x+y)-2zdx+cos(x+y)+2ydy)解析：，求(7).设分数：1.00)解析：，求(7).设分数：1.00)正确答案：(*)解析：(8).设z=f(2x+3y,exy)，其中f(u,v)有连续偏导数，求dz.(分数:1.00)正确答案：(今u=2x+3y,u=exy,*)解析：(9).设z=z(x，y

7、)是由方程yz+x2+z=0确定，求dz.(分数：1.00)正确答案：(*,当x=1,*时，由原方程得z=1或z=3.当z=1时，当z=3时，*当*,y=0时，由原方程得z=1或z=3.当z=1时，当z=3时，*(3)当x=0,*时，由原方程得z=1或z=3.当z=1时，当z=3时，*)解析：(11).设z=f(x,y)由方程cos2x+cos2y=1+cos2z所确定，求dz.(分数:1.00)正确答案：(令F(x，y，z)=cos2x+cos2y-cos2z-1，*.)解析：求下列函数的极值与极值点(分数：4.50).f(x,y)=4x+2y-X2-y2；(分数：1.50)正确答案：(极大

8、值点为(2,1),极大值f(2,1)=5；)解析：.f(x,y)=e2x(x+y2+2y)；(分数：1.50)正确答案：(极小值点为(*,-1),极小值*；)解析：.f(x,y)=y3-x2+6xT2y+5.(分数:1.50)正确答案：(极大值点为(3,-2)，极大值f(3,-2)=30.)解析：求下列条件极值.(分数：15.00)(1).做一个体积为V的无盖的圆柱形桶，试问当桶的高和底面半径各是多少时，可使圆桶所用的材料最省.(分数：1.50)正确答案：(设圆桶的高为h,底面半径为r,则桶的表面积为S=nr2+2nrh,体积V=nr2h,要求所用的材料最省，就是求表面积的最小值，且满足V=n

9、r2h.构造拉格朗日函数F(r,h,入)=nr?+2nrh+入(nnh-V)可解得*.)解析：(2).设生产某种产品的数量Q与所用两种原料A,B的数量x,y间有关系式Q=Q(x,y)=0.005x2y,欲用150元购买原料，已知A,B原料的单价分别为1元，2元，问购进两种原料各多少时，可使生产的产品数量最多?(分数：1.50)正确答案：(设购买两种原料分别为x,y,则问题化为条件极值问题：求Q=0.005x2y在条件x+2y=150下的条件极值.可解得x=100,y=25.)解析：(3).计算二重积分其中D是由直线y=-1,y=1,x=1及x=2围成的平面区域.(分数：1.50)解析：(3).

10、计算二重积分其中D是由直线y=-1,y=1,x=1及x=2围成的平面区域.(分数：1.50)正确答案：(3)解析：(4).计算二重积分其中D是由曲线y=x2及y=x所围成的平面区域(分数：1.50)正确答案：(*.或*.)解析：(5).其中D是由直线y=x,y=1及y轴所围成的平面区域.(分数：1.50)正确答案：(*.或*)解析：(6).其中D(6).其中D是由直线x=2,y=x及双曲线xy=1所围成的平面区域(分数：1.50)正确答案：(*)正确答案：(*)解析：Inpnniijl(8).，其中D是由直线y=x,y=2x,x=2,x=4所围成的平面区域.(分数：1.50)(8).正确答案：

11、(*)(9).求解析：(9).求，其中D是由直线y=x,y轴，y=1所围成的平面区域.(分数：1.50)正确答案：(*说明如果将此题化为先对y积分后对x积分，其计算量较大正确答案：(*说明如果将此题化为先对y积分后对x积分，其计算量较大)正确答案：(*或*)解析：正确答案：(*)正确答案：(*)正确答案：(*)解析：试将下列直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分(分数：3.00)分数：1.50)(1).正确答案：(*)分数：1.50)(1).正确答案：(*)正确答案：(*说明首先根据给定的二次积分先画出积分区域，再将积分区域用极坐标表示出来.(1)的积分区域是半径为R,圆心为（R,0）

12、的x轴上方的半圆，用极坐标表示为OWeW*,0WrW2RcosB；的积分区域是以原点为圆心半径为R的在第一象限内的*圆）解析：分数：18.00）分数：18.00）（1）.，其中D为X2+y2Wa2,x0,y三0所围成的区域；（分数：1.50）正确答案：（*）解析:(2).，其中D为X2+y2Wl,x0所围成的区域；（分数：1.50）(2).正确答案：（*）解析：(3).其中正确答案：（*）解析：(3).其中D为X2+y2W4,X2+y2三l,yWx,y三0所围成的区域；（分数：1.50）正确答案：（*）解析：(4).，其中D为由X2+y2WR2,x0,y三0所围成的区域；（分数：1.50）正确

13、答案：（积分区域D的极坐标表达式为0W6W*,0WrWR，于是*；）解析：(4).（5）.，其中D为以X2+y2=2x为边界的上半圆域.（分数：1.50）正确答案：（*）正确答案：（*）正确答案：（由二重积分的几何意义知，*,其中积分区域为X轴、y轴以及直线*所围成的平面区域,于是*）解析：（7）.利用二重积分求由曲线y=X2与y2=X所围成的面积.（分数：1.50）正确答案：（由二重积分的性质3知*,其中积分区域为曲线y=X2与y2=X所围成的平面图形，于是*）解析：（8）.求由柱面X2+y2=a2，z=0及平面X+y+z=a所围成的立体的体积.（分数：1.50）正确答案：（由二重积分的几何意义知*.其中D：X2+y2Wa2，利用极坐标系可得*）解析：（9）.设有平面三角形薄片，其边界线可由方程x=0，y=X及y=1表示，薄片上的点