高考数学专题复习精课件-反函数

1、反函数一、定义 设函数 y=f(x) 定义域为 A, 值域为 C. 如果从式子 y=f(x) 解得 x=(y), 且对于 y 在 C 中的任何一个值, x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应, 那么式子 x=(y) 就表示 x 是变量 y 的函数, 把 x=(y) 叫做函数 y=f(x) 的反函数, 记作: x=(y)=f-1(y).x=f-1(y) 一般改写成 y=f-1(x), 其定义域为 C, 值域为 A.二、定义理解1.函数存在反函数的条件: 映射 f: AC 为一一映射. 2.函数在其定义域区间上可能不存在反函数, 但可以在定义域区间的某个子区间上存在反函数.3.反函数的定义域和值域

2、分别是原函数的值域和定义域. 注意: 反函数的定义域不能由其解析式来求.三、简单性质1.互为反函数的两个函数的图像关于直线 y=x 对称; 2.单调函数一定存在反函数, 但有反函数的函数不一定是单调函数;3.奇函数不一定有反函数, 偶函数在一般情况下无反函数; 4.互为反函数的两个函数在各自的定义域区间上具有相同的 单调性;5.若 b=f(a), 则 a=f-1(b); 若 a=f-1(b), 则 b=f(a), 即: 若 aA, bC, 则 f-1f(a)=a, ff-1(b)=b.四、求函数的反函数的步骤2.由 y=f(x) 解出 x=f-1(y) (即用 y 表示 x);3.交换 x=f

3、-1(y) 中的字母 x, y, 得 f(x) 反函数的表达式 y=f-1(x), 1.求函数 y=f(x) 中 y 的取值范围, 得其反函数中 x 的取值范围;五、函数与其反函数图像的交点问题 如果一个函数与其反函数的图像有公共点, 则公共点在直线 y=x 上, 或者关于直线 y=x 对称地成对出现.4. 标出 y=f-1(x) 中 x 的取值范围.例如函数 y = -3x+7 ; 又如函数 y =( ) . 161x六、典型例题例1 函数 y= (xR, 且 x ) 的反函数是 ( ) 2x-1 x-2 12(A) y= (xR, 且 x ) 2x-1 x-2 12(B) y= (xR,

4、且 x 2) 2x-1 x-2 (C) y= (xR, 且 x ) 2x-1 x+2 12(D) y= (xR, 且 x-2) 2x-1 x+2 -11xoy-11xoy1xoy1-11xoy(D)(A)(B)(C) 例2 设函数 f(x)=1- 1-x2 (-1x0), 则函数 y=f-1(x)的图像可能是 ( )AB例3 求下列函数的反函数:(2) y=x|x-2|+4x. (1) y =( )2( x ). x+1 3x-2 2332(2) y = x+1 -1 (x8), 3- 9-x (x8). (1) y= (0 x1); 3- x2+ x 例4 解答下列关于反函数的问题: (1)

5、已知函数 f(x) = 的图像关于直线 y=x 对称, 求实数a 的值;3x+2 x+a (2)求函数 y= 1-x 与它的反函数图像的交点坐标.例5 已知 f(x)= , xR, 求 f-1( ) 的值.1+2x 2x 134.(1)a=-3; 5. f-1( )= -1. 13答 案 (2)( , ); (1, 0); (0, 1). 5-1 2 5-1 2 七、课堂练习2.试求使函数y=4x-2x+1 存在反函数的定义域区间, 并求相应区间上的反函数.1.若映射 f: A B 中, A=B=(x, y) | xR, yR, f: (x, y) (x+2y+2, 4x+y), 试求: (1

6、) A 中的元素 (5, 5) 的象; (2) B 中的元素 (5, 5) 的原象. 3.已知 f(x) = (x-a, a ). (1) 求 f(x) 的反函数 f-1(x); (2) 若f(x)=f-1(x), 求 a 的值; (3)作出满足(2)中条件的 y=f-1(x) 的图象. 2x+1 x+a 12答 案 1. (17, 25); (1, 1) 2.(-, 0, f-1(x)=log2(1- x+1 )(-1x0); 0, +), f-1(x)=log2(1+ x+1 )(x-1). 3. f-1(x)= (x2); x-2 1-ax a=-2. 4.求函数 y=x|x|+2x 的

7、反函数. 解: 原函数可写成: y= x2+2x, x0, -x2+2x, x0. 即 y= (x+1)2-1, x0, -(x-1)2+1, x0. 当 x0 时, y0, 由 y=(x+1)2-1 得: x=-1+ y+1 ; 当 x0 时, y0, 由 y=-(x-1)2+1 得: x=1- 1-y . 故所求反函数为 y= -1+ x+1, x0, 1- 1-x , x0. 解得 a=-1.-4f(x)1. 5.已知点 (-2, -4) 在函数 f(x)=1- ax2+25 (-5x0) 的反函数 f-1(x) 的图象上, 试讨论 f-1(x) 的单调性.解: 由已知, 点 (-4,

8、-2) 在函数 f(x)=1- ax2+25 的图象上. -2=1- 16a+25 . f(x)=1- 25-x2 .-5x0, x=- 25-(y-1)2 (-4y1). 由 y=f(x)=1- 25-x2 得 f-1(x) =- 25-(x-1)2 (-4x1). 令 t(x)=25-(x-1)2, 易知, t(x) 是 -4, 1 上的增函数. 又 y=- t 是减函数, f-1(x) =- 25-(x-1)2 是 -4, 1 上的减函数. 解: (1) x1, 故 f-1(x) 的定义域是 0, 1). f(x) 的值域是 0, 1).又对任意的 x1, x20, 1), 且 x1x2

9、, 有: 6.已知函数 f(x)=( )2 (x1), f-1(x) 是 f(x) 的反函数, g(x)= + x +2, 求: (1) f-1(x) 的定义域和单调区间; (2) g(x) 的最小值.x+1 x-1 f-1(x)1 0 1. x+1 x-1 0( )21. x+1 x-1 即 0f(x)1. 由 y=( )2(x1)得: x+1 x-1 = y , x+1 x-1 解得: x= (0y1). 1+ y 1- y f-1(x)= (0 x1). 1+ x 1- x x1 x2 1- x2 0, 1- x121- x2 2 . 1- x121- x2 2 -1+ -1+ . 即为

10、: f-1(x1)f-1(x2). 0, 1) 是 f-1(x) 的单调增区间. 解: (2) 由已知 g(x)= + x +21- x 1+ x 2 2 . 仅当 x=3-2 2 时取等号. 当 x=3-2 2 时, g(x) 取得最小值 2 2 . 2 1+ x +1+ x (0 x0, 解不等式:f-1(x)log2 . 1+2x a2x-1 k 1+x 解: (1) 由已知 f(0)=0, 解得 a=1; (2) 当 a=1 时, f(x)= (xR), 2x+1 2x-1 设 y=f(x), 则 2xy+y=2x-1, 2x(1-y)=1+y (y1), 2x= , 1-y 1+y 1-y 1+y x=log2 , 2x+1 2x-1 =1- (-1, 1), 2x+1 2 又 f-1(x)=log2 (-1xlog2 , 得 k 1+x k 1+x 1-x 1+x , -1x1. -1x1-k, 又 k0, 当 0k2 时, 1-kx1, 原不等式的解集为 (1-k, 1); 当 k2 时, -1x0) 和定义在 R 上的奇函数 g(x), 当 x0时, g(x)=f(x), 试求 g(x) 的反函数.